六旋翼动力学建模及PID定点悬停控制仿真*

申 旺,邹树梁,邓 骞

(1.南华大学 机械工程学院，湖南 衡阳 421001； 2.南华大学 核设施应急安全作业技术与装备湖南省重点实验室 湖南 衡阳 421001)

0 引 言

近年来，多旋翼无人机因为其机动性、可靠性等优点成为研究热点，而六旋翼无人机，相较于四旋翼无人机，具有更强的负载能力和更高的可靠性，而且由于其具有冗余的执行机构，可以在一个电机停止的情况时继续工作。六旋翼无人机通过改变电机的转速实现位置和姿态的控制，而六旋翼本身是一个欠驱动系统，进行对六旋翼的研究，特别是控制器的研究具有重大的意义。

国内外有许多学者进行了相关研究。徐会丽[1]采用改进的PIDNN算法对六旋翼进行控制，加快了响应速度，缓解了超调现象，并且减少了调参次数；黄佳奇[2]设计了一种基于反步法的控制器，实验结果表明对无人机的位姿控制，所设计的控制器对定点悬停展现出良好的控制性能；王巍[3]利用滑模控制方法研究了四旋翼和三旋翼无人机的姿态调节和方位跟踪的控制问题; 曾振华等[4]采用模糊自适应速度PID控制系统实现多旋翼的自主精准降落。

笔者基于牛顿-欧拉方程和牛顿第二定律，建立了六旋翼无人机的动力学模型，在小角度的假设条件下，对动力学模型进行了线性化处理，设计双环PID控制器，在MATLAB/Simulink中搭建模型并实现定点悬停的仿真，验证了模型的有效性，对后续控制系统的实验具有参考意义。

1 六旋翼无人机概述

1.1 六旋翼无人机结构

无人机(Unmanned Aerial Vehicle,UAV),是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，六旋翼无人机则指旋翼数为6的无人机。根据旋翼的分布方式，分为I型，V型等，如图1所示。

图1 六旋翼无人结构

六旋翼无人机的机体由机架和旋翼组成。机架承载六旋翼所有组件，六旋翼的安全性、可用性都和机架的布局密切相关。旋翼随电机转动为无人机提供升力，相邻两旋翼的旋转方向相反，反扭距可被有效抵消。与四旋翼无人机相比，六旋翼无人机具备冗余的执行机构，当遇到较强外力干扰或者部分旋翼受扰时能表现出更好的稳定性。

1.2 六旋翼飞行控制原理

以图1(b)为例，说明四种基本运动的原理。

(1) 俯仰运动：规定机体抬头为正，机体低头为负。当无人机接收到抬头指令时，1号、6号电机转速增大，3号、4号电机转速减小，产生使机体抬头的力矩；收到低头指令时，3号、4号电机转速增大，1号、6号电机转速减小，产生使机体低头的力矩。

(2) 滚转运动：规定向右滚转为正，向左滚转为负。当无人机接收到右滚转指令时，4号、5号、6号电机转速增大，同时1号、2号、3号电机转速减小，产生使机体右滚转的力矩；收到左滚转指令时，1号、2号、3号电机转速增大，4号、5号、6号电机转速减小，产生使机体向左滚转的力矩。

(3) 航运动：规定向右偏航为正，向左偏航为负。当无人机接收到右偏航指令时，1号、3号、5号电机转速增大，2号、4号、6号电机转速减小，产生使机体右偏航的力矩；当接收到左偏航指令时，2号、4号、6号电机转速增大，1号、3号、5号电机转速减小，产生使机体左偏航的力矩。

(4) 升降运动：规定上升为正，下降为负。当无人机接收到上升指令时，所有电机转速增大，当升力大于重力时，无人机上升；当无人机接收到下降指令时，所有电机转速减小，升力小于重力，无人机下降。

2 六旋翼动力学建模

2.1 建模假设条件

(1) 六旋翼是刚体；

(2) 六旋翼的质量和转动惯量不变；

(3) 六旋翼的几何中心和重心一致；

(4) 六旋翼只受重力和旋翼拉力，其中旋翼拉力沿zb轴向下，重力沿ze方向；

(5) 奇数标号的旋翼桨叶逆时针转动，偶数符号的旋翼桨叶顺时针转动[5]。

2.2 旋转矩阵的形成

地球坐标系e按照zyx顺序旋转到地球坐标系b，3次旋转分别对应一个基本旋转矩阵：

第1次为地球坐标系绕z轴旋转ψ，得b1坐标系，对应基本旋转矩阵为：

(1)

