数学因其他学科融入而精彩

2020-11-16福建汤小梅郑金木

教学考试(高考数学) 2020年5期

福建汤小梅郑金木

数学与其他学科的交汇与融合是近几年高考中经常出现的现象，此类试题常常以“新交汇”为载体，体现了“返璞归真，支持课改，突破定势，考查真功”的命题理念，意在考查数学建模、数学抽象、数据分析、直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养，值得重点关注．现以2020年各省市模拟题为例，对数学与其他学科的交汇型考题进行归纳，感悟数学知识与其他学科之间的关联，加强对数学交汇性的理解，旨在揭示命题动向与解题策略，以期能为读者提供帮助．

一、音乐中的数学

音乐的要素——音高、音色、节拍、乐音、乐曲、乐器等都与数学相关，特别是音的律制与数学的关系十分密切．以音乐为背景的考题，可以让学生更加理性地理解音乐、鉴赏音乐的美，增强理性思维能力，提升学生的数学素养．常见考法有：声波与正弦函数结合，律制、音阶与数列结合，乐曲的节拍与分数结合，乐器中的数学，乐曲中的数学等．

【典例1】(2020·广东省深圳市罗湖区高三质量检查)中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧，可排成多少种这样的不同音序( )

A．120 B．90 C．80 D．60

【方法点津】本题以音乐学科中的“音阶”为载体考查排列组合应用问题，破解此类题的关键：一是有限制条件的元素需优先考虑，如本题，需对限制条件“宫、羽两音阶在角音阶的同侧”优先考虑，分类的“度”就很明确，只需对“角音阶”的位置进行分类；二是会利用排列组合的应用情况进行求解，有序用排列，无序用组合．

【方法点津】本题以音乐学科的“音的律制”为载体考查等比数列与类比推理等基础知识.破解此类题的关键：一是读懂题目的文化背景，如本题，需读懂“等程律”；二是利用等比数列的通项公式进行等价变形求解．若会利用特取法，如解法二，即可把一般性的繁杂的推导，转化为数列前4项之间的关系式的推导，从而达到窥斑知豹之功效．

二、美术中的数学

美术主要包括绘画、雕塑、工艺美术、建筑艺术，以及书法、篆刻等，美术中的平移、对称、黄金分割、几何透视等都与数学相关．以美术为背景的考题，可以让学生了解在美术家的创作过程中所蕴含的数学思想，体会数学在美术中的作用，更加理性地鉴赏美术作品，提升直观想象、数学抽象、数学运算的核心素养．常见考法有：名画中的数学元素、绘画中的平移与对称、雕塑、书法、建筑、绘画中的黄金分割、工艺品中的对称等．

【典例3】(2020·辽宁省实验中学期中)素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某高中2018级同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )

【方法点津】本题以美术学科的“素描”为载体考查空间几何体的结构、线面角与椭圆的几何性质等基础知识.有关此类多交汇点试题，求解的关键：一是明晰空间几何体的结构特征；二是活用定义，即会利用空间线面所成角的定义，得到椭圆的长轴长、短轴长的关系式；三是应用公式，即会利用椭圆的离心率公式，得出结果．

三、体育中的数学

在体育运动中，无论是运动本身还是与运动有关的事都蕴含着许多数学原理．以体育为背景的考题，可以让学生运用数学知识探索提高运动效率的途径，能运用数学方法合理安排赛事，增强理性思维能力，提升直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．常见考法有：运动场上的数学原理考查向量知识；运动成绩的数据分析考查概率与统计知识；借助图象、运筹等数学知识分析体育赛事的规律，改善运动员赛场上的应对策略；体育用具及设施中也蕴含数学知识，如足球、乒乓球的制作，网球拍的构造，考查的是空间几何体问题，等等．

【典例4】(2020·安徽省蚌埠市高三第三次教学质量检查)足球起源于中国东周时期的齐国，当时把踢足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制，如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守.比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数多少决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准.自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今.如图Ⅰ，32面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体.现用边长为4.5cm的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段AA′，如图Ⅱ，则该足球的表面积约为( )

