用单一公理刻画由复合直觉模糊关系生成的（S，T） -直觉模糊粗糙近似算子

吴伟志

（1.浙江海洋大学数理与信息学院，浙江舟山316022； 2.浙江海洋大学浙江省海洋大数据挖掘与应用重点实验室，浙江舟山316022）

粗糙集中的下近似算子与上近似算子是粗糙集理论研究和应用发展最重要的概念之一［1］.对于Pawlak粗糙集的近似算子的推广研究，一般有构造性方法和公理化方法两种不同的方式［2-4］.在构造性方法中，由论域及其上面的二元关系所构成的近似空间是基本概念，由它可以构造性地定义下近似算子与上近似算子，并可进一步讨论近似算子的数学性质及其相关数据挖掘中的应用.与构造性方法不同的是，公理化方法将一对抽象的集合（近似）算子作为基本概念，该方法的主要目的是寻找抽象下、上近似算子所要满足的条件集（称为公理集），所给出的公理集能够确保存在论域上的二元关系，使得由该二元关系生成的近似空间通过构造性方法所定义的下近似算子与上近似算子恰好就是事先给定的抽象的下、上近似算子［2，5-21］.

寻找粗糙近似算子的独立最小公理集是公理化研究的一个重要方向并取得了一些重要进展，如文献［22 -27］分别给出了一些刻画经典与模糊环境下粗糙近似算子的独立公理集，然而，所有这些公理集中至少包含两条公理.显然，如果能用一条公理刻画近似算子显然是最小的，Liu［28］首次给出了用一条公理刻画粗糙近似算子，分别得到刻画经典粗糙近似算子和由最大三角模T ＝min与最小三角余模S ＝max合成确定的模糊粗糙近似算子的单一公理.近年来，用一条公理刻画粗糙近似算子成为粗糙集理论公理化方法的主要研究方向并取得了重要进展［29-36］.众所周知，用三角模T和三角余模S定义的模糊粗糙近似算子是一大类应用广泛的近似算子，称为（S，T）-模糊粗糙近似算子，Mi等［9］对于基于一般三角模及其对偶三角余模的模糊粗糙近似算子进行了公理刻画研究，Wu 等［35］给出了用一条公理刻画由各种模糊关系生成的（S，T）- 模糊粗糙近似算子.最近，Wu 等［34］还给出了用一条公理刻画由一般直觉模糊关系以及串行、自反、对称、T-传递等一些特殊直觉模糊关系生成的（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子.本文将进一步证明由串行、自反、对称、T -传递等这些特殊直觉模糊关系可能的合成所生成的（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子仍然可以用一条公理来刻画.

1 预备知识

本节介绍在本文要用到的直觉模糊集、直觉模糊三角模、直觉模糊集的T -内积和S -外积等概念.

首先回顾由 Cornelis等［37］给出的［0，1］× ［0，1］上的一个完备格（L*，≤L*）.记

定义 L*上的一个序关系≤L*为∀（x1，x2），（y1，y2）∈L*，

可以验证，关系≤L*是L*上的一个偏序（自反、传递和反对称关系），序对（L*，≤L*）是一个具有最小元0L*＝（0，1）和最大元 1L*＝ （1，0）的完备格.定义

对于（x1，x2）∈L*，它在 L*中的补元 L*记为1L*- （x1，x2），定义

由序关系≤L*可以分别导出（L*，≤L*）中元素的合取∧运算与析取运算∨为∀（x1，x2），（y1，y2）∈L*，（x1，x2）∧ （y1，y2）＝ （min（x1，y1），max（x2，y2）），（x1，x2）∨ （y1，y2）＝ （max（x1，y1），min（x2，y2））.而对于任意指标集 J 与 aj＝ （xj，yj）∈L*，j∈J，则记

定义 1［38］设 U 是非空论域，U 上的一个直觉模糊集A具有如下形式：

μA（x）和 γA（x）分别称为对象 x∈U 属于 A 的程度和不属于A 的程度，简称隶属度和非隶属度，且满足

记U上直觉模糊集的全体为IF（U）.直觉模糊集A的补集记为～A，其定义为

对于 A∈IF（U），记A（x）＝（μA（x），γA（x）），则易见A∈IF（U）当且仅当对于任意x∈U 有A（x）∈L*.

