拓展教材资源 提高学科素养——谈平抛运动规律的拓展应用

贵州 杨 勇

平抛运动是常见的一种理想运动模型，其运动较直线运动复杂，运动规律可分为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，是两种直线运动的合成；平抛运动的研究方法是化曲为直、数形结合，充分体现了考纲要求中“应用数学处理物体问题的能力”。同时其运动规律对解决类平抛运动及相应的抛体运动也具有重要的意义，特别是带电粒子在匀强电场中的运动以及具有类似规律的质点运动。下面就以平抛运动为例，从树立正确的物理观念，培养学生推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力几个方面进行阐述，加强学生对物理规律的理解，使学生掌握解题的科学方法。

一、理解平抛运动知识，树立正确的物理观念

根据历年高考的题目类型来看，题型、知识点都源于教材，但又高于教材。教材知识是备考的最佳资源，应加深对教材资源的分析，理解教材知识所体现的物理规律，把规律应用于实际问题。比如平抛运动的应用：首先，要理解研究平抛运动的方法，能分析水平方向和竖直方向的运动规律；其次，会从数学的角度用函数来描述其轨迹的特点；再次，掌握平抛运动的受力特点、轨迹特点、数学特点，把这些特点应用于相应的模型；使学生形成正确认识物理本质的理念，掌握正确的解题方法，培养正确的物理价值观念，提升物理学科素养。

【例1】如图1所示，在离地面某高度处以速度v0水平抛出小球，不计空气阻力，结合所学知识分析小球的运动规律，结合数学知识分析小球的运动轨迹。

图1

【分析】平抛运动是曲线运动，通常处理平抛运动的方法是化曲为直，根据运动与力的关系及运动的独立性，小球在水平方向上不受力，则在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上只受到重力，而初始状态小球的速度在竖直方向上分量为零，则在竖直方向上小球做自由落体运动；为了能够形象描述及显示其运动轨迹的数学特点，建立如图2所示的坐标系。

图2

在水平方向由于做匀速直线运动，则x=v0t①

由于各分运动具有等时性，所以联立①②式整理得

图3

二、对平抛规律拓展应用，培养学生的推理能力

在学习和研究物理问题时，推理能力是必不可少的。在一些问题中，如果能用已学知识和已知条件进行推理，发现问题隐含的物理和数学规律，会使问题变得简单，解题变得高效。

【例2】双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图4中的

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图4

A.F1B.F2C.F3D.F4

【审题意】由于运动员只受到一个水平的恒力，则加速度不变。同时由题意可知，乙运动员运动轨迹上M、N两点切线的延长线是相互垂直的。通过例1对平抛运动的分析和认识可知，平抛运动抛出时速度与合力垂直，真实情景只是抛物线的部分，但是把其轨迹从数学角度补充完整，可得到一条完整的抛物线，在其对称轴的两边轨迹上必然存在两个点其切线延长线是相互垂直的。所以结合平抛运动的特点，轨迹MN必然是抛物线的一部分。把弧线MN情景化，联系实际，联系平抛运动的规律，即可找到本题的解题办法。

【解析】联系平抛运动规律，乙运动员在恒力的作用下的运动轨迹为一条抛物线，由于vM与vN的延长线相互垂直，则其速度延长线的交点必在轨迹的对称轴上，所以轨迹MN的对称轴如图5中的y直线，则乙运动员受到的合力的方向与对称轴平行，所以运动员乙受到的甲运动员的恒力可能为F3，因此选项C正确。

图5

【点评】本题以滑冰运动为载体，要求学生对所给的轨迹特点和受力情况进行合理推理，建立力与运动的联系，把运动员的运动轨迹和受力情况与平抛运动进行类比，提升学生的推理能力。要类比抛体运动，值得注意的是①力必须与物体运动轨迹所在的平面平行；②物体的合外力必须为恒力；③如果是多个力，要把力进行合成才可以类比。通过本题的分析可以发现，在实际的教学中，要引导学生把所遇到的问题归类、总结、联想、形成发散思维，从而达到“做一题会一类”的效果，培养学生的逻辑思维和推理能力。

