精准建构数学起点型核心知识

刘正松

摘    要  学科知识是教育教学活动的载体，承载着培育学生学科核心素养的重任。教学中应重视起点型核心知识的教学，以“图形的放大与缩小”为例，从学生练习中一道高错误率的习题入手，剖析背后的原因，并在实践的基础上提出课标要求明确细化、教材编排适度拓展、教师教学把握本质等建议，引领学生精准建构起点型核心知识，发展学科核心素养。

关键词 核心知识 小学数学 教学研究

数学基础知识是教育教学活动的载体，承载着培育学生数学素养的重任。然而，不同领域的知识纵横交错地分布在各年级教材中，教师唯有扣准核心知识，特别是那些处于某个知识领域、知识板块、知识序列起始位置的核心知识[1]，设计必要的数学活动，精准建构，才能促使学生形成对知识的深度理解，彰显知识背后独特的育人价值。

一、问题

“图形的运动”是“图形与几何”领域的重要内容，主要包括图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影。其中，“图形的相似”是第三学段该领域的核心知识之一，往前追溯，第二学段中“图形的放大与缩小”是这一核心知识的起点，作为典型的起点型核心知识，它与前后教学内容的联系如图1所示：

从图1中我们可以充分感受到数学知识的关联与结构的严谨。为了解学生对“图形的放大与缩小”这一知识的掌握情况，笔者将一道习题（见图2）编排在练习卷中，组织学生随堂练习，结果显示：被测试学校六年级8个班369名学生中，“按3：1的比画出三角形放大后的图形”这一问题的正确率为97.8%，而“按1：2的比画出平行四边形缩小后的图形”这一问题的正确率仅为10.8%。学生的错误画法如图3所示：

两道同一类型的题目，正确率差异如此之大，出乎笔者意料。惊讶之余，笔者就“按1：2的比画出平行四边形缩小后的图形”这一问题对部分师生进行了访谈。当问及学生“做这题你是怎么想的？”时，大多数学生的第一反应是自己做错了，然后迅速回看题目与解答，并反问：“难道不对吗？”当我们明确回复“不对”时，他们说出了自己的想法：“题目要求按1：2的比画出平行四边形缩小后的图形，这里的1：2是画出的平行四边形与原来平行四边形对应边长的比，原来平行四边形的底是4，高是4，所以缩小后画出的平行四边形的底应该是2，高也应该是2。”从学生的回答中不难看出，学生的思路是很“清晰”的，这也便于我们找出问题的症结所在。

更令笔者惊讶的是，在统计学生答题情况时发现有几位教师竟将图3中的答案判为正确。当我们将标准答案呈现在他们面前时，批改错误的教师立刻意识到自己错了，并表示“当时批改得比较快，没有仔细看”，也有个别教师追问笔者：“教材中的例题和习题都是将长方形、正方形或直角三角形按一定的比例放大或缩小，像平行四边形的放大或缩小这样的问题要教吗？”显然，这类问题教与不教也是困扰部分教师的问题之一。

二、归因

学生学习中出现的问题与教师的教学密不可分，而教师教学中出现的问题其根源更加复杂，剖析问题背后的原因，将有助于我们更好地实施教学。

1.课标界定不清

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第三部分“課程内容”中对“图形的放大与缩小”是这样要求的：“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。”[2]这里明确规定了 “图形的放大与缩小”需借助方格纸进行，但对于“图形”的界定有些模糊，所谓“简单图形”到底是哪些图形？平行四边形、三角形（指一般三角形，下同）、梯形（指一般梯形，下同）和圆是简单图形还是复杂图形？课程标准并未明确。《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》一书对这一知识点的解读如下：这里的“放大或缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原来的图形形状相同而大小不同。这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础[3]。在这段解读中，同样没有关于“图形的放大与缩小”中“图形”的界定。

2.教材以偏概全

教材的编写是以课程标准为依据的，但课程标准并未明确具体的教学素材。于是，教材编写人员一般根据学生的知识背景、认知规律和活动经验选择适合的素材编排学习内容。笔者分别查阅了人教版、苏教版和北师大版小学数学教材，它们都将“图形的放大与缩小”安排在六年级下册教学，而且不约而同地选择长方形、正方形和直角三角形这三种图形作为教学素材。究其原因，长方形确定长和宽、正方形确定边长、直角三角形确定底和高（互相垂直的两条直角边）也就确定了整个图形，这与学生当初学习这些图形特征时所认识的图形的基本元素完全一致，而且这些边都位于方格纸的格线上，其长度可以根据方格纸清楚地数出来。三种版本的教材都回避了平行四边形、三角形和梯形等图形，教师教学时也不曾关照，学生出错率如此之高便不足为奇。