下面给出IF（U）上的运算［38］：

对于 A，B，Ai∈IF（U），i∈J（其中 J 是指标集），

1）A⊆B⇔μA（x）≤μB（x），γA（x）≥γB（x），∀x∈U；

2）A⊇B⇔B⊆A；

3）A ＝B⇔A⊆B 且 B⊆A；

4）A∩B ＝｛〈x，min（μA（x），μB（x）），max（γA（x），γB（x））〉｜x∈U｝；

5）A∪B ＝｛〈x，max（μA（x），μB（x）），min（γA（x），γB（x））〉｜x∈U｝；

利用L*，则一些特殊的直觉模糊集可以表示如下：∀x，y∈U，

IF（U）上的运算可以转化为L*上的运算来表示，即对于 A，B，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指标集），

二元算子 T：L*×L*→L*与 S：L*× L*→L*分别称为L*上的直觉模糊三角模（简称直觉模糊t-模）与直觉模糊三角余模（直觉模糊t -余模），若它们满足交换律与结合律，关于两个变量单调递增，且T与S分别有单位元1L*与0L*，即

可以证明，L*上关于序≤L*的最大直觉模糊t-模与最小直觉模糊t -余模分别为min 与max，定义为

L*上的直觉模糊t-模T与直觉模糊t -余模称为相互对偶的当且仅当它们满足De Morgan律，即

易证，若S是直觉模糊t -余模，则由（1）式定义的T 是直觉模糊t -模，反之，若T 是直觉模糊t-模，则由（2）式定义的S是直觉模糊t-余模.换言之，L*上的每个直觉模糊t -模T 都可以表示为某个直觉模糊t-余模S的对偶形式，反之亦然.因此，本文后面总是假设S与T是相互对偶的.

对于2 个直觉模糊集 A，B∈IF（U），定义 2 个直觉模糊集 T（A，B）和 S（A，B）为

命题1［34］设T是L*上的直觉模糊t-模，对于 A，B，C，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指标集），则以下性质成立：

命题2［34］设S是L*上的直觉模糊t-余模，对于 A，B，C，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指标集），

若T与S是相互对偶的，则

对于 A，B∈IF（U），A 与 B 的 T - 内积和 S -外积分别记为（A，B）T和［A，B］S，定义为［34］

命题3［34］设T是L*上的直觉模糊t-模，对于 A，B，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指标集），（α，β）∈L*，以下性质成立：

命题4［34］设S是L*上的直觉模糊t-余模，对于 A，B，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指标集），（α，β）∈L*，以下性质成立：

（O8）若T是与S对偶的直觉模糊t-模，则

2 直觉模糊粗糙近似算子的构造性定义

本节回顾（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子的构造性定义.本节恒设T 与S 分别是L*上连续直觉模糊t-模与t-余模.

定义2设U与W是两个非空论域，一个从U到W的直觉模糊关系R 是U ×W 的一个直觉模糊子集，即R∈IF（U×W）具有以下形式：

其中 μR：U × W→［0，1］与 γR：U ×W→［0，1］满足

记所有从U到W的直觉模糊关系为IFR（U×W）.直觉模糊关系 R∈IFR（U × W）称为串行的，若若 U ＝ W，则称 R ∈IFR（U×U）是U上的一个直觉模糊关系，直觉模糊关系R∈IFR（U ×U）称为自反的，若 R（x，x）＝1L*，∀x∈U；R 称为对称的，若 R（x，y）＝ R（y，x），∀x，y∈U；R 称为 T-传递的，若≤L*R（x，z）， ∀x，z ∈ U；R称为T-等价的，若R是自反、对称、T-传递的.

定义 3［34］设 U 与 W 是两个非空论域，R 是从U到W的直觉模糊关系，则称（U，W，R）是一个直觉模糊近似空间.对于A∈IF（W），A关于直觉模糊近似空间（U，W，R）的S -下近似与 T -上近似是U的一对直觉模糊子集，定义如下：

对于从U到W的直觉模糊关系R 与x∈U，定义W上的直觉模糊集R（x）如下：

则易证

定理 1［34］设（U，W，R）是直觉模糊近似空间，则（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子满足以下性质：∀A，B∈IF（W），∀Aj∈IF（W），j∈J（其中 J 是指标集），M⊆U，（x，y）∈U ×W，（α，β）∈L*，

（IFU5）¯R（ØW）＝ØU，其中ØW与ØU分别表示W与U中的空集.

