素养导向下一道模考题的探究与思考

重庆 李海堂

高考正在实现从能力立意向素养导向转变，而导数是高考重点考查的内容，解法灵活、多样.本文以一道模考导数压轴题为例，在解法探究的基础上，对试题进行变式拓展，在素养导向下进行了教学思考.

1.问题起因

笔者所在学校高三最近一次模拟考试理科数学试题中有一道关于导数的压轴题目，第(1)小题比较简单，学生解答较好，而第(2)小题，我校(重庆市首批重点中学)高三理科学生中，只有不到1%的学生给出了正确解答.笔者在考试后与学生交流发现，多数学生由于不能根据题目所给条件提取信息，展开联想，难以形成正确的解题思路，进而导致失分.因此笔者在讲评时注重方法引导，启发学生思维，收到了较好的效果，现整理如下，与同行分享.

2.题目再现

已知函数f(x)=lnx-2ax,a∈R.

(1)若函数y=f(x)存在与直线2x-y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；

3.试题评析

本题在函数、导数与不等式等知识的交汇处命制，既考查了函数的单调性、极值、零点以及利用导数证明不等式，又考查了数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，突出了能力立意，彰显了数学思想方法.本题解题思路较宽，为学生提供了多样化的选择，试题综合性较强.第(1)小题通过求导建立等式，学生很容易求出实数a的取值范围，而第(2)小题增加了试题难度，思维跨度较大，考查的知识点较多，要求学生通过读题、审题提取信息联系所学的知识，制定解决问题的方案，此题求解的关键是探索解题方向，确立解题目标.

4.解法探究

第(1)小题比较容易，不再探究，这里探究第(2)小题.

①当-1≤a≤1时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，无极值点，不合题意；

②当a>1或a<-1时，令g′(x)=0，设x2-2ax+1=0的两个根为x1和x2，因为x1是函数g(x)的极大值点，所以00，

评析：纵观上述解题过程，这种解法是学生容易想到的常规求解方法，从题目条件出发找到x1与a的关系，构造函数求其范围从而得到证明.入手容易深入难，对学生的思维要求较高，并且构造函数后要两次求导，学生难以突破.

所以h(x)在(0,1)上单调递减，所以h(x)>h(1)=1.

评析：此解法是将要证明的结论等价变形，变形后不等式的左边通过构造函数很容易求得范围为(1，+∞)，右边利用放缩法，通过中间数1作不等式的传递从而得到证明，放缩法在中学阶段是学生解题的一个难点.

思路3：由思路1知00，

所以2x2>x1+x2=2a，所以x2>a.

构造函数h(x)=xlnx-x+1,x∈(0,1)，只需要证明h(x)>0,x∈(0,1)，

因为h′(x)=1+lnx-1=lnx<0，所以h(x)在(0,1)上为减函数，

评析：此解法跳出固定的思维模式，也用到了放缩法，放缩后通过中间变量x2作不等式的传递，从而使构造的函数变为学生熟悉的函数，求导也比较简单，这样就容易得到证明.

所以h(t)在(1,+∞)上为增函数，所以h(t)>h(1)=0，

通过一题多解的教学，从多角度审视问题的深层结构，旨在发散学生的思维，能有效训练学生对数学思想的领悟和对数学方法的娴熟运用，充分鼓励学生发现问题、提出问题、解决问题，让学生在思考和辨析中更加明确具体问题具体分析，从而找到有效的解题方法，形成优化的认知结构，从而培养学生的创造性思维品质，落实素养导向.

5.变式拓展

变式拓展的过程是一个逐步深化、促进数学知识结构完善的过程，也是形成创新思维品质的有效方法，对学生能力的培养起到积极的作用.因此，下文对这道数学试题进行了变式.

6.教学思考

6.1注重试题选择，注重素养导向

任子朝先生在《从能力立意到素养导向》一文中指出，中国高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变.因此，在平时的训练和考试中，教师要注重对试题的选择，加大课本习题及高考真题的研究，关注数学对象，着力考查数学知识之间的构建、分析解决问题的能力，重视数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六大数学核心素养在试题训练中的应用，提升数学学科素养.

6.2加强解题反思，落实核心素养