一类分数阶时滞混沌系统的滑膜控制同步

乔宗敏

(合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

分数阶混沌系统的控制与同步在保密通讯、信息安全领域有广泛的应用[1].由于动力系统普遍存在的时滞现象，分数阶时滞系统的控制与同步成为一个具有挑战性的问题，近年来人们提出了许多分数阶时滞微分方程的控制和同步方法[2-7].但是由于分数阶时滞系统稳定性条件难以验证和数值方法的限制，当前对分数阶时滞混沌系统的控制与同步的研究相对较少.

滑模控制具有对非线性系统的良好控制性能，被广泛应用于线性与非线性系统.由于系统的特性和参数只取决于设计的切换超平面,而对参数变换和扰动不敏感，所以滑模变结构控制具有很强的鲁棒性，近来滑模控制方法已被应用于分数阶微分方程的控制和同步研究[8-9].

论文研究一类分数阶时滞混沌系统的滑模控制同步问题.根据滑膜控制的思想，基于时滞系统设计分数阶滑膜面和滑膜控制器,在保证滑膜面稳定的条件下，得到了等效误差控制系统稳定的条件，并通过数值模拟来验证所提方法的有效性.

1 预备知识

分数阶微积分导数的定义主要有3种：Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov和Caputo导数.论文用到的Caputo导数[10]定义如下

Dαx(t)=Jm-αxm(t),α>0，

其中：m=[α]，为第一个不大于α的整数，xm(t)是x(t)的m阶导数.

Jβ是β阶Riemann-Liouville积分算子，即

其中：Γ(·)是Gamma函数.

引理[11]分数阶时滞微分方程

其中：v(t)∈，t∈[0,+∞]是非负连续函数;φ(t)≥0,t∈[-τ,0]，满足-a+b<0.则方程的零解是渐近稳定的.

2 分数阶时滞系统

考虑以如下分数阶时滞系统作为驱动系统[12]

(1)

其中:分数阶导数α=0.97;系统参数a=3,b=0.1,c=1,τ=0.06;初值为x1(0)=-2,y1(0)=5,z1(0)=1.根据预估-校正算法，用MATLAB求得系统数值解.图1为分数阶时滞系统(1)的混沌状态图，由图1知系统(1)是混沌的.

图1 分数阶时滞系统(1)的混沌状态图

系统(1)可以改写为向量形式

Dαx(t)=Ax(t)+Bx(t-τ)+f(x,x(t-τ))，

响应系统为

Dαy(t)=Ay(t)+By(t-τ)+f(y,y(t-τ))+u(t)，

(2)

其中：y(t)=[y1,y2,y3]T为响应系统的状态矢量，u(t)是控制项.

定义e(t)=y(t)-x(t)，则误差系统为

Dαe(t)=Ae(t)+Be(t-τ)+F(x,y)+u(t)，

(3)

其中

F(x,y)=f(y,y(t-τ))-f(x,x(t-τ)).

对误差系统(3),考虑如何设计合理的控制器u(t)∈3,使得系统(3)渐近稳定，即满足

从而实现上述时滞驱动系统(1)与响应系统(2)的同步.

3 分数阶滑模控制器设计

滑模变结构控制的原理，是根据系统所期望的动态特性来设计系统的切换超平面，通过滑动模态控制器使系统状态从超平面之外向切换超平面收缩.系统到达切换超平面，控制作用将保证系统沿切换超平面到达系统原点.按照主动控制设计思路，控制输入向量u(t)为

u(t)=Kw(t)-F(x,y),

(4)

其中:K=[k1,k2,k3]T是常数向量，w(t)∈为控制输入且满足

将(4)式代入(3)式可得误差系统为

Dαe(t)=Ae(t)+Be(t-τ)+Kw(t)，

(5)

其中：S=S(e)为满足需要的动态切换平面.