定理 2［34］设（U，W，R）是直觉模糊近似空间，则

定理 3［34］设（U，R）是一个直觉模糊近似空间，即R是U上的直觉模糊关系，则

3 直觉模糊近似算子的公理刻画

在（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子的公理化方法研究中，抽象的下、上近似算子L，H：IF（W）→IF（U）是基本概念，研究的目的是找一组公理集（近似算子所要满足的一组性质），确保存在一个直觉模糊近似空间使得由近似空间通过构造性方法导出的直觉模糊粗糙近似算子恰好就是事先给定的抽象近似算子.本节将证明只须一条公理就可以刻画由各种直觉模糊关系生成的（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子.本节恒设S 是L*上连续直觉模糊t-余模，T是与S对偶的直觉模糊t-模.

Wu等［34］首次给出了用一条公理刻画了由一般直觉模糊关系定义的（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子.

定理 4［34］设 L，H：IF（W）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在从U到W的直觉模糊关系R使得

成立当且仅当L满足下述公理（AIFL）：

（AIFL）∀Aj∈IF（W），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

或等价地，H满足下述公理（AIFU）：

（AIFU）∀Aj∈IF（W），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

定义4［34］设U与W是非空论域，S 是L*上的直觉模糊t-余模，T是L*上的直觉模糊t -模.对于直觉模糊算子 O：IF（W）→IF（U），记

利用S-下逆算子与T -上逆算子，Wu 等［34］得到了用形式上更加简洁的一条公理刻画（S，T）-直觉模糊近似算子.

定理 5［34］设 L，H：IF（W）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在从U到W的直觉模糊关系R使得（3）式成立当且仅当L满足以下公理（AIFL′）：

或等价地，H满足下述公理（AIFU′）：

Wu等［34］还给出了用一条公理刻画分别由串行、自反、对称和T-传递直觉模糊关系生成的（S，T）-直觉模糊近似算子.

定理 6［34］设 L，H：IF（W）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在从U 到W 的串行直觉模糊关系R 使得（3）式成立当且仅当 L 满足下述公理（AIFL0″）：

（AIFL0″）∀Aj∈IF（W），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

或等价地，H满足下述公理（AIFU0″）：

（AIFU0″）∀Aj∈IF（W），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

定理 7［34］设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U 上的自反直觉模糊关系R使得

成立当且仅当L满足下述公理（AIFLR′）：

（AIFLR′）∀Aj∈IF（U），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

或等价地，H满足下列公理（AIFUR′）：

（AIFUR′）∀Aj∈IF（U），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

引理 1［34］设 L：IF（U）→IF（U）是直觉模糊算子，S是L*上的直觉模糊t-余模，若L满足公理（AIFL），则下述等价：

引理 2［34］设 H：IF（U）→IF（U）是直觉模糊算子，T是L*上的直觉模糊t -模，若H 满足公理（AIFU），则下述等价：

定理 8［34］设L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的对称直觉模糊关系R使得（4）式成立当且仅当L满足下述公理（AIFLS′）：

（AIFLS′）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

或等价地，H满足下列公理（AIFUS′）：

（AIFUS′）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

利用直觉模糊集的S -外积与T -内积运算，Wu等［34］得到了更加简洁公理用于刻画对称直觉模糊关系生成的（S，T）-直觉模糊近似算子.

定理 9［34］设L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的对称直觉模糊关系R使得（4）式成立当且仅当L满足下述公理（AIFLS″）：

或等价地，H满足下列公理（AIFUS″）：

定理 10［34］设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的T-传递直觉模糊关系R 使得（4）式成立当且仅当 L 满足下述公理（AIFLT′）：

（AIFLT′）∀Aj∈IF（U），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

或等价地，H满足下列公理（AIFUT′）：

（AIFUT′）∀Aj∈IF（U），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

下面讨论由串行、自反、对称和T -传递模糊关系的可能组合所生成的（S，T）-直觉模糊近似算子的单一公理刻画问题.

定理 11设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的串行和对称直觉模糊关系R 使得（4）式成立当且仅当 L 满足下述公理（AIFLS0）：

（AIFLS0）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

或等价地，H满足下述公理（AIFUS0）：

（AIFUS0）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

证明必要性 若存在U 上串行和对称直觉模糊关系R使得（4）式成立.由定理2与引理1可知L（ØU）＝ ØU，且对于任意 A∈IF（U）有L（A）.于是由定理4 可得 L 满足公理（AIFLS0）.

充分性 若 L 满足公理（AIFLS0），在（6）式中令 J ＝ ｛1｝，并取（α1，β1）＝ （α，β）＝1L*，A1＝ A ＝则有（U - L（ØU））∩L（U）＝ U，于是，U-L（ØU）＝U，这意味着

从而，公理（AIFLS0）退化成公理（AIFLS′）.这样，由定理8 知，存在U上的对称直觉模糊关系R使得（4）式成立.因而进一步由（7）式和定理 2 知，R 是串行的.

