培养反思能力，提高数学学习效率

张家贵 张志勇

摘 要：数学学习困难生的形成，不积极、不善于进行反思是其重要原因之一，在数学教学中应通过适当的方法与途径，强化反思意识与反思训练，使学生学会反思的主要方法，并养成良好的反思习惯。

关键词：数学教学;反思;思维;学习困难生

有数学家说过，“反思是数学思维活动的核心和动力”。对此，笔者在数学教学中研究学习困难生的成因时有深刻的感受。学生学习数学时，如果不积极反思，就错失了解析问题的一个重要环节和有效训练数学思维的机会，对问题的理解就缺乏深度与广度，就不能优化思维活动过程而难以抓住问题本质;如果不善于反思，就不能很好地沟通知识间的相互关联，就难以发现有效问题、产生创新见解以实现知识的内化及迁移。因此，引领学生积极有效地反思，对提高学习数学的效率是十分重要的。

一、强化反思意识

《普通高中数学课程标准》指出：“在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知……反思与建构等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。”课标还要求教学评价要关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法。”

反思对数学认知过程起指导、支配和反馈作用，它能充分发挥主体作用，使学生有效地控制自己的思维和学习过程，进而学会学习并培养数学综合素养。但是，大部分数学学习困难生，反思意识与反思能力不强，遇到看似陌生的复杂数学问题时，很难对自己先前的思维过程进行总结或诊断。因此，要让学生明了“通过反思对自身数学学习过程中的认知进行评价或诊断，能有效地提高学习效果”，从而使他们增强反思意识并积极开展反思活动。

二、教学生学会反思的主要方法

1.诊断错误，激发反思

引导学生发现各个环节中存在的障碍与偏差，从中获得反思的对象信息，然后回顾找到思维活动中出现的“问题”，进行诊断性反思。

错因诊断：向量的数量积是一个实数，若两个实数相等，则它们的绝对值也相等。由①至②的推导成立;但学生运用实数绝对值的性质来移项、分解因式，做出③这一推导，把实数的性质用在  向量的运算中能成立吗？

要帮助学生严谨地回顾自己的思维活动，看思路是否清晰、严密。如果出现了偏差，检讨出现偏差的原因，找到避免出现偏差的方法，通过举证来印证并沟通新旧知识间的联结，拓宽思维的视野，再通过变式训练加以巩固。通过对答题的疏失进行诊断性反思，使学生更好地把握数学概念的内涵与外延而理清思路，能增强对正确分析问题的思维活动的体验，对学生思维能力的训练才能达到应有的深度和广度，才能更好地培养学生数学思维的准确性、敏捷性与概括性。

2.从不同角度切入，从殊途同归的思维程序中选优

所谓反思，就是对问题及解题的思维活动，从新的视角，进行多层次、多方位地考察和分析。要重视一题多解、多题同解的训练和变式训练，通过创设适合学生认知心理特點的、层次分明的、多变的问题情境，激发学生的求知欲，由浅入深地启发反思、引导探究，使学生养成从不同角度分析问题并优化解决问题的习惯。

思路1是容易想到的方法，先对思路1进行反思：“虽然能解决问题，但运算繁琐费时。有运算简易的方法吗？”试着换一个角度切入，寻找根式是否与什么数学公式相似，发现两个根式的几何意义为动点与定点间的距离，进一步分析把需要化简的方程式与椭圆联系起来，就找到了快捷解题的巧妙方法与途径，形成思路2。再对思路2进行反思，先回顾思维活动过程理清思路总结方法，再设想改动原式中的某个常数，或把x、y互相替换，会有何变化？又怎样化简？

3.反思问题本质，提高思维抽象程度

学生解析例1出错，是因为忽视了向量的数量积与物理中求合力运算法则相同的本质;初看例2是根式方程，经过仔细观察并与两点间距离公式比对后，再进行数据处理、分析和空间想象，又发现这一根式方程的特殊本质——椭圆方程的一种形式。自然就生成出思路2，把化简的目标指向构建椭圆的标准方程。