A．366.64cm2B．488.85cm2

C．1 464.82cm2D．5 282.40cm2

【方法点津】本题以体育学科的体育用具“足球”为载体考查空间几何体的结构、表面积和余弦定理等基础知识.此类题求解的突破口：一是细审题和细观图，认真读懂题意，并能观察出几何体的结构特征，画出草图；二是活用定理，即会利用余弦定理求出线段的长；三是应用公式，会利用圆的周长公式和球的表面积公式求出相应的量．

四、化学中的数学

化学是数学天生的载体，以化学为背景的考题，可以拓展视野，提升逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养．常见考法有：以溶液浓度为背景创设的数列、函数等问题，以化学中的分子等为背景创设的空间几何体的结构特征、表面积或体积的问题，以化合物的结构式及分子式创设的归纳推理问题，等等．

【典例5】(2020·河南省期中测试)甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某溶液300ml，从甲容器中取出100ml溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出100ml溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为a1=20%,b1=2%,第n次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为an,bn.

(1)请用an,bn分别表示an+1和bn+1；

(2)问经过多少次调和后，甲、乙两容器中溶液的浓度之差小于0.1%.

【解析】(1)由题意可知甲、乙两种溶液第一次调和后的浓度分别为a1=20%,b1=2%，

(2)由于题目中的问题是针对浓度之差，所以我们不妨直接考虑数列{an-bn}．

【方法点津】解决此类以化学的溶液浓度为背景的数列模型题的关键：一是认真审题，构建数列模型，如本题，构建两个数列模型；二是解模，即根据题意，把所求的问题转化为已知两个数列的递推公式，求解不等式问题，通过等比数列定义的应用，以及解指数不等式，即可求得结果．

【典例6】(2020·重庆巴蜀中学高三月考)已知C60分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它有60个顶点和若干个面.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面的个数为( )

A．10 B．12 C．16 D．20

【方法点津】解决此类以化学C60分子为背景的立体几何模型题的关键：一是认真读题，构建立体几何模型，如本题，构建空间多面体模型；二是解模，即根据题意，把所求的问题转化为求几何体的正五边形的面数问题．

【典例7】(2020·安徽师范大学附属中学高二期中)按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式( )

A．C4H9B．C4H10

C．C4H11D．C6H12

【解析】依题意可知，后一个分子式总比前一个分子式多1个C和2个H，所以第四种化合物的分子式为C4H10，故选B.

【方法点津】本题以化学学科的“化合物的结构式”为载体，考查归纳推理等基础知识.像这样由一系列有限的特殊结论来归纳得出一般结论的推理就是归纳推理.一般地说，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．

五、物理中的数学

数学与物理不分家，以物理为背景的考题，可以提升逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养．常见考法有：以天体运动为背景(如卫星的运行轨迹等)考查椭圆的几何性质，以物理中的“质量等于体积与密度之积”的计算考查几何体的体积，以分子间作用力创设函数与方程问题，等等．

【典例8】(2020·新疆乌鲁木齐地区高三年级第一次质量监测)天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lgE2-lgE1).其中星等为mi的星星的亮度为Ei(i=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四” 的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是( )(当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)

A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27

六、地理中的数学

地理学科中的常识问题，常常作为数学创新问题的载体，可以提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养．常见考法有：以地理位置背景考查空间几何体的空间角问题或解三角形问题．

【典例9】(2020·河南省名校(南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校)高三3月线上联考)小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米.小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳.为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度(地面一点所在球半径与赤道平面所成的角)为北纬36°34′；②正午的太阳直射北回归线(太阳光线与赤道平面所成的角为23°26′)时，物体的影子最短，直射南回归线(太阳光线与赤道平面所成的角为-23°26′)时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

【方法点津】本题以地理学科为载体考查解三角形等基础知识，破解此类题的关键：一是准确理解题意，获取有效信息；二是根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；三是解三角形，掌握直角三角形的特征，通过合理运算，即可得出结果．

七、医学中的数学

以医学为背景的数学考题，展示了跨界的精彩，体现了数学在实际生活中的应用，可以提升逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数学分析等核心素养．常见考法有：以医学中的药物等为背景创设函数图象、函数模型、统计分析等数学问题．

【典例10】(2020·襄阳市襄州区第一高级中学期中)2019年诺贝尔生理学或医学奖获得者威廉·凯林(William G.Kaelin Jr)在研究肾癌的VEGF抑制剂过程中使用的输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13.若瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数h=f(x)的图象为( )