定理 12设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的串行和T -传递直觉模糊关系R使得（4）式成立当且仅当L满足下述公理（AIFLT0）：

（AIFLT0）∀Aj∈IF（U），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

或等价地，H满足下述公理（AIFUT0）：

（AIFUT0）∀Aj∈IF（U），∀（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指标集），

证明必要性 若存在U 上串行和T -传递直觉模糊关系 R 使得（4）式成立.由定理 2 知L（ØU）＝ØU，即 U-L（ØU）＝U.这样由定理10 得 L满足公理（AIFLT0）.

充分性 若L满足公理（AIFLT0），在（8）式中令 J ＝ ｛1｝，并取则有（U-L（ØU））∩L（U）＝U，于是，U -L（ØU）＝ U，这意味着

因此，公理（AIFLT0）退化为公理（AIFLT′）.于是，由定理10 知，存在U上的T-传递直觉模糊关系R使得（4）式成立.进一步，由（9）式和定理2，即知R是串行的.

定理 13设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的自反和对称直觉模糊关系R 使得（4）式成立当且仅当 L 满足下述公理（AIFLRS）：

（AIFLRS）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

或等价地，H满足下述公理（AIFURS）：

（AIFURS）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

证明必要性 若存在U 上自反和对称直觉模糊关系R使得（4）式成立.由定理3 知，对于任意B∈IF（U）有 L（B）⊆B.于是对于任意指标集 J，任意 Aj∈IF（U）和（αj，βj）∈L*，j∈J，有

从而，由定理 8 知（10）式成立.因此，L 满足公理（AIFLRS）.

充分性 若L 满足公理（AIFLRS），对于任意B∈IF（U），在（10）式中令 J ＝｛1｝，并取（α1，β1）＝0L*，（α，β）＝1L*，A1＝A ＝ B，则有 L（B）＝ L（B）∩B.从而，

于是，对于任意 Aj∈IF（U），（αj，βj）∈L*，j∈J，其中J是任意指标集，可知包含关系（11）成立，这意味着

因此，公理（AIFLRS）退化为公理（AIFLS′）.从而，由定理8 知，存在U上的对称直觉模糊关系R使得（4）式成立.进一步，由包含关系（12）和定理3 知，R是自反的.

利用直觉模糊集的S -外积与T -内积，可以得到更加简洁单一公理形式用于刻画由自反和对称直觉模糊关系生成的（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子.

定理 14设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的自反和对称直觉模糊关系R 使得（4）式成立当且仅当 L 满足下述公理（AIFLRS′）：

或等价地，H满足下述公理（AIFURS′）：

证明必要性 若存在U 上自反和对称直觉模糊关系R 使得（4）式成立.一方面，由于 R 是对称的，由定理8 知

另一方面，由于R 是自反的，由定理3 可以推出包含关系（12）成立.这样由包含关系（12）和（14）式可得（13）式，即 L 满足公理（AIFLRS′）.

充分性 若 L 满足公理（AIFLRS′），则对于任意 A，B ∈IF（U），由命题 4 中的性质（O1）与（O7）得

于是

从而，由命题4 的性质（O4）知

从而，公理（AIFLRS′）退化为公理（AIFLS″）.因此，由定理9 知，存在U上的对称直觉模糊关系R使得（4）式成立.进一步，由包含关系（15）与定理3 即知R是自反的.

定理 15设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的对称和T -传递直觉模糊关系R使得（4）式成立当且仅当L满足下述公理（AIFLST）：

（AIFLST）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

或等价地，H满足下述公理（AIFUST）：

（AIFUST）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

证明必要性 若存在U 上对称和T -传递直觉模糊关系R使得（4）式成立.由于R 是T -传递的，由定理3 知

因此，由命题2 的性质（S2）知

从而，对于任意（α，β）∈L*与 B∈IF（U）有

另一方面，又由于R 是对称的，由定理8 知L 满足公理（AIFLS′）.因此，由（18）式可知 L 满足公理（AIFLST）.

充分性 若 L 满足公理（AIFLST），对于任意B∈IF（U），在（16）式中令 J ＝ ｛1｝，并取（α1，β1）＝0L*，（α，β）＝1L*，A1＝ A ＝ B，则得 L（B）＝ L（B）∩L（L（B））.于是包含关系（17）成立.从而，公理（AIFLST）退化成公理（AIFLS′）.因而，由定理 8知，存在U上的对称直觉模糊关系R 使得（4）式成立.进一步，由包含关系（17）与定理3 知，R 是T -传递的.

