直观想象核心素养在椭圆教学中的实施

陈超群

摘要：直观想象是学生能借助图形解题。培养学生直观想象最常见的课堂途径就是通过与函数图像的数形结合。本文以椭圆的定义域标准方程建构为核心，依据教学目标和数学核心素养，根据学生的认知特点和心理发展规律，从直观动手到图形，转化成数学语言，形成定义、方程推导、化简方程、概念应用四个方面设计课堂，在问题解决的过程中，促进学生核心素养的形成和发展。

关键词：直观想象；抽象概括；数学核心素养

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）07-0145

深化课程改革，经专家研讨、征询、论证，提出了六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。从大方面讲，核心素养是深化基础教育改革、落实素质教育目标的关键要素，是素质教育研究的再出发；从学科教育教学层面讲，数学核心素养是保障数学学科育人的关键。直观想象是体现学生数学核心素养的重要维度。

课堂教学中如何在数学核心素养视角下设计教学，提升学生的核心素养呢？笔者认为，课堂以数学知识的探究学习为载体，以激发学生学习的主动性，思考如何提升数学核心素养为需要。教师关注学生学习数学知识的形成和发展的过程、数学运算和推理过程、数学探究过程以及数学文化的渗透与培养，激发学生学习数学的热情。本文以人教A版《数学》（选修2-1）“椭圆及其标准方程”（第一课时）的教学为例，以直观想象核心素养为主，分享这节课的教学设计和思考。

一、研究课程目标，融入直观想象

直观是通过对客观事物的直接接触，而获得感性认识的一种方式，是数学教师在教学中可借图发挥，和学生一起观察、分析问题的方式。需要通过后天的学习和教化才能形成的。

想象是人脑对已有表象进行加工改造而形成新形象的心理过程，是以表象为内容的特殊的思维活动。

“2017年版课标”第6页：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，借助空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，建构数学问题的直观模型，探索解决数学问题的思路。

“2017年版课标”第44页：本节课的教学目标：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程；掌握椭圆的定义、标准方程。椭圆一定要掌握，用椭圆的研究思路去类比学习双曲线、抛物线，提供研究模式和理论基础。本节课是圆锥曲线的起始课，这节课是否掌握影响圆锥曲线整章的学习效果。

笔者分析圆锥曲线是学生学习《数学》（必修二）第二章直线与方程、第三章圆与方程后，学生初步掌握了研究解析几何的方法，在直角坐标系中研究了直线和圆的几何特征。运用代数的方法进一步认识圆锥曲线的性质。

教学目标：通过演示画椭圆，抽象出椭圆的定义（数学抽象、直观想象）；建系推导椭圆的标准方程，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法（数学运算、逻辑推理），并渗透数形结合和等价转换的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。运用椭圆的知识解题即例题分析（数学运算），课后学生写椭圆的反思（数学文化）、撰写小论文；用类比的方法学习双曲线、抛物线。教学目标制定要研究教材的整体性，思考这节课在本单元中的地位和作用。关注学生，从学生的学情出发，可操作性、可测量。要融入核心素养、突出重点、难点。教学目标在教学活动中具有导向作用。笔者上椭圆前提前布置作业：先预习P38椭圆及其标准方程。同时，笔者在教室放四块美术课用的画板，准备好、铅笔、白纸、绳子和图钉，让学生在校园内或生活中找椭圆、画椭圆。并分小组做好记录。

二、注重概念形成落实核心素养

史宁中教授说过：“数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理。”也就是说，在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的。所谓“看”是一种自觉判断，这种直觉判断建立在长期的、有效能的观察和思考的基础上。一节有效的课堂厘清学生的最近发展区，让学生喜欢数学课，积极参与课堂活动，落实以学生为主体的教学理念。在本节课的教学活动中，笔者以椭圆的定义为核心，依据教学目标及其标准方程为核心，依据教学目标及其蕴含的数学核心素养，根据学生的认知特点和心理发展规律，从形成定义、推导方程、化简方程、概念应用四个方面设计问题，在解决过程中，促进学生核心素养的形成和发展。

1.动手直观成曲线，推理想象成概念

首先交流周末作业。

交流一，找到的椭圆：镜子、草坪、标语牌、圆柱、圆台形的玻璃杯倾斜的液面等；想象的椭圆有行星运行的轨道，圆的直观图；电脑里找到很多椭圆的图形。

交流二，画椭圆，第一种：在画板上，根据椭圆的定义画的椭圆；第二种：电脑上用几何画板画椭圆。

小结：生活中有很多椭圆的例子，我们要用数学的眼光去发现。圆柱形的玻璃杯的倾斜的液面，这个椭圆很好，当杯子平放时是一个圆，倾斜是一个椭圆。转化为数学语言：一个圆柱面，平放时即用一个平行于底面的截面去截圆柱面，截得圆；用倾斜的面去截，截得椭圆。高考欣赏：（2008浙江理科第10题）如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）

A.圆B.椭圆

C.一条直线D.两条平行直线

点评：因为△ABP的面积为定值，所以点P的轨迹是圆柱面，又因为点P在平面α内运动，所以点P是椭圆。

教师：准备好一个茶叶罐，上盖是倾斜的。我直接把（盖子）斜面在纸上画下来，展示是一橢圆。圆台形的杯子，圆台形的杯子所在的面延长，是一圆锥面。教师用PPT展示圆锥面，用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥，截口曲线是圆。那椭圆是怎么截得呢？

