基于核微分同胚变换的实时剩余寿命预测

张卫贞，石 慧，曾建潮,2+，张云正

(1.太原科技大学 工业与系统工程研究所,山西 太原 030024; 2.中北大学 大数据与视觉计算研究所，山西 太原 030051)

0 引言

随着信息传感技术的发展，利用系统设备产生的数据对其故障进行预测与健康管理(Prognostics and Health Management, PHM)已成为复杂系统健康状态检测和维修规划的重要参考依据。PHM体系中，系统关键部件的剩余寿命预测作为核心研究内容，近年来得到了广泛的研究。现有的剩余寿命预测方法主要包括物理模型、专家知识模型和数据驱动预测模型等。对于复杂的机械设备，物理模型的建立往往十分困难，可获得的专家知识也不完备，因此基于数据驱动的寿命预测方法逐渐受到重视[1-5]。Huang等[6]基于支持向量机算法建立退化模型，用于剩余寿命的预测;Chryssaphinou等[7]利用离散时间半马尔科夫链建模部件的退化;Si等[8]对回归模型、随机滤波模型、比例风险模型、隐马尔科夫模型等基于数据驱动的剩余寿命预测模型进行了综述。许多表征设备磨损或裂纹发展的单调退化过程被建模为Gamma过程[9-11]。但现有的许多数据驱动剩余寿命预测方法，都需要退化模型假设并进行参数估计，假设的模型与实际模型之间往往存在较大差距，且参数估计的最优化可能导致收敛到局部最小却不能保证全局最优，因此预测模型并不能保证最终渐近收敛于真实模型。

基于核密度估计(Kernel Density Estimation, KDE)的实时剩余寿命预测方法，从数据本身出发研究其分布特征，不对数据分布形式做任何假设,可避免现有许多数据驱动方法寿命预测时需要模型结构假设及参数估计的问题。但预测模型中的核密度估计，大多利用的是传统核密度估计[12-16]，定义域是整个实数域。在许多实际情况下，研究变量往往并不是在整个实数域都有定义，而是存在一个边界或两个边界的有界区间。传统核密度估计在用于有界区间变量的概率密度估计时，区间边界处往往由于没有良好的收敛性会产生边界偏差问题[17-19]，从而影响概率密度估计的准确性，进而导致应用到实时剩余寿命预测模型时进一步影响到预测结果的准确性。

近年来，关于传统核密度估计用于有界支撑区间变量时存在的边界估计偏差问题，已经提出了一些解决的方法。一种简单的方法是将随机变量区间外的核密度估计值置为0，但其缺点是获得的估计不再能使概率估计整合为1，且区间边界附近的贡献可能比远离边界点的贡献小，分布的权重可能会被低估。Chen[20]针对传统对称核密度估计用于两个边界随机变量时存在边界偏差问题，考虑用Beta密度函数族作为核函数来估计有界支撑的概率密度,Beta核的核函数形状随着观测值的变化而变化，从而消除边界偏差的影响;Malec等[21]、Chen[22]利用基于非对称Gamma核的估计方法，对[0,∞)上的正随机变量根据调整参数对密度函数的形状进行调整来进行估计。对于支撑区间仅有一个边界的非负变量，Gamma核可看作是Beta核的扩展,但Gourieroux等[23]研究发现文献[22]的Beta核在边界处仍不能很好地刻画密度特征，并有未正则化的缺点;Zhang等[24]指出了文献[22]方法的缺陷，并重新将Beta核与所提出的改进核在不同密度函数形状假设下作了对比，结果显示在密度函数的一阶导数为0的边界处的密度，非对称核估计结果较好。事实上很多文献证明，除非真实密度在边界处一阶导数为0，否则这种方法在边界处的估计仍存在边界偏差问题。

