新课标下高中数学数列问题的研究

2020-11-16李玉恒

新课程·上旬 2020年15期

李玉恒

摘要：现如今，随着我国现代化建设进程的加快发展，为教育事业的创新、改革发展创造了良好的条件，由此极大地推动了新课标的进一步发展。在新课标教育环境下，关于高中数学学习方向重新提出新的要求，特别是对于数列所提出的要求较高。数列教学在高中数学教学中始终都占据着至关重要的地位，与人们的日常生活工作紧密联系，如分期付款与银行储蓄等。当下，随着新课程改革的进一步深入，高中数学急需改革与创新原有的学习方式，强化学习数学数列，且数列知识在高考中占有重要地位，为提高数学成绩，就需要高度重视学习高中数学数列。

關键词：新课标;高中数学;数列问题

数列问题作为组成高中数学教学的重要部分，也是高考数学的热点，出现形式以压轴题为主，在高考数学分值中占据重要位置，与我国的日常生活息息相关，是组成新课程改革的重要内容，所包含的数学思想、方法，有助于学生数学能力的发展与提高。基于此，在高中数学学习中，数列问题作为一个重点问题，其基础内容、重要内容都在于数列通项公式，为更好地学习这部分知识就需要掌握相关通项公式。

一、高中数学数列的重要性

数列知识作为组成高中数学教学的重要内容之一，需要引起学生、教师的高度重视，且数列知识在人们的日常生活、工作中比较常见，如工资计算、产品规格、细胞分裂等，学生通过学习数列知识可致力于自身运算、推理能力的显著提高，为此学生需要高度重视数列知识的学习与掌握，在学习过程中强化对学习方法的创新、知识的挖掘，采用科学、有效的方法，更好地掌握相关知识。同时，在数列学习过程中，学生需要产生一定紧迫感，正确理解数列知识的重要性，然后才会积极、主动地学习数列知识[1]。

二、高中数学数列内容介绍

1.地位

按照新课程的改革标准，高中数学需要按照“螺旋上升式”的原则来合理安排教学内容，为此“数列”作为一个独立章节出现在高中数学必修五第二章节中，所占课时共计12个。同时，数列在高中数学中的重要作用体现在数学联系上，与不等式、函数、方程等数学知识密切相关，所体现的思想方法比较独特，如类比归纳、分类讨论、等价转化、整体代入、函数和方程等。

2.学习内容重点、难点

数列的学习重点在于其属性、项目，在探讨过程中需要运用函数观点，对其求和的基本方法与相关递推问题等进行熟练掌握。难点在于数列与不等式、函数等综合问题，为有效解决就需要采用递推数列的方式。

3.数列性质

数列性质比较特殊，究其原因在于其定义在正整数集上是特殊函数之一，因此函数所具有的一般性质都具有，如单调性、最值、周期性等。同时，在数列中考查的重点在于其函数性质，其在一定程度上是数列、函数的交汇点，是高考热门考点与重点考查的知识点，能够对学生本身所具有的综合能力进行客观考查[2]。

三、新课标下学生在数列学习中存在的问题

在新课标下，学生在学习高中数学数列中对于等差数列的通项目公式、求和公式的复习与预习缺乏积极性，但是这种题型缺少解题捷径，学生在解决固定题型时往往很难有效地应用正确公式。再加上，学生做题本来就少，解题思路仍然沿用传统方式，一旦题型有变，学生在解题面前就会显得手足无措，更谈不上灵活地应用数列知识了。在数列解题过程中，累加法、累乘法均具有良好的推导性，有利于学生有效地处理等差、等比数列，但是其公式并不能为许多学生有效地掌握与理解。在与自然数相关的题型中，学生很难掌握其知识点，因此在证明题型中关于数列通项的得出就不能借助递推公式。

四、新课标下数列问题的解决策略

1.创新学习方式与增强学习兴趣

按照新课程改革的要求，需要致力于学习方式的创新。学生在学习数列时可以提前预习、复习相关知识，过程中罗列出重点、难点、不懂的问题，然后在课堂学习中积极地与同学、老师认真地沟通与交流，并将其主体作用充分发挥出来，然后对数列知识的发展、演变过程进行详细的探究，确保问题的及时发现与解决，在探究过程中对探索所带来的感受进行充分体验，强化对知识发展过程的感受，增强自身的学习兴趣，促进自主学习能力的显著提高，促进发散思维的发展，更好地理解与应用数列知识[3]。

