多角度思考2019年全国卷Ⅱ文科第20题

甘肃 焦永垚

(Ⅰ)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(Ⅱ)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

一、试题分析

以椭圆为载体的圆锥曲线高考压轴题是历年高考中经久不衰的考点之一，往年的考题大多都考到了直线与椭圆的位置关系、定点定值以及最值等这些传统的热点问题，教师和考生在备考中往往会对这类题进行大量的练习，总结成固定模式，形成解题套路，这就使一部分本来能力不足的考生经过反复练习后也能得到一些分数.2018年1月，《普通高中数学课程标准(2017年版)》正式发布，界定了数学核心素养的含义，自此高考命题更加注重对学生数学学科核心素养的考查.本题主要强调学生对相关数学概念、方法及思想的理解和应用；强调基础性和综合性；注重数学本质和通性通法；考查了逻辑推理、直观想象和数学运算等数学核心素养.下面笔者从多维度对本题进行分析，探寻其解法，追溯其源头，研究其变式，培养学生良好的创造思维与发散思维.

二、解法探究

第一问相对简单，在此不再赘述，下面从不同角度探寻第二问的解法.

角度一 回归课本，夯实基础，关注核心，重视通法

【评注】本题源于人教A版选修2-1第49页习题2.2A组第6题，设点P的坐标，利用三角形面积公式是解决该题的通性通法，因此在高考复习中，我们不能脱离教材，而是要回归教材，注重教材中例题和习题所蕴含的思想方法，我们又不能拘泥于教材，还要注重对教材的一些经典知识的拓展与延伸，才能做到有的放矢，立于不败之地.

角度二 椭圆的焦点三角形问题，椭圆的第一定义是关键

【评注】对于椭圆的焦点三角形的问题，常用到椭圆的第一定义，并且利用均值不等式求a的取值范围显得更直接，更巧妙.

角度三 利用椭圆的参数方程解题简化运算

【评注】利用椭圆的参数方程解题，经常可以起到简化运算的作用，同时还可以顺理成章地利用三角函数的有界性求参数的取值范围.

角度四 利用椭圆的极坐标方程可以提高解题效率

【评注】利用椭圆的极坐标方程解题，可以简化运算，提高解题效率，本题由条件PF1⊥PF2，可知|OP|=c，所以适合建立以坐标原点为极点的极坐标系，思路清晰，运算简便快捷.

覆土的薄厚程度，是种植花生的关键和基础。在桃林山区，选种时选择特性优良（例如：抗旱、早熟等）的种子，假设种植出的花生用于食品加工，就一定要选择“口味”好的品种。，在花生的整个生长过程中，每个生长阶段对水分的要求都不同，例如：开花期、结荚期，需要大量的水分，假设水分不足，会使花生的产量大受影响。从花生的播种，一直到出芽，都需要充足的水分，所以，必要时一定要人工进行浇水，以保证花生的总产量。与此同时，花生的品种不一样，在生长过程中，对水分的需求以及水分需要的生长期也不同，因此，在补充水分时，一定要根据花生的品种进行科学灌溉。

角度五 焦点三角形的面积公式

三、同源再现

焦点三角形的问题在高考中多次出现，如2008年重庆卷理科第21题；2009年上海卷理科第9题和文科第12题；2010年全国卷Ⅰ理科第9题和文科第8题；2018年全国卷Ⅱ文科第11题等等.这些题都可以借助于焦点三角形的面积公式去解决，甚至2018年全国卷Ⅱ文科第11题的条件和结果与本文中的2019年全国卷Ⅱ文科第20题的第(Ⅰ)问完全相同，此考点在高考中出现的频率之高、解题方法之重要不言而喻.

四、同源变式

变式训练在高考复习中具有非常重要的作用，它可以对某一数学问题有关的概念和思想方法等进行不同角度与不同背景的变化，引导学生从不同角度，用不同的思维去探究问题，从而提升解题的能力，在此过程中训练学生从“变”的现象中挖掘“不变”的本质，进而培养学生良好的创造思维与发散思维.

【变式1】(2018·全国卷Ⅱ文·11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为( )

【答案】D.

【答案】3.

【变式3】(2010·全国卷Ⅰ文·8)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=( )

A.2 B.4

C.6 D.8

【答案】B.

【变式4】(2010·全国卷Ⅰ理·9)已知F1,F2是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为( )

【答案】B.