学生A：平面不垂直轴时是椭圆。

教师：一定吗？马上展示：当平面与圆锥母线平行时，得到截扣曲线是不封闭的，不是椭圆？当平面和圆锥对称轴平行时，得到的截口曲线有上下两支，也是不封闭的，它又是什么曲线呢？

学生B：他马上翻书，后面是双曲线，抛物线。也是本章学习的内容。

笔者：用一个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥面，当截面与圆锥夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线。我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。这就是这一章标题是圆锥曲线与方程的原因。

交流三，画板上的椭圆交流，画出的每个椭圆大小不一样？笔者请其中一组交流。学生很快画好椭圆。笔者用几何画板画椭圆，让学生感受椭圆的动态生成。两定点为F1，F2。

教师：在画椭圆时，哪些量是变的，哪些量是不变的？

小组长：绳子的长不变，两定点F1，F2间距离||F1F2不变。

教师：绳子的长和两定点F1，F2间的距离||F1F2有什么关系？

小组长：绳子的长大于两定点F1，F2间的距离||F1F2。

教师：绳子长等于两定点F1，F2的距离||F1F2，是什么轨迹？

小组长：就画不出椭圆，线要多一点，这时轨迹是两定点F1，F2之间的线段。

教师：绳子长小于两定点F1，F2间的距离||F1F2，轨迹是什么？

小组长：没有图形，不可能。

教师：是的，轨迹不存在。从而和学生一起归纳得出椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离等于常数（大于||F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

设计意图：先从现实生活中找椭圆，画板上动手画椭圆，动态演示，真切感受椭圆的形成过程，学生由直观形象抽象概括形成椭圆的定义。通过直观感知、归纳推理和抽象概括等思維活动，提升学生直观想象的核心素养。

2.建系设点，推导方程，落实数学运算核心素养

首先：建系设点

设计意图：例1是利用椭圆的定义判断点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程。通过学生探索，使学生加深对椭圆概念的理解，理解椭圆标准方程中a，b，c的关系。学会用定义求椭圆的标准方程。通过例题讲解，培养学生做圆锥曲线题的基本方法：建坐标系画图，培养学生直观想象的核心素养，通过求解标准方程培养数学运算、数学抽象的核心素养。

三、直观想象数学反思

1.课前准备思考

椭圆是圆锥曲线这一章的起始课，这节课是否听懂，影响整章学习的兴趣。笔者从学生的学情和学校的教学进度考虑，布置一个课外学生能完成的作业。让学生用数学的眼光观察生活，可以发现很多数学的模型。通过动手画椭圆，几何画板展示，让学生感知椭圆的形成，充分尊重学生的认知心理和认知规律，使一切教学活动服从于知识的合理延伸，服从于学生思维的步步深入，这样做符合数学直观想象、数学抽象的核心素养，更返璞归真。

2.课中探究思考

先分析课前作业，动手画椭圆、几何画板演示椭圆，创设知识性和趣味性的情境，激发学生的求知欲，让学生找椭圆、画椭圆的过程中，发挥学生学习的主动性和积极性。让学生直观感知椭圆的形成。通过不同的实物椭圆，抽象到数学中的模型，通过圆柱、圆台的玻璃杯的液面，引出圆锥曲线的由来，学生理解了三种曲线都是不同平面从圆锥面上截得。凸显本课的主题，符合学生的认知规律。

学生从椭圆的发现到椭圆的定义，过渡极为自然，学生易接受。为了激发学生学习数学的兴趣，教师要巧设疑问，活跃课堂氛围，凸显学生的主体性，通过学生的自主分析和探究，加深对数学知识的理解和掌握，课堂提倡学生自主探究，教师应该成为课堂的组织者和引导者。

3.课后数学文化

笔者设计研究椭圆的方法，用类比的方法画双曲线。在画板上画，笔者用吸管代替拉链，学生可以画出双曲线。笔者用下面的习题，用几何画板画椭圆，让学生理解椭圆的画法。（选修2-1课本第49页第7题：圆O半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？）课后学生自己画一圆，可以按照题目折出椭圆，进一步激起学生学习椭圆的兴趣。当点A在圆外时，点Q轨迹就是双曲线。用类比的方法研究双曲线。

拓展思考：倾斜盖子的茶叶罐，笔者在罐子外贴一张纸，把曲线画下来，有兴趣的学生可以证明，是一正弦曲线，并写成小论文。

四、结束语

教学中一定要精心备课，深入钻研课程标准和教材，把握数学本质，根据学生的实际，以学生为主体，一定要充分利用一切可供想象的空间来教学，对教学的内容进行充分挖掘，利用有效的数学实验培养学生的直观想象力，促进学生从题目想到图形，又从图形解释题目的过程。要创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，周密考虑、精心安排学生活动，设计每一节课，将数学核心素养的提升目标落实到教学中。

参考文献：

[1]史宁中.数学的抽象[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2008（5）：169-181.

[2]孙宏安.谈直观想象[J].中学数学教学参考，2017（31）：2-5+33.

[3]倪树平.数学核心素养视角下课堂教学设计之思考——以“椭圆及其标准方程”教学设计为例[J].数学通讯，2018（8）：23-27.

（作者单位：浙江省桐乡第二中学314511）