第2次为b1坐标系绕其y轴旋转θ，得b2坐标系，对应基本旋转矩阵为：

(2)

第3次为b2坐标系绕其x轴旋转φ，得到b坐标系，对应基本旋转矩阵为：

(3)

(4)

2.3 运动学模型

(5)

式中：ev为六旋翼在地球系下的速度矢量；Θ为姿态角；bw为机体角速度。

2.4 位置动力学模型

设旋翼转速为Ωi(i=1,2,…6),产生的拉力为Ti，其关系如下[9]：

(6)

式中：Kt为拉力系数。

(7)

(8)

由牛顿第二定律，对六旋翼进行受力分析，在速度较小的情况下忽略阻力，可得:

mev·=eT-G

(9)

式中：G为重力。展开可得:

(10)

整理得:

(11)

2.5 姿态动力学模型

在机体坐标系下建立六旋翼姿态动力学方程如下:

Ibw·=-bw×(Ibw)+τ+Ga

(12)

由文献[7]可知：

(13)

其中，如图2所示:l1=l2=l3=l4=l5=l6=l为机体中心到电机的距离，αi(i=1,2…5,6)表示机臂与xb轴正方向之间的夹角，Km为反扭距系数，则反扭距大小表示为：

图2 六旋翼机架布局参数

(14)

采用小角度假设，W≈I3，可以得到以下关系：

(15)

将式(13)～(15)代入式(12)展开可得：

(16)

2.6 模型线性化

六旋翼的动力学模型已经建立，为了方便控制器的设计，对非线性模型进行简化和线性化。因此忽略式(13)中的-bw×(Ibw)+Ga，得到如下简化模型：

(17)

3 控制器设计

经典PID控制器不需要特定的模型参数，易于实现,是目前使用最多的控制算法[8]。PID控制器由比例单元P、积分单元I、微分单元D组成，分别对应目前误差，过去累计误差和未来误差。

六旋翼控制器由外环的位置控制和内环的姿态控制组成。位置控制利用期望的位置解算得到期望的滚转角、期望的俯仰角和期望的拉力。姿态控制利用期望的姿态角解算出期望的滚转力矩、俯仰力矩和偏航力矩。

3.1 位置控制

位置控制原理是由期望的位置解算得到期望的滚转角、俯仰角和期望的拉力[10]。

假设期望位置为pd=[xd,yd,zd]T测量值为p=[x,y,z]T，则位置误差可以表示为ex=x-xd,ey=y-yd,ez=z-zd，控制器如下:

(18)

3.2 姿态控制

姿态控制利用期望的俯仰角θd、滚转角φd、偏航角ψd解算出期望的俯仰力矩、滚转力矩、偏航力矩，而期望的姿态角由位置控制模块可以得到。

(19)

4 仿真分析

在MATLAB/Simulink环境中建立仿真模型如图3，包含位置控制模块，姿态控制模块六旋翼动力学模块。六旋翼参数如表1所列。

表1 六旋翼无人机参数

图3 六旋翼控制仿真模型

给定目标位置(1，2，3)，初始位置为(0，0，0)，仿真结果如图4～6。

图4 x方向位置变化

图6 z方向位置变化

根据仿真结果可知，六旋翼从起飞到指定悬停位置用时10 s左右，响应速度符合预期。x方向的超调量为7.5%，y方向超调量为6.4%，z方向超调量为3.7%，均在可接受范围内；稳态误差约为0，表示能悬停在指定位置上。仿真验证了PID控制的快速性及精确性。

5 结 语

建立了六旋翼无人机的动力学模型，并且对非线性模型进行了线性化处理，为了验证模型的正确性，设计了位置PID控制器和姿态PID控制器。在MATLAB/Simulink中的仿真结果，实现了对六旋翼无人机的定点悬停控制，验证了动力学模型的正确性和PID控制器的有效性，对后续控制系统的实验具有参考意义。