二次函数中三角形面积最大值问题解法探究

谢雄俊

【摘  要】近年来，二次函数图象中以动点引起的三角形面积变化问题，因底或高的不确定性，往往不能直接利用三角形面积公式求解。此类问题综合性强，灵活多变，给学生带来了解题困扰。

【关键词】二次函数;三角形面积;最大值

中图分类号：G633.62      文献标识码：A      文章编号：0493-2099（2020）27-0142-02

【Abstract】In recent years， the problem of changes in the area of triangles caused by moving points in quadratic function images cannot often be solved directly using the triangle area formula due to the base or high uncertainty. This type of questions is comprehensive and flexible， and it causes problems for many students.

【Keywords】Quadratic function; Triangle area; Maximum

二次函數是初中数学知识体系中的重点和难点，它综合几何图形形成的综合题和探究题更是增加了学习的深度和广度，对学生的思维能力和学习能力提出了更高的要求，成了近年来中考的热点。本文将以2016年湖南省某市数学中考第26题为例，就二次函数中三角形面积最大值问题的解题思路、方法与技巧进行探讨和归纳，供大家参考。

评析：割补法通过灵割、巧补化不规则图形为规则图形或化不规则图形为有利于面积表达的常规几何图形进行面积的推导和计算。本题利用割补法求[△ABP]的面积，关键在于分割出有利用面积表达的[△ADP]和[△BDP]，利用其面积和减去[△ABD]的面积。使用割补法解题时可考虑乘法分配律与结合律，降低运算难度。

解法二：铅锤法

评析： 切线法从几何模型的角度另辟蹊径解决了二次函数中三角形面积最大值问题。题中因三角形底[AB]为定值，要求面积最大，只需高[PF]最大。又因为[P]是抛物线上一个动点，且在[AB]下方，可过动点[P]作直线[AB]的平行线l逐渐向下平移。移动中发现直线与抛物线交点数从2个变为1个时，高[PF]最大，此时三角形面积最大。本文从各个角度探究了二次函数中三角形面积最大值问题的解法，但在教学中，引领学生探究习题的解法，不只是为了让学生会用不同的方法解题，重要的是启发学生的思维，发展学生的思维，提高学生解决问题的能力。

参考文献：

[1]高培旺，快乐学几何：平面几何解题的模型法[M].湖南科学技术出版社，2002.

[2]许世文.“三角形面积最大值”问题的解题技巧[J].数学大世界（初中版），2011（Z2）.

[3]杨永巍.函数综合题中斜三角形面积最大值的多种求法[J].数学学习（海口），2015（04）.

（责任编辑  范娱艳）