共焦点的椭圆与双曲线的性质探究

重庆 刘紫阳

在有关解析几何的问题中，常常涉及具有共同焦点的椭圆与双曲线，通过笔者的研究发现，它们具有如下性质.

评注：在涉及有关共焦点的椭圆与双曲线的公共点坐标问题时，可考虑联系此性质来帮助解决.

两式分别平方再相减得4|PF1|·|PF2|=

分析：一种思路是根据题意联想到椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得出结论；另一种思路是联系到上述性质，焦点三角形的面积公式S△PF1F2=b1b2得出结论.

解法2：依题意与性质一(2)得知，△PF1F2的面积为1×1=1.

评注：在涉及有关共焦点的椭圆与双曲线的公共点P与F1,F2连线的夹角问题时，可借助此性质来帮助解决.

评注：在涉及有关共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题时，可借助此性质来帮助思考.

性质(5)曲线C1与C2在点P(x0,y0)处的切线相互垂直.

评注：在涉及有关共焦点的椭圆与双曲线在其公共点处的切线问题时，可借助此性质来帮助思考.

分析：根据题意与性质二得知，题中的椭圆与双曲线有共同的焦点，利用椭圆与双曲线a,b,c间的关系得出结论.

评注:在涉及有关共焦点的椭圆与双曲线在其公共点处的切线相互垂直的问题时，可考虑应用此性质，得出其焦点相同，由此解决问题.