Silverman[18]针对有界支撑为(0，∞)的变量在进行传统核密度估计时，会在区间边界0附近引入一个-h左移位的问题，提出利用对数变换将有界变量变换到(-∞，∞)，这种变换有效地减小了0附近核密度估计产生的边界偏差;Saoudi等[25]在总结文献[18]的基础上，为加速区间边界处核密度估计的收敛，提出一种新的非参数概率密度函数估计方法——核微分同胚估计，并对相同核函数下相同有界随机样本的概率密度，分别利用对数微分同胚变换的核密度估计方法和正切微分同胚变换的核密度估计方法与真实的概率密度进行比较，结果表明对数微分同胚核密度估计具有更好的收敛性，且可以得到更好的估计，更接近真实的概率密度。另外，相同核函数不同样本数对数微分同胚变换的核密度估计结果反映了该方法核密度估计的收敛性;SidibéI等[26]利用文献[25]提出的核微分同胚估计，对维修优化模型中的可靠性函数进行估计，并与基于J-sh的核估计法[27]进行了比较;Troudi等[28]将利用插入法求最优窗宽(平滑参数)的核密度估计方法推广到有界支撑的分布估计类较难的问题中，利用文献[25]提出的具有良好收敛性的对数微分同胚变换，对有界支撑区间分布进行变换，最后对传统核估计方法和核微分同胚估计方法的仿真结果进行了比较;Troudi等[29]通过自适应插入法得到最优窗宽值用于有界随机数据微分同胚变换的核密度估计，并利用文献[25] 提出的对估计具有较好收敛性的对数变换进行微分同胚变换。文献[25-29]利用区间变换的思想，采用适当的变换将有界区间变量变换到整个实数域，从而可以利用传统KDE方法进行求解，有效消除由有界区间引起的边界偏差问题。有界变量的对数微分同胚变换，从核密度估计平均积分均方误差(Mean Integrated Square Error, MISE)最小的意义上，显示具有更好的收敛性和准确性。

针对基于KDE的实时剩余寿命预测中，对有界随机变量核密度估计时存在的边界估计偏差问题，本文提出一种基于核微分同胚估计的实时剩余寿命预测方法。首先，利用随机变量的区间变换方法——对数微分同胚变换，将单位时间退化特征增量的支撑区间范围变换到整个实数域,从而将有界变量的核密度估计转换为传统意义上的核密度估计问题，另外为使窗宽参数更符合实际样本的需要，根据各个样本点的密度函数自适应地选择窗宽来提高拟合优度；然后将对数微分同胚变换后的退化增量作为随机变量，用于核密度估计的实时剩余寿命预测，最后通过与传统意义上的核密度估计实时剩余寿命预测以及基于Gamma分布剩余寿命预测方法的比较，验证了所提方法的有效性，并分析了不同初始样本数对剩余寿命预测准确性的影响。

1 核密度估计

KDE是20世纪五六十年代提出并发展起来的一种密度估计方法,它不利用有关数据分布的先验知识,对数据分布不附加任何假定,是一种从数据样本本身出发研究数据分布特征的方法。

假设数据y1,y2,…,yn取自连续分布f(y)，则在任意点y处的一种核密度估计定义为：

(1)

式中：K(y)为核函数；n为的已知随机变量的样本数；h为窗宽，决定每个样本贡献度的平滑参数。点yi对估计的贡献度取决于核函数和所选择的窗宽。

1.1 核函数的选取

Silverman[18]基于密度估计与真实密度之间MISE最小的思想，通过对不同核函数如高斯(Gauss)、Epanechnikov、三角(Triangle)等之间的效率进行比较，结果不同核函数对MISE的影响非常小。其中，高斯核函数(Gaussian Kernel)在实际中得到了最为广泛的应用。

(2)

1.2 窗宽的确定

1.2.1 初始窗宽的确定

(3)

(4)

将高斯核函数K(y)代入式(4)，则可将初始窗宽h0化为：

(5)

其中σn为已知样本y1,y2,…,yn的方差，

(6)

(7)

对于不同的样本，初始窗宽h0不考虑样本疏密程度的变化，在整个区间上取固定值。

1.2.2 自适应窗宽的确定

核密度估计模型中窗宽的取值对密度估计的准确性有重要影响。对处于动态实时监测的系统，其样本数据的疏密程度随时间不断变化，如果窗宽在整个区间取固定值，容易导致样本数据少的地方拟合不足，样本数据多的地方又拟合过度。为使窗宽在估计中更符合实际监测样本的需要，提高拟合优度，考虑通过反映样本数据疏密程度的函数对窗宽进行自适应地调整，具体如下：

(1)利用已知样本求解初始窗宽，即不考虑样本数据密度变化时的固定窗宽h0，可通过1.2.1节中所示的方法得到。

(2)利用初始窗宽h0对样本数据的概率密度进行整体粗略的估计，即

(8)