利用直觉模糊集的S -外积与T -内积，可以得到更加简洁单一公理形式用于刻画由对称和T-传递直觉模糊关系生成的（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子.

定理 16设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的对称和T -传递直觉模糊关系R使得（4）式成立当且仅当L满足下述公理（AIFLST′）：

或等价地，H满足下述公理（AIFUST′）：

证明必要性 若存在U 上对称和T -传递直觉模糊关系R 使得（4）式成立.一方面，由于R是对称的，由定理9 可得

另一方面，由于R 是T -传递的，由定理3 知包含关系（17）成立.因此，由包含关系式（17）与（20）即知，（19）式成立，即 L 满足公理（AIFLST′）.

充分性 若 L 满足公理（AIFLST′），对于任意A，B∈IF（U），由命题4 的性质（O7）知

在（22）式中交换A与B的位置，并利用命题4 的性质（O1）得

因此，由定理9 知，存在U 上的对称直觉模糊关系R 使得（4）式成立.另一方面，由（21）式可得

这样，由（23）式可得

从而由命题4 的性质（O1）与（O4）即知

进一步由定理3 即知，R是T-传递的.

定理 17设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的T-等价直觉模糊关系R 使得（4）式成立当且仅当 L 满足下述公理（AIFLE）：

（AIFLE）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

或等价地，H满足下述公理（AIFUE）：

（AIFUE）∀A，Aj∈IF（U），∀（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指标集），

证明必要性 若存在U 上T -等价直觉模糊关系 R 使得（4）式成立.对于任意 A，Aj∈IF（U），（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J，其中 J 是任意指标集，由于R是对称和T -传递的，由定理15 知（16）式成立.另一方面，由于R是自反的，由定理7知（5）式成立.这样，利用（16）与（5）式即知（24）式成立，即L满足公理（AIFLE）.

充分性 若L满足公理（AIFLE），对于任意B∈IF（U），在（24）式中令 J ＝ ｛1｝，并取（α1，β1）＝0L*，（α，β）＝1L*，A1＝A ＝ B，则有

因此，公理（AIFLE）退化为公理（AIFLS′）.这样，由定理8 知，存在U 上的对称直觉模糊关系R 使得（4）式成立.进一步，由包含关系式（25）与（26）以及定理3 知R是自反和T-传递的.

利用直觉模糊集的S -外积与T -内积，可以得到更加简洁单一公理形式用于刻画由T -等价直觉模糊关系生成的（S，T）-直觉模糊粗糙近似算子.

定理 18设 L，H：IF（U）→IF（U）是对偶直觉模糊算子，则存在U上的T-等价直觉模糊关系R 使得（4）式成立当且仅当 L 满足下述公理（AIFLE′）：

或等价地，H满足下述公理（AIFUE′）：

证明必要性 若存在U 上T -等价直觉模糊关系R使得（4）式成立.一方面，由于R 是对称和T-传递的，由定理16 可得

另一方面，由于R是自反的，由定理3 即知

从而，由（28）式与包含关系式（29）即知（27）式成立，即 L 满足公理（AIFLE′）.

充分性 若 L 满足公理（AIFLE′），对于任意A，B∈IF（U），由命题 4 的性质（O7）得

在上式中交换A 与B 的位置并利用命题4 的性质（O1）有

这样，由定理9 知，存在U 上的对称直觉模糊关系R 使得（4）式成立.另一方面，（30）式蕴含

类似于定理14 与16 的证明，不等式（31）与（32）分别蕴含包含关系（25）与（26）.因此，由定理 3 可知，R是自反和T-传递的.这样证明了R是一个T-等价直觉模糊关系.

4 结束语

粗糙近似算子的公理刻画是粗糙集理论发展的一个重要方向，也是研究粗糙集的数学结构的一个重要手段.在公理化方法中，一个基本的问题是寻找抽象近似算子所要满足能确保存在二元关系的充分必要条件（独立的最小公理集），使得由该二元关系生成的近似算子恰好就是所给的抽象近似算子.本文在文献［34］的基础上进一步给出了由各种直觉模糊关系生成的（S，T）-直觉模糊近似算子的单一公理刻画.由于当I 是S -直觉模糊蕴含算子时，（S，T）-直觉模糊近似算子可以看成是由特殊的直觉模糊蕴含算子I 所确定的直觉模糊近似算子，由一般直觉模糊蕴含算子确定的各种直觉模糊粗糙近似算子的单一公理刻画是一个值得进一步研究的问题.