一道省质检试题多解探究与拓展

福建 陈凌燕 蔡海涛

每年全国各地的高三质检卷，总有一些赏心悦目的试题，它们是命题老师智慧的结晶，对这些试题进行深入探究，挖掘试题背景及内涵，既能让教学内容丰富多彩，又能激发学生的学习兴趣，有利于拓展学生的思维，提升学生的素养，对高三的复习备考有很大的意义.下面笔者以2020年福建省高三毕业班质量检查测试文科第20题为例进行说明．

一、试题呈现

(2020·福建省高三质检文·20)已知抛物线C:y2=2px(0

(1)求C的方程；

(2)是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被圆M所截得的弦长为定值？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．

二、试题特点

本题以抛物线为载体考查圆锥曲线的方程及其简单几何性质、圆的几何性质等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．题目的特点是：(1)本题以抛物线与圆的组合型圆锥曲线为背景，需要观察两条曲线的特征，利用几何图形的性质解题，体现考查的综合性；(2)本题求解的问题为曲线的轨迹方程及定值问题，这两个问题均是解析几何中重要的问题，也是近年高考中的高频考点，体现模拟考试与高考接轨的功能；(3)本题第二问有多种解法，不同解法思路体现考生思维的差异性；(4)第二问是探索性问题，具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备,需要结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、抽象、概括等，是素养导向下的典型题型.

三、解法探析

本题(1)问易得C:y2=4x.(解答过程略)

(2)问是探索直线存在性问题，求解这类问题常有两个思路.

思路一:“肯定顺推法”，即将不确定性问题明朗化.其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在.

思路二：利用特殊与一般思想，先猜想后证明.

解法综述：假设满足题意的直线l:x=a存在，在A的运动过程中取两个特殊位置，比如当A运动到A(0,0)和A(4,4)时，求圆M的圆心坐标与半径，进一步利用垂径定理分别求出两个特殊圆截l的弦长，因为弦长为定值，建立方程求得a=3，即表明“若l存在，则只可能为x=3”，再证明圆M截l的弦长为定值，便可证明l为符合题意的直线，从而解决问题.

四、试题反思

1.引申推广

解完此题，笔者意犹未尽，对问题加以推广探究，得到如下两个问题．

探究一：已知A是抛物线C:y2=2px(p>0)上一动点，点Q(q,0)．是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以线段QA为直径的动圆M所截得的弦长为定值？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．

设l被以线段QA为直径的动圆M所截得的弦长为t，

探究二：已知A是抛物线C:y2=2px(p>0)上一动点，定直线l:x=a，是否存在x轴上的定点Q，使得l被以线段QA为直径的动圆M所截得的弦长为定值？若存在，求定点Q的坐标；若不存在，说明理由．

设l被以线段QA为直径的动圆M所截得的弦长为t，

此时t2=2ap>0，即a>0，

当a≤0时，不存在；

特别地，当a=0时，直线l即y轴，取点Q为抛物线焦点，此时动圆与y轴相切.

2.类比探究

基于以上的引申推广，类比椭圆与双曲线是否也具有类似的性质.

设l被以线段QA为直径的动圆M所截得的弦长为t，

所以不存在直线满足题意.

双曲线与椭圆类似，不存在符合条件的直线，结论也不成立.

我们解题时常有“似曾相识燕归来”的感觉，这就是类比.教师要引导学生由一个数学对象的性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质，这是解决数学问题的常用方法，当然由此例还可看出类比仅仅是种猜测，结论未必正确，需要进行验证.

3.变式拓展

(1)已知A是抛物线C:y2=4x上一动点，点Q(2,0)，垂直于x轴的直线l被以线段QA为直径的动圆M所截得的弦长为定值，则Q到直线l的距离为________．

(i)求E的方程；

(ii)过点F的直线交E于A,B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN面积的四倍．

解:(i)化简得E的方程为y2=4x(x>0)．(过程略)

依题意可设直线AB的方程y=k(x-1)(k≠0)，

故S△AMB=4S△AMN．

罗增儒教授说过:数学解题的四个水平为:模仿、练习、领悟、理解.教师设计变式练习，是提升学生解题能力的有效途径.

五、结语