(3)为提高概率密度估计的拟合优度，在样本数据密度小的区域自动选择较大的窗宽，密度大的区域自动选择较小的窗宽，引入反映样本数据疏密程度的局部窗宽因子λi，其中λi通过基于初始窗宽各个样本点处的概率密度得到：

(9)

(4)将局部窗宽因子λi与初始固定窗宽h0相乘可得自适应窗宽hi：

(10)

从而实现不同样本处窗宽根据样本数据的疏密程度进行自适应地调整，以更符合实际中核密度估计的需要。

2 对数核微分同胚估计

同胚是指形式不同但本质相同，两种形式之间可以相互转换。核微分同胚估计定义如下：

(11)

x∈[a,b]。

(12)

式中：φ表示随机变量从区间[a,b]到R的的微分同胚变换，需满足当随机变量x→a或x→b时，φ′(x)→∞;hd为初始已知样本Xi(i=1,2,…,k)对数微分同胚变换后求得的窗宽。对数微分同胚变换[21]由于具有良好的收敛性得到了广泛应用，即

φ(x):[a,b]→R,

(13)

3 基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命预测模型

3.1 研究对象的对数核微分同胚估计

许多实际情况下，研究变量往往只是在有一个边界或两个边界的区间上有定义。实时监测系统中，设tk为当前时刻，[0,tk]的数据为当前监测到的系统退化数据，以可以表征系统退化的单位时间退化特征增量作为核估计函数的随机变量Δx∈[0,xth](xth为特征退化量的失效阈值)，如图1所示。

为消除传统核密度估计存在的边界偏差问题，提高核密度估计的准确性，对有界随机变量进行对数微分同胚变换：

φ(Δx):[0,xth]→R,

(14)

从而将有界随机变量变换到整个实数域，有界随机变量的核密度估计问题转换为传统意义上的核密度估计问题。

(15)

其中核函数K(φ(Δx))选用高斯核：

(16)

hd(ΔXi)为已知样本对数微分同胚变换后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk)所对应的自适应窗宽，即

(17)

(18)

(19)

(20)

3.2 对数核微分同胚估计的实时更新

由于研究的是实时监测系统，每新增一个监测样本，历史样本的对数核微分同胚估计都需要重复计算。这样随着监测到的样本不断增多，密度估计的计算量也会越来越大，因此为提高样本对数核微分同胚估计的时效性，减少不必要的重复计算，当系统由tk时刻运行至tk+1时刻，已知样本个数由k增加为k+1时，当前k+1个样本对数微分同胚变换后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk),φ(ΔXk+1)的核微分同胚估计，可通过k个历史样本对数微分同胚变换后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk)的核微分同胚估计递推得到，从而实现样本核微分同胚估计的实时更新。具体如下：

(21)

式中hd(ΔXk+1)为样本点ΔXk+1微分同胚变换后的自适应窗宽值，

(22)

(23)

这样，实时监测中每新增一个退化特征增量样本，核微分同胚估计都可由其历史退化特征增量样本的核微分同胚估计自适应递推得到，从而可有效避免实时监测中历史样本的不断重复计算问题，提高核微分同胚估计过程的效率。

3.3 实时剩余寿命预测

3.3.1 退化状态的分布

(24)

当tk+1时刻新增一个退化特征增量样本时，[0,tk+1]特征退化量的核微分同胚估计可表示为：

(25)

即当tk+1时刻新增一个退化特征增量样本时，该时刻特征退化量的概率密度函数可由[0,tk]特征退化量的核微分同胚估计自适应递推得到，从而减少特征退化量概率密度估计过程中不必要的重复计算。

3.3.2 剩余寿命预测模型

设tk+t时刻特征退化量达到xth时系统失效(如图1)，要对当前tk时刻的剩余寿命进行预测，可通过初始时刻到当前tk时刻的特征退化量X1:k(记Xk=X(tk)，X1:k={X1,…,Xk})去预测tk+t时刻的特征退化量Xk+t。设每单位时间监测得一个新的样本，则tk+t时刻有k+t个样本。设T表示监测设备tk时刻的剩余寿命，则剩余寿命的概率分布函数FT(t)为：

FT(t)=p(T≤t)