根据滑膜控制理论[13]，采用分数阶积分形式的滑模面

S(t)=CDα-1e(t)，

(6)

其中：C=[c1,c2,c3]是常数向量.当到达滑膜面时，满足滑膜面稳定条件

(7)

由(5)，(7)式可得

(8)

因此等效控制weq=-(CK)-1CAe(t)-(CK)-1Be(t-τ)，使得状态轨迹保持在切换面.

为了保证系统状态远离切换超平面时能较快速地趋近S=S(e)，需要适当选择切换控制率wd，这里采用一般滑膜控制器滑膜控制律

(9)

其中：sgn(·)表示符号函数；μ>0,η>0是常数，其选择满足滑膜条件并且保证了滑膜运动能够发生.

由(7)，(9)式可得转换控制为

wd(t)=-(CK)-1(μS+ηsgn(S))，

从而得到控制输入

w(t)=wd(t)+weq=-(CK)-1CAe(t)-(CK)-1CBe(t-τ)-(CK)-1(μS+ηsgn(S)).

(10)

证明考虑如下李雅普诺夫函数

则由(5)式可得

ST(t)(-μS-ηsgn(S))=-μ‖S(t)‖2-η‖S(t)‖≤0.

由李雅普诺夫稳定理论知滑膜面是渐近稳定.

在到达滑膜面时，等效控制系统为

Dαe(t)=A*e(t)+B*e(t-τ)，

(11)

其中

A*=A-K(CK)-1CA,B*=B-K(CK)-1CB.

选择适当C,K就可以保证等效误差系统渐近稳定，有下面的定理2.

定理2若存在C,K，使得A*+A*T+B*B*T+I<0，则误差系统(5)零解渐近稳定，从而分数阶时滞混沌驱动系统(1)与响应系统(2)同步.

证明构造系统李雅普诺夫函数

V(t)=eT(t)e(t)，

则由引理1知，V(t)沿系统(10)的分数阶导数为

DαV(t)≤2eT(t)Dαe(t)≤2eT(t)(Ae(t)+Be(t-τ))≤

2eT(t)(A*e(t)+B*e(t-τ))≤2eT(t)A*e(t)+2eT(t)B*e(t-τ)≤

eT(t)(A*+A*)e(t)+eT(t)B*B*Te(t)+eT(t-τ)e(t-τ)≤

eT(t)(A*+A*T+B*B*T)e(t)+eT(t-τ)e(t-τ)，

如果A*+A*T+B*B*T+I<0，则存在a<1,b=1，有不等式

DαV(t)≤-aeV(t)+bV(t-τ)，

再由引理1知等效误差控制系统(10)零解渐近稳定，从而可以实现分数阶时滞系统的滑膜控制同步.

4 数值仿真

为了验证滑膜控制同步方法的有效性，在误差系统到达滑模面时，结合线性矩阵不等式的数值解法，选取控制器参数K=[-6,-1,-9]T,C=[2,3,5],满足定理2的条件

A*+A*T+B*B*T+I<0,

从而等效误差控制系统(10)零解渐近稳定.

对系统进行MATLAB仿真时，驱动系统初值x(0)=[0.1,2,0.5]T，响应系统初值为y(0)=[-1,-2,-2]T.图2(a)～(c)分别是系统各状态变量的同步情况，图3(a)～(c)分别是误差系统状态变量随时间的变化曲线，图3(d)是滑膜面随时间的变化曲线.由于采用的是符号函数切换控制器，所以滑膜面曲线有振动现象[13-14]，如果选取其他连续切换控制器，便可以消除此振动现象.仿真结果表明，所设计的滑膜控制和同步方法是有效的.论文方法可以推广到其他分数阶时滞混沌系统的控制和同步，另外也可以进一步研究带有不确定项和外部扰动条件的滑膜控制和同步.

图2 驱动和响应系统各状态变量的同步情况

图3 驱动和响应系统的误差随时间变化的曲线