3.教师不求甚解

如今，一线教师大多都是正规院校毕业，我们不用怀疑他们的数学专业知识，但部分教师的责任心不够，对一些教学问题不求甚解： 其一，也许是习惯了教材中常见的几种图形，导致有些教师对平行四边形、三角形和梯形的放大与缩小这一问题缺少基本的认识，面对学生的错误全然没有发现，批改出现差错;其二，在各种教辅资料关于“图形的放大与缩小”的练习中，我们经常可以看到三角形、平行四边形等图形的身影（见图4、图5）。这些练习与教材上的例题、习题相比，差别较大，而且学生的错误率极高，却没有多少教师对习题的编排是否得当产生怀疑。

三、尝试

笔者以为，既然课程标准中安排这一内容，理应帮助学生建立正确的表象。倘若教学素材都是长方形、正方形和直角三角形这些特殊的图形，学生虽能顺畅地按指定要求将图形放大或缩小，但据此认为学生已掌握了图形放大与缩小的方法显然是自欺欺人。为此，笔者在另一所学校六年级6个班237名学生中进行了对比教学实验，当学生结合两幅长方形图片初步认识“图形的放大与缩小”这一概念后，教师引导学生将长为4，宽为2的长方形先按3：1的比放大，再按1：2的比缩小，并比较放大或缩小前后的图形，直观感知变化前后的图形形状不变、大小发生变化这一显性特征。在此基础上，进一步选择平行四边形组织学生展开研究：

出示：

师：这是一个底是2，高是1的平行四边形。如果把这个平行四边形按2：1的比放大，会得到怎样的图形呢？闭上眼睛想一想。

接着出示：

师：有学生根据要求画出这样三个平行四边形，他们画得对吗？先独立看一看，再和小组同学说说自己的想法。

生1：①号和③号不对，②号是对的，看上去只有②号图形和原来的平行四边形形状相同。

生2：我也认为②号是对的。虽然这三个平行四边形的底和高都分别是原来平行四边形的2倍，但①号和③号平行四边形的角与原来的平行四边形不同。

师：从同学们的交流中不难看出，我们把原来这个平行四边形按2：1的比放大，如果只关注底和高，将底和高分别放大为原来的2倍还不行，还要关注什么？

生：还要关注角，如果边与边的夹角度数变了，图形的形状也就变了。

师：大家说得都有道理，不过怎样才能确保这里的夹角度数不变呢？

生1：可以先用量角器量一量原来的夹角，然后画放大后的图形时先画出一个同样大的夹角，接着把原来角的两条边分别按2：1的比放大，确定相邻的两条边就可以补充出完整的平行四边形。

生2：还有一个简单的方法，先在原来的平行四边形中作出一条高，把这个平行四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，然后先将这里的直角三角形按2：1的比放大，这样就可以确定放大后图形的夹角和相邻两条边的位置了，然后在画出的直角三角形上补充出完整的平行四边形。

……

这一教学片段在整节课中用时不多，但意义深远。试想，如果直接出示底是2，高是1的平行四边形，让学生按2：1的比放大，学生可能会在不知不觉中出错，但转换思路，先让学生直观想象一下，然后提供几种答案让学生选择，学生在比较中大多能选出正确答案，从而聚焦于角度不变这一不易察觉的本质特征，使得“图形的放大与缩小”这一起点型核心知识建构得更加精准。

一周后，笔者将这样一道操作题（见图6）编排在单元练习中，给该校六年级学生练习，结果显示：正确率为91.1%。这一数据足以说明在教师有效的教学干预下，这类问题虽难度稍大，但大部分学生解答时并没有太大的障碍。

四、建议

笔者以为，课程标准、各版本数学教材和一线教师无需遮遮掩掩，应理直气壮地明晰“图形的放大与缩小”的相关要求，帮助学生精准建构起点型核心知识。

1.课标应明确细化起点型核心知识的要求

学生数学学习的过程是逐步建构属于自己的知识体系的过程。数学核心知识是知识体系中的主干，其重要性毋庸置疑，而起点型核心知识具有生长基因，它是知识体系建构的基础，明确相应的教学要求將决定着知识体系的走向与深度。