=p(Xk+t≥xth)

(26)

式中g(xk+t)为[0,tk+t]特征退化量的概率密度。为消除传统核密度估计用于有界随机变量时边界估计偏差的影响，首先对已知的单位时间随机退化特征增量核微分同胚估计，然后卷积求其特征退化量的概率密度估计，将时间[0,tk+t]特征退化量对数微分同胚变换后的概率密度记为gd(xk+t)：

(27)

则其预测的剩余寿命的概率分布为：

(28)

根据不断实时更新的样本，tk+t时刻k+t个随机特征退化增量样本核微分同胚变换后的自适应核密度估计可表示为：

(29)

则[0,tk+t]特征退化量的概率密度为：

t=1,2,…。

(30)

将式(30)代入式(28)，则tk时刻监测系统剩余寿命T预测的的概率密度函数可表示为:

(31)

4 实例分析

利用IEEE PHM 2012提供的轴承全寿命数据进行模型验证，实验数据振动信号的采样频率为25.6 kHz，每次采样时长0.1 s，采样间隔为10 s，以转速为1 800 RPM,载荷为4 000 N工况下的Bearing 1-1的全寿命振动数据为例。试验选取能较好反映轴承磨损退化的均方根特征，其退化趋势如图2所示。从图2可以看出，该轴承全生命周期大致分为3个阶段：①[0,1.25]×104s特征值幅值较小，基本保持平稳，为正常运行阶段；②[1.25,2.6]×104s时特征幅值逐渐增大，为磨损衰退阶段；③2.6×104s之后特征幅值增大速度加快，最终幅值超过预定的失效阈值而导致轴承损坏，为快速失效阶段。为了验证基于核微分同胚估计实时剩余寿命预测方法的有效性，利用Bearing 1-1衰退开始的样本数据对不同时刻的剩余寿命进行实时预测。

4.1 基于固定窗宽与自适应窗宽剩余寿命预测准确性的比较

为使选择的窗宽更符合实际样本的需要，提高核密度估计的准确性，根据样本点的疏密程度自适应地选择窗宽，即样本密度大的区域自适应选择较小的窗宽，而密度小的区域自适应选择较大的窗宽。图3和图4分别给出了监测时间为tk=2.3×104s和tk=2.7×104s时基于固定窗宽与基于自适应窗宽核密度估计的剩余寿命概率密度(Probability Density Function, PDF)的结果比较。

通过两个不同时刻两种窗宽下剩余寿命概率密度的比较，可以看出基于自适应窗宽剩余寿命的预测结果比基于固定窗宽的剩余寿命预测结果更接近实际的剩余寿命。由于监测样本随时间随机变化，基于自适应窗宽的核密度估计根据样本的疏密程度自适应地调整窗宽，而固定窗宽的核密度估计则容易导致样本数据多的地方拟合过度，样本数据少的地方拟合不足，因此基于自适应窗宽估计的概率密度比基于固定窗宽的核密度估计要准确，预测的平均剩余寿命与实际剩余寿命的误差也更小。随着监测样本数据的不断增多，两种窗宽下预测的剩余寿命概率密度与实际剩余寿命之间的误差进一步减小，且基于自适应窗宽概率密度估计的误差更小，说明自适应窗宽在进行核密度估计时比固定窗宽核密度估计的拟合优度更高，能够对样本概率密度有更好的估计，从而预测的剩余寿命也相对更准确。

4.2 有界变量核估计时的边界偏差问题

在基于单位时间均方根退化增量的核密度估计中，退化增量Δx∈[0,xth]是有界支撑的，传统的核密度估计用于有界随机变量时，区间边界处会由于没有良好的收敛性而产生估计偏差，如图5所示。图5中随机退化增量有定义的范围为Δx∈[0,5.607 6]，利用传统核密度估计进行概率密度估计时，可以看出在区间边界处有估计偏差的存在。

为了消除传统核密度估计用于有界支撑随机变量时产生的边界偏差，提高剩余寿命预测的准确性，首先对有界随机变量进行对数微分同胚变换，将定义域变换到整个实数域，然后再利用传统核密度估计进行概率密度的估计，从而将有界变量的核密度估计问题转化为传统意义上的核密度估计问题。

