理解抽象式子，发展核心素养

甘肃 张建文

数学抽象是数学核心素养的重要组成部分，是区分学生数学能力强弱的重要标准之一.数学抽象是指通过对数量关系和空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.数学抽象的主要表现为获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.

抽象表达式是指没有具体的变量表达式，是用最简洁、最一般化的数学符号表示的式子，与具体表达式是相对的，在不同的情境中能表示不同的数学元素.多层次多角度理解抽象表达式能很好地培养学生的数学抽象素养，训练抽象思维，提高数学能力.

一个抽象表达式的抽象性体现在结构上的简洁性和内涵上的丰富性，下面笔者就抽象表达式所蕴含的特点进行分类简述.

1.抽象函数蕴含图象变换

一个抽象函数的表达式中的变量有特殊的含义，即此函数可以由其他函数变化而来，函数形式与结构的变化对应图象的变化.

1.1横向伸缩变换

f(x)=f(ωx)(ω>0)，已知x∈D,y=f(x)的解析式确定(可作图).

D在x轴正半轴,y=f(x)在(0,+∞)上的图象特点是：向右伸长,向左缩短(横向伸缩)；

D在x轴负半轴,y=f(x)在(-∞,0)上的图象特点是：向左伸长,向右缩短(横向伸缩).

例1.已知函数f(x)满足f(x)=f(3x).当x∈[1,3)时,f(x)=lnx.若在区间[1,9)上,函数g(x)=f(x)-ax有两个不同的零点,求a的范围.

在[1,9)上g(x)有两个不同零点⟺y=f(x)与y=ax图象有两个不同交点.

根据y=ax图象动态变化特点有：

反思：此题是在作图的基础上进行分析解答,理解抽象表达式是准确作图的前提.在基础图形作好后根据直线斜率的变化可以得到两曲线有两个交点的情况.

1.2横纵伸缩变换结合

f(x)=mf(ωx)(0<ω<1)，

例2.函数f(x)满足：(1)f(2x)=2f(x)；(2)当2≤x≤4时,f(x)=1-|x-3|.求集合S={x|f(x)=f(36)}中的最小元素.

x∈[2,4],f(x)=1-|x-3|作为起始函数,由此可以作出f(x)在(0,+∞)上的其余部分的函数图象.

可得如下简图：

故集合S={x|f(x)=f(36)}中的最小元素为12.

反思:此题是函数图象横向、纵向同时伸缩的经典例题,解答的关键在于准确理解抽象式子f(2x)=2f(x),由此画出函数图象简图，从而得到解答思路，列方程求解.

1.3横向平移纵向伸缩

f(x)=mf(x-n)(n>0),

已知D是长度为n的半开半闭区间,x∈D,y=f(x)的解析式确定(可作图).

(1)当m>1时,函数图象在以n为步长向右横向平移的同时纵向伸长；

(2)当0

(3)当m<0时,函数图象在以n为步长向右横向平移的同时纵向伸缩,再关于x轴翻折.

分析：f(x+1)=2f(x)⟹f(x)=2f(x-1),则可知函数图象在(0,1]的基础上以1为步长向右横向平移的同时纵向伸长2倍.

x∈(0,1],f(x)=x(x-1)作为起始函数,由此可以作出f(x)在定义域内的其余部分的函数图象.

当x∈(1,2]时,有x-1∈(0,1]，所以f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2),图象相比于x∈(0,1]时，纵向伸长为原来的2倍；

当x∈(2,3]时,有x-1∈(1,2]，所以f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3),图象相比于x∈(1,2]时，纵向伸长为原来的2倍；作简图如下：

反思：此题虽然属于恒成立问题,但是必须依赖于函数图象才可以判断出x的取值.在问题解答过程中,不仅需要从抽象表达式中看出图象变换的规则,还需要求出对应区间上的函数解析式,更要将恒成立问题从函数图象的角度去解释.

2.抽象表达式蕴含构造意义

抽象表达式的不同表达形式蕴含不同的函数构造方向,根据题目情境的不同可以构造导函数的原函数、对称函数和周期函数等.例如：

(2)对于xf′(x)+f(x)<0，则可构造F(x)=xf(x)；

(3)对于f′(x)+f(x)<0，则可构造F(x)=exf(x).

所以x∈[0,+∞),g′(x)<0,g(x)单调递减.

所以g(a)-g(a2)≥0，即g(a)≥g(a2)⟹a≤a2，解得a∈(-∞,0]∪[1,+∞).

3.抽象表达式蕴含数值变化意义

在抽象等式或不等式中,变量x可以表示一个实数，还可以表示一个表达式,根据题目的需要可以灵活进行变换,这就需要我们深刻理解抽象等式或不等式的数值变化规律.在不同的表达式中数值变化规律是不同的，此外我们还可以据此推出新的结论,满足不同题目的要求.

例5.已知定义在R上的函数f(x),对于任意实数x,均有f(x+3)≤f(x)+3,f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=2.求f(2 020)的值.

分析：f(x+3)≤f(x)+3表示f(x)数值放大后变量数值减小3，函数值增大3，

f(x+2)≥f(x)+2表示f(x)数值缩小后变量数值减小2，函数值增大2.

则有f(x+1)+2≤f(x+3)≤f(x)+3⟹f(x+1)≤f(x)+1(*)，

根据(*)及原条件可得f(x)+2≤f(x+2)≤f(x+1)+1，即f(x)+1≤f(x+1)，

又由于f(x)+1≤f(x+1)且f(x+1)≤f(x)+1，可得f(x+1)=f(x)+1，

因此f(2 020)=f(2 019)+1=f(2 018)+2=…=f(1)+2 019=2 021.

反思：此题的核心在于理解两个抽象不等式所蕴含的数值变化特点,由此选择对f(x+3)进行放大缩小变换,进而得到一个新结论,由此再利用原条件与新结论得到另一个结论,最后得到f(x+1)=f(x)+1,至此问题得以解答.纵观此题全过程,里面的式子变换简洁而巧妙,不得不令人惊叹,这都是建立在准确形象的理解抽象不等式的基础上的.

4.总结与展望