既然六年级学生能按指定的比将平行四边形、三角形和梯形放大或缩小，那么，作为教材编写和教师教学向导的课程标准对第二学段“图形的放大与缩小”的要求应更为精确。首先，这里的“图形”应涵盖小学阶段学习的六种基本图形：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形和圆。其次，考虑到三角形、平行四边形和梯形在放大或缩小的过程中确实难于长方形、正方形和直角三角形，因此，对这几种图形的教学可分别对待。对长方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圆的要求为“能利用方格纸按一定比例将长方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圆放大或缩小”，这里需要达到再现的水平;对于平行四边形、三角形、梯形的要求为“在具体情境中能正确判别平行四边形、三角形和梯形的放大与缩小”，这里只要求达到再认的水平。如此要求，清晰准确地表达了第二学段“图形的放大与缩小”所要达成的目标，其中，对长方形、正方形、直角三角形、直角梯形和圆这五种平面图形重在体验简单图形放大和缩小的方法，而平行四边形、三角形、梯形重在体会相似变换的特点，从而丰富学生对“图形的放大和缩小”的体验。

2.教材须适度拓展起点型核心知识的编排

学生的现实是我们开展教育教学活动需要关注的首要因素。因此，有时基于学生的认知与心理特征，某些起点型核心知识编排时只能点到即止，但为了帮助学生形成清晰的认识，完善其认知结构，需要进行适度的拓展与延伸，满足学生的个性化学习需求。

回顾“图形的放大与缩小”的相关教材，面对课程标准较为笼统的提法，各种版本的教材都十分审慎地进行了编写，这本无可厚非。但实践表明，倘若我们仅用长方形、正方形和直角三角形这三种特殊的图形作为研究对象，教学“图形的放大与缩小”的相关知识，难以帮助学生建立清晰、正确的表象。不过，将所有学过的平面图形作为研究对象，统一要求，又明显增加了学习的难度。好在教科书天然蕴含选择的基因。它所承载的内容或所谓内部知识空间的内容，都是从浩瀚的外部知识素材中选择来的[4]。因此，我们编写教材时应寻找两者的中间地带，既还学生清晰的认知，又不加重学生的学习负担。苏教版数学教材已做了一些有益的尝试，教材在练习最后编排了一个内涵十分丰富的实践活动——“动手做”（见图7）。“动手做”选取了四个图形，除第一个长方形外，其余三个都是一般的图形。如此编排足可见编者的良苦用心：一方面，学生通过对具体实例的观察和比较，从不同的视角学习把一个简单图形放大的方法，有利于学生进一步积累把平面图形放大或缩小的经验，加深对所学知识和方法的理解;另一方面，这几个图形恰好是对例题几个图形的有效补充，呈现的方法更便于学生把握图形相似变换的本质特征，让学生对所学平面图形的放大与缩小有一个较为完整、清晰的认识。

3.教师要准确把握起点型核心知识的本质

起点型核心知识在学生知识体系建构过程中的独特价值毋庸置疑。因此，教师应准确把握知识本质，慎重对待起点型核心知识的初次教学，让学生获得正确的知识、有效的方法、合理的策略，以保证在后续教与学的过程中能够顺利建构新知识[5]。

“图形的运动”在义务教育数学课程内容中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化，如平移、旋转和轴对称;二是改变图形的大小，不改变图形的形状，如图形的放大与缩小。可见，相似是不同于平移、旋转、轴对称的另一种图形变换，它改变两点间距离的大小，不改变角的大小，因此也称为“保角变换”。从学生练习中出现的问题我们不难想到，教学中结合具体的例子让学生感知到变换过程中的“保角”尤为关键。当然，所有这些唯有教师自己能透彻地理解，才有可能寻找到学生悦纳的方式展开教学。一个最为朴素的原则就是起点型核心知识宁可少教或不教，也不能教错，否则，一旦埋下错误的种子，后面再补救反而得不偿失。

知识说到底就是教学的媒介，教学的宗旨是通过知识的学习促进学生核心素养的发展[6]，但过多过杂的知识教学会在不经意间冲淡教育教学的本源目标。因此，系统梳理教材中的教学内容，厘清核心知识，并选择起点型核心知识展开深度教学，无疑是一线教师最为智慧的选择。

参考文献

[1] 魏光明.小学数学起点型核心知识的认识及研究视角[J].数学教学通讯，2019（31）.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4] 石鸥，张美静.被低估的创新——试论教科书研制的主体性特征[J] .课程·教材·教法，2019（11）.

[5] 魏光明，王俊亮.小学数学“起点型核心知识”教学初探[J] .江苏教育研究，2018（10）.

[6] 余文森.从“双基”到三维目标再到核心素养——改革开放40年我国课程教学改革的三个阶段[J]. 课程·教材·教法，2019（09）.

[责任编辑：陈国庆]