4.3 实时剩余寿命的概率密度比较

4.3.1 轴承磨损数据实时剩余寿命的概率密度比较

图6给出了实时剩余寿命预测中，不同监测时刻自适应窗宽下基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命预测结果与实际实时剩余寿命值的比较。由图6可以看出，退化初始阶段由于样本数有限，预测的实时剩余寿命与实际剩余寿命之间的误差较大；随着设备实时监测的进行，接收到的样本数不断增多，预测的剩余寿命的概率密度随着时间的推移不断变窄而变高，方差越来越小，说明实时预测的不确定性不断减小，且由图6可以看出预测的实时剩余寿命预测结果与实际剩余寿命之间的误差不断减小。

4.3.2 与传统核密度估计剩余寿命预测的比较

为进一步对不同监测时刻基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命预测结果进行评估，表1给出了不同监测时刻预测结果、传统核密度估计模型的预测结果以及与实际实时剩余寿命进行的比较，其中剩余寿命预测值通过平均故障前时间(MTTF)[32]给出：

(32)

并进一步利用均方根误差(RMSE)对两种模型所得的平均剩余寿命预测值与实际剩余寿命值进行了比较。

表1 2种模型剩余寿命预测值对比

对比表1中两种模型的预测值不难发现，随着系统运行监测信息的不断增多，这两种模型都可用于设备的实时剩余寿命预测，且基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命预测值比传统核密度估计模型的剩余寿命预测值更接近实际的剩余寿命，从而验证了基于核微分同胚估计的实时剩余寿命预测模型用于剩余寿命预测的有效性。另外，为对两种模型预测的剩余寿命进行更直观的比较，给出了两种模型所得剩余寿命预测值与实际剩余寿命之间均方根误差RMSE1,RMSE2的比较，从比较结果可以看出随着监测信息的增加RMSE1,RMSE2均呈现逐渐减小的趋势，且基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命模型预测结果的误差更小，说明该模型预测的剩余寿命值更接近实际的剩余寿命值。

4.3.3 与基于Gamma分布预测模型的结果比较

轴承磨损过程是一个连续累积退化的过程，Gamma分布由于具有非负、增长、独立增量的属性，被广泛用于磨损、裂纹扩展等逐渐累积损伤过程的退化建模中。为进一步验证所提出模型的竞争性，图7给出了不同监测时间基于Gamma分布预测的剩余寿命、基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命模型预测的剩余寿命与实际剩余寿命之间的比较。

从图7可以看出，初始阶段由于样本数有限，导致两种模型预测的剩余寿命与实际剩余寿命都存在较大的误差，接下来随着系统的运行样本信息不断增多，两种模型的预测结果均越来越接近实际的剩余寿命值，且不同监测时刻基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命预测值相对于基于Gamma分布预测的剩余寿命，与实际剩余寿命之间的误差更小，从而说明基于核微分同胚估计的实时剩余寿命预测模型用于剩余寿命预测中具有一定的竞争性。

4.3.4 齿轮磨损数据实时剩余寿命的概率密度比较

为进一步验证所提方法的竞争性和有效性，采用齿轮接触疲劳采集的数据进行了实时剩余寿命预测。数据来源于图8所示的封闭试验台。试验台的中心距为150 mm，电机转速为1 200 r/min，实验过程中对箱体加速度和噪声等进行监测。

该试验台共布置8个加速度传感器(1#～4#布置在主试箱轴承座的径向，5#和6#布置在陪试箱轴承座的径向，7#和8#布置在主试箱的轴向)。通过对4#传感器输出的463组振动信号进行特征提取，其中采样频率为25.6 kHz,采样时间为60 s，采样间隔9 min,将采样点数折算为监测时间。由于均方幅值不受齿轮个体差异的影响，随磨损状态呈递增趋势，能较好地反映各个时刻振动能量的动态变化。对于每次采样时间Δt长度内，监测信号的均方幅值可表示为：

(33)

式中采样点数n=Fs×Δt，Fs为采样频率。可得到如图9所示的均方幅值—监测时间(Root Mean Square-Monitoring Time, RMS-MT)曲线图。