数学既要讲逻辑推理又要讲道理，在解决一个或几个问题后，启发学生联想，寻找它们之间的关联，分析问题的实质和蕴含的规律，将问题深化，可以使学生思维的抽象程度提高，较容易发现和把握问题的本质。

三、强化反思训练，使学生形成良好的反思习惯

要从支持反思的对象的“基础”及“趋于达到的进一步结论”上着手，通过不同途径启发和训练学生多思考，积极地对解析数学问题的认知活动和结果进行自我认识、自我评价与自我调控，使学生形成良好的反思习惯并培养数学反思能力。

1.反思非智力因素对学习的影响

反思是认知过程中实施自我调控的重要方式。要从情感态度价值观角度，引导学生反思学习的目的、态度、习惯与意志等非智力因素对学习的影响，使学生认识到自身存在的相关问题，并帮助他们加以改进，从而提高学习的主动性。

2.在学习“新知”时进行反思

通过预习后的反思，发现自主学习没有理解或解决的问题，以便带着问题听课，集中注意力关注个性化的关键问题。

一边听老师讲解知识、思路与方法，一边反思萌生疑问或见解。如听老师讲解直线与平面垂直的判定时，反思“为什么一条直线与平面内两条交叉直线垂直，这条直线就与这个平面垂直？”通过设想一条直线与平面内的一条直线或两条平行直线垂直的多种图像印证老师的讲解，这样的听课反思使学习刺激的强度提高了，数学定理不再是背诵的条文，而是转化为抹不去的形象。

3.对解题过程进行反思

日常性的反思训练，主要是对解析典型数学题的具体解题过程进行反思。通过反思，学会运用数学知识、原理及思维方法发现解题策略与技巧，同时获得深刻的思维体验。有了深刻的体验，在解别的题时，会受先前获得的体验的启发，思维就容易被激活，就能快捷找准解决问题的策略与途径。

（1）对习题立意进行反思

命题者要求学生掌握什么数学知识、方法、技巧？所要解析的问题，对解决哪些相关联的问题有参照价值？这种反思，既有利于学生将习题情境与解决问题的概念、原理、技法链接起来训练破题能力，又有助于学生把握具体的学习目标与学习重点。

（2）对解题过程中的思维活动进行反思

解题过程中，是否很好地理解了题意而快速、准确地捕捉到破题的思维目标指向？分析题干与设问之间的内在联系的过程中，因为什么疏失而走了什么样的弯路？这些疏失应该怎样避免？

（3）对解题方法与技能进行总结性反思

解决当前问题还有哪些可行的方法？难题按普通途径求解，环节多而费时费力，有没有“巧”？发现“巧”有什么数学原理或规律可循？

如果改变题设的部分条件或求解目标，解析思路如何转换？求解过程或结论将会出现怎样的变化？使用的技法可以用来解决哪些问题？可否将当前命题推广开来？如果认为可以推广，进一步考虑并检验结果、结论的准确性与充分性等。

4.二次反思巩固学习成果

教学生做好學习笔记，把好题目与好方法，把容易解错的典题与失败的教训，有所侧重地记录下来，过一段时间后看看，回顾先前的学习过程与反思活动，进行二次反思、探讨。这不仅是复习巩固，还可能有新的发现，获得更深刻的认知，是学生养成以反思为核心的良好学习习惯并提高学习效率的有效途径。

反思是发现问题与解决问题的手段，反思的程度以恰到好处地解决问题为标准，应选择的具有一定价值的问题让学生反思;数学反思能力的培养，要与数学思维、空间想象、原理应用、知识或情境迁移等解决数学问题的各种能力的培养结合起来;还要树立整体教学观，不仅从小处入手，还要从大处着眼。只有这样，才能使学生（尤其是学习困难生）形成反思的习惯与能力，不断提高数学素养。

参考文献：

徐永忠.运用元认知理论，培养学生数学反思能力[J].中学数学研究，2004（10）.

注：本文系湖南省“十二五”一般资助规划课题“普通高中学习困难生学校教育援助机制研究（XJL012BZXX002）”成果。

作者简介：张家贵，中小学高级教师，郴州市教育突出贡献奖获得者。