三、抛体轨迹图象模型的拓展应用，培养学生的分析综合能力

物理模型是物理学科进行科学研究的重要体现，是把实际生活中的物体情境在一定条件下抽象出来，用数学等相关知识表达，形成一定的概念和规律，再把规律应用于实际问题，建立物理与生活的联系。实际的物体运动往往很复杂，但是抓住物体运动的本质和规律，通过其本质规律建立相应的模型，再应用所学知识即可解决问题。比如已知物体的运动轨迹特点，通过运动轨迹特点建立适当的数学模型，结合物理条件进行分析，培养学生的综合分析能力。

【例3】(2016年全国卷Ⅰ)如图6所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知

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图6

A.Q点的电势比P点高

B.油滴在Q点的动能比它在P点的大

C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大

D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小

图7

【审题意】由于是带电油滴，重力不可忽略，受到竖直向下的重力，而油滴的轨迹往上弯曲，根据曲线运动的规律可知，合力指向运动轨迹的凹面，所以带电油滴受到的电场力竖直向上，而运动轨迹关于P点所在的竖直线对称，因此在P点建立平面直角坐标系如图7所示，则轨迹的对称轴即为y轴，类比平抛运动的规律可知，这样完美的对称轨迹，其合力方向必然与对称轴重合，所以带电油滴的合外力竖直向上，而负电荷受电场力的方向与电场线方向相反，所以电场线方向竖直向下。

【解析】根据以上分析，Q点的电势比P点的高，故选项A正确；如果带电油滴从P到Q，合外力做正功，所以动能增加，如果从Q到P运动，合外力做负功，动能减少，所以油滴在Q点的动能比A点的大，故选项B正确；对于P、Q两点电势能的大小，可以从两个角度分析①电场力做功：若带电油滴从Q向P运动，电场力做负功，所以电势能增加，因此P点的电势能比Q点的大；②电势能Ep=φq，由于φP<φQ，由于油滴带负电，所以Ep>EQ，故选项C错误；根据油滴的运动特点，外力不变，则加速度不变，故选项D错误。

【点评】本题是2016年的一道高考题，考查学生的分析综合能力；如果单从轨迹来看，只能确定其受力指向轨迹凹面，要准确判断题目的内涵①要理解轨迹关于过P的竖直线对称的含义；②具有这样完美对称的轨迹必然是抛物线；③知道其轨迹为抛物线后，把油滴的运动与平抛运动的轨迹特点和受力结合起来分析，从而得到油滴所受到的合力方向。但由于是电场与重力场的叠加，又涉及功能关系，所以要求考生具备良好的思维习惯和综合分析能力。这里也可以引导学生从重力场的角度分析，把电场力与重力的合力等效为一个力(等效重力)，对分析本题的加速度、动能会比较方便。

四、抛体轨迹方程的拓展应用，培养学生应用数学处理物理问题的能力

由于平抛运动或者斜抛运动其运动轨迹是抛物线或者抛物线的一部分，其运动函数关系为二次函数，如果将其函数关系应用于具有类似轨迹的质点运动中，不仅能使问题变得简单，还能让学生掌握科学的解题方法。

【例4】如图8所示，在竖直平面内的xOy坐标系中分布着与水平方向成37°角的匀强电场，将一带正电的小球以某一速度v0从原点竖直向上抛出，不计空气阻力，它的运动轨迹满足y2=x，已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则小球的初速度v0为

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图8

图9

【审题意】根据题意，带电小球受到电场力和重力的作用，其受力示意图如图9所示，根据小球的运动轨迹方程y2=x，可知小球运动轨迹是一条抛物线，开口指向x轴的正方向，抛物线的对称轴为x轴，其运动规律与受力情况和平抛运动的模型类似，通过类比可以得到合外力沿着x轴的正方向。

【解析】通过以上的分析可知，小球的运动可以分为y轴上的匀速直线运动和x轴上初速度为零的匀加速直线运动，将小球的受力进行正交分解如图10所示

图10

y轴方向mg=Fsin37°

x轴方向Fcos37°=ma

【点评】这道题考查对类平抛运动的理解，但是要求较高①必须掌握和理解平抛运动的规律，能够准确判断方程y2=x是一条抛物线，且开口指向x轴的正方向；②会把平抛运动规律类比于此题，从而得到小球的合力方向沿x轴的正方向；③通过类平抛运动应用于此题，写出两个方向的运动学公式并化简，算出初速度v0。虽然本题在能力上要求较高，但是如果能把平抛运动的轨迹方程贯穿于具有此规律的质点运动中，对学生分析问题和解决问题将会达到事半功倍的效果，对培养学生应用数学处理物理问题的能力会起到良好的作用。