由图9可以看出，监测时间为t∈[0,10]h时，齿轮处于啮合阶段；监测时间为t∈[10,68]h时，RMS值逐渐增大，齿轮处于正常磨损阶段；当监测时间为t∈[68,77]h时，RMS值急剧增大，直到在77 h处发生断齿。齿轮磨损是一个连续退化的过程，单位时间退化增量服从Gamma分布。为进一步对基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命模型的预测准确度进行验证，表2给出了不同监测时刻基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命、基于Gamma分布预测的剩余寿命与实际剩余寿命之间的比较，并进一步对两种模型所得平均剩余寿命预测值与实际剩余寿命之间的均方根误差(RMSE)进行了比较。

表2 2种模型剩余寿命预测值比较

续表2

通过表2的比较可以看出，随着监测信息的不断增多，两种模型剩余寿命预测的准确性均不断提高，所预测剩余寿命的均方根误差均逐渐减小，且不同监测点处基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命的均方根误差小于Gamma分布模型预测剩余寿命的均方根误差，说明基于对数核微分同胚估计的实时剩余寿命模型预测的剩余寿命值更接近实际的剩余寿命值，从而进一步验证了提出方法的竞争性和有效性。

4.4 最优初始样本数的确定

在退化设备的实时监测中，由于退化初始阶段监测到的样本数还很有限，使得预测剩余寿命与实际剩余寿命之间存在较大的误差；随着监测样本的逐渐增多，预测剩余寿命与实际剩余寿命之间的误差逐渐减小。设当监测时间增加到某时刻tn1时，若减少之前的样本，则由于样本个数不足，预测的剩余寿命结果比全部样本下预测结果的误差大；但在tn1之后，只利用当前时刻之前最新n1个样本(每单位时间抽样一次)剩余寿命预测结果的误差要比全部已知样本的预测结果小，则可对剩余寿命预测所需的最优初始样本数n1进行确定，也就是要对退化系统的剩余寿命进行较准确的估计，至少需要n1个初始样本，且在系统退化的中后期，由于初期样本的退化趋势较为平缓，不能很好地反映系统的退化，利用实时监测中最新n1个已知样本预测的剩余寿命结果优于全部样本的预测结果。

(34)

图10给出了考虑最优初始样本数与不考虑最优初始样本数两种情况下剩余寿命预测值随监测时间变化的绝对误差曲线图。

由图10可知，退化初始阶段由于监测到的样本数据还很有限，使得预测的平均剩余寿命与实际剩余寿命之间存在较大的误差；随着样本数逐渐增多，误差逐渐减小，但在n1=822，tn1=2.03×104s之后，利用当前时刻之前最新n1个样本的剩余寿命预测结果的绝对误差要小于全部历史样本预测结果的绝对误差，说明至少需要n1个样本才能对当前时刻系统的剩余寿命进行较准确的预测，且随着时间的推移，由于初始阶段样本的退化平缓，利用当前最新n1个已知样本的剩余寿命预测结果优于全部历史样本的预测结果。

5 结束语

本文针对传统核密度估计用于实时剩余寿命预测时，由于核密度估计模型中随机变量的有界性，会在支撑区间边界处产生偏差，进而导致基于核密度估计的实时剩余寿命预测不够准确的问题，提出一种基于核微分同胚估计的实时剩余寿命预测方法。该方法不仅利用核密度估计不对数据分布做任何假定的优点，还考虑到实际中随机变量的有界性，利用具有较好收敛性的对数微分同胚变换将有界变量的核密度估计转换为传统意义上的核密度估计问题。核微分同胚估计中，为提高概率密度估计的拟合优度，将固定窗宽核密度估计改进为自适应窗宽核密度估计。此外，针对实时监测过程中样本不断增加，历史样本的核微分同胚估计不断重复计算的问题，建立了核微分同胚估计的自适应递推更新模型，有效减少了不必要的重复计算。实例分析表明：基于核微分同胚估计的实时剩余寿命预测结果优于传统核密度估计的预测结果和假设退化模型为Gamma过程的实时剩余寿命预测结果，而且随着实时监测的进行，预测的准确度也得到不断提高。最后，针对性能逐渐退化的设备，对最优初始样本数对剩余寿命预测准确性的影响进行了分析。

机械设备受工况、载荷变化等因素的影响，退化过程中往往存在退化突变点。未来，在当前研究的基础上，将考虑由于突变点存在导致的剩余寿命预测不够准确问题，并将突变点的影响用于基于核密度估计的实时剩余寿命预测中。