2.为帮助学生更好地理解知识需要充分借助多媒体技术

随着科学技术的进一步发展，多媒体技术在社会生活的方方面面中渗透，在数列学习中也逐渐引入多媒体技巧。针对数列知识的抽象、难懂性，教师为帮助学生更好地学习数列知识，可巧妙地融合多媒体技术，借助多媒体技术的直观性帮助学生再次学习数列中的重点、难点知识，更好地掌握与运用数列知识，从而使其能够更好地吸收知识。如此一来，可满足高中生的好奇心理、创新心理，调动对于学习的主观能动性，从而能够更好地吸收、掌握相关数列知识。

3.合作学习，增强学习效果

合作学习在新课程改革中是一种新型方式，通过合作学习可帮助学生更好地预习、复习相关数列知识，及时找出知识中存在的问题、解题思路与结论。学生之间通过相互学习与弥补，有助于强化对数列知识的学习，从而有助于学习目的的实现，为学生营造良好的学习环境，通过相互学习与影响，再加上通力合作，能够将数列知识所具有的共通性不断挖掘出来[4]。

五、通项公式的几种求解方式

在数列部分教学中，通项公式一直都是教学重点，是一切数列问题得以解决的基础，本文主要结合高考题目介绍了五种求解方式。本质上这五种方式是应用数学思想的重要体现，观察法能够将数学中的数形结合思想体现出来;待定系数法可以体现函数与方程思想;构造法、累乘法、累积法能够体现化归与转化思想。基于此，教师在数列部分教学过程中需要旨在帮助学生更好地掌握与学习这部分知识，在教学过程中潜移默化地渗透相应教学思想，学生在数学问题解决过程中能够更好地应用数学方法，营造高效的课程教学。

1.观察法求通项公式

这是求数列通用公式的基本方法，在判断时主要通过观察数列{an}中第n项数值和这项之前的数值关系，在高考中主要具有两种类型的试题，即表格与图形。

2.待定系数法求通项公式

在求通项公式时，采用待定系数法主要是结合公式法，往往要求学生必须掌握一定的运算能力，帮助学生在短时间内认真求出通项公式，通常主要包括两种情况，即无关于Sn和an数列，关于学生掌握等差、等比数列的通项情况考查，可以通过直接给出等差或等比数列的方式[5]。

如：已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10，求数列{an}的通项公式。

问题分析：按照问题，要求学生在构造方程时学会利用待定系数法，求解时借助方程，然后确保数量关系能够在短时间内快速找到，而解题的关键在于方程组的构造，根据题意将相关方程组列出来，最后可以求出a1=1、d=-1，因此an=2-n。另一种方式可实现Sn和an相关知识的有效融合，关于数列通项公式的计算可以充分利用二者关系，在具体求解过程中需要对通项公式、前n项和的定义进行牢固记忆。

3.构造等比数列或等差数列的方式求通项公式

这种方式主要是经过构造法，转变烦琐、缺乏规律性的数列结构为递推式，然后求解，采用这种方式可直接将通项公式求出来。

4.累加法求通项公式

在解决数列部分问题时，如存在递推数列，即an+1=an+f（n），借助累加法可以将其向an+1-an=f（n）的形式转变，如此数列通项公式可以更快捷地计算出来。

如：在已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2，则在bn=an+1-an的情况下，如何证明{bn}为等差数列。

问题分析：通过观察题目中的等式，不难发现题目中的数列关系为递推关系，求解时可以采用累加法，值得一提是在求解之前需要变形已知关系。

5.累乘法求通项公式

若an+1/an這样的数列出现在数列部分问题的解题过程中，为快速解题可以采用累乘法。本质上累加法、累乘法都是通过变形已知数列来实现对新递推关系的构造，在此基础上进行求解，求解时关键在于化归、转化数学等式，实现对新递推关系的构造[6]。

六、数列应用能力的学习

1.合情推理能力与创新意识的培养

俗话说，没有大胆的猜测，就不会有伟大的发现，为此需要大胆的猜测与归纳判断，然后进行科学的论证。为有效解决各种问题，拥有一定创新意识至关重要，在问题解决过程中合情推理能够提供一定线索，便于结论的得出[7]。

2.推理论证能力的培养