小学阶段圆面积教学设计探索

詹灿璨

【摘   要】弗赖登塔尔数学教育思想中有几个关键概念：数学现实、数学化、再创造等，深刻研究该教育理论并将其应用到实际数学教学中去，能够启发学生“再创造”数学知识。以小学“圆的面积”教学为例，可通过求解未知边长正方形的面积隐蔽地启发以分割法“再创造”圆的面积计算公式这一教学过程，说明弗赖登塔尔数学教育教学思想的精髓。

【关键词】数学教育思想;再创造;教学设计

新课程改革的推进使越来越多的教师意识到数学教学应当建立在以学生为主体，符合学生认知水平与数学现实的基础上。这种基于学生数学现实，经由再创造实现数学化的过程是弗赖登塔尔数学教育思想的精髓所在。本文围绕弗赖登塔尔的“再创造”数学教育教学理论，结合实际教学案例，探讨新的教学形式以促进数学课堂教学的完善。

一、弗赖登塔尔数学教育思想的基本内涵

弗赖登塔尔对荷兰以及世界的数学教育事业做出了重要贡献。整体、全面地分析他的教育思想内容，或是分点、细致地分析他的某一思想原则，都可从中感受到“授人以鱼，不如授人以渔”的思想精华。

（一）弗赖登塔尔的数学教育教学思想

弗赖登塔尔认为学生学习的主客观基础来自学生的数学现实与数学化历程，依靠自身的认知结构、学习经验、思维方式，最终发现数学知识教学的目的不仅是扩展学生的知识结构，也是扩充学生数学认知过程中的心理结构。他强调数学学习过程是具有现实意义的、富有创新性的、学生主动自觉进行的数学活动，而不是脱离实际背景、学生被动接受的教学活动。教学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程，教师的教学是引导学生主动地去学习、去思考，教学的目标是引导学生掌握数学知识、解决数学问题，促进学生提升自己的数学能力、数学思想水平，实现“四基”“四能”。

弗赖登塔尔认为学生的数学知识产生在数学化的过程中。数学化是运用数学思想和方法观察、分析、研究客观世界并加以整理和组织的过程。数学化的过程包含两个阶段——横向的数学化和纵向的数学化。首先将现实中的实际问题抽象为对应的数学形式，横向转化为某个数学模型或数学问题，再通过对已有数学知识的深化和处理，形成不同层次的公理体系和形式体系，最终完成纵向的数学化[1]。不同的人有不同的数学基础、数学思想，对所处现实环境有着各异的理解，这就是数学现实——人的數学认识与客观现实的结合。

学生也有自己的数学现实，它包括学生所处现实世界的客观基础、学生以数学化的形式认识世界而形成的认知结构等主观基础，这是学生学习的基础。学生不断提升数学水平的过程就是“再创造”、重现数学发展的过程。教师需要分析学生的数学现实以及数学水平，思考学生如何在当前的环境下经历“再创造”——学生自主重新发现数学知识。

（二）弗赖登塔尔的“再创造”数学教育教学思想

弗赖登塔尔数学教育观将学生看作是教学过程中的主体，教师引导其主动“做数学”，实现“再创造”。

如果实际课堂教学不能较好地实现学生与所学知识的紧密联合，只是传授知识点、公式，做练习，这种教学价值不大。“再创造”要求学生在学习数学的过程中，根据感受和思维方式，将所学内容再发现或“创造”出来，形成自己的数学体系，纳入自己的认知结构中。在这个过程中教师不是知识的灌输者，学生的学习是“再创造”的过程，它与“发现法”有所区别，“发现法”强调的是教师提前设计一个完整的课堂教学方案，引导学生逐步发现知识，而“再创造”强调的是学生主体的重要性与创造过程中层次的变化，教师作为引导者为学生提供一个与其数学现实相符合的问题，引导学生主动探究。这不是程序式的发现过程，而是学生为了解决问题自主实现的过程，属于学生自己的创造。

二、弗赖登塔尔“再创造”教学思想指导下的教学设计探究

基于弗赖登塔尔“再创造”思想的教学原则，在教学之前，教师需要进行“思想实验”，即对学生的认知水平、教学环境、辅助设备等内容考虑全面，对教材与教学知识点及教学中可能发生的各种情况，进行充分分析。

在教学过程中，教师要提供给学生具体、现实的例子，创造出积极的环境状态，维持学生较高的动机水平以积极参加数学活动，启发学生较全面地接触与处理所获得的数学信息，最终“再创造”所学的数学内容，或是数学概念、运算法则，或是发现有关的定律，以提高学生的思维水平。尤其要有意识地引导学生由不自觉或无目的过渡到有意识有目的地进行创造活动，促进每个学生的思维水平尽可能提高。

下面以小学数学“圆的面积”为例进行教学设计，以求在这个过程中尽可能地体现弗赖登塔尔数学教育思想的精髓。

（一）基于再创造教学思想的“圆的面积”教学设计

“圆的面积”是人教版六上的内容，要求学生探索并掌握圆的面积公式，能解决简单的实际问题。六年级学生的认知发展水平属于具体运算思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，如果教师仅向学生教授圆的面积公式，缺少发现的过程，学生也只能学会一组字母公式，并不能较好地实现教学目标。如果教师用接近现实的情景引导学生试着探究圆的面积，而不考虑学生的数学现实背景，也会使学生远离生活实际而不知所学何用。

充分了解学生的学习现实是创建优秀课堂的先决条件。学生的数学现实是生活中所见的与数学相关的实物、与数学有关的处理实际问题的方法，学生所具有的数学运算能力、对简单平面几何图形的认识等。因此，教师可以采用学生日常生活中能够接触到的实际问题来引导教学。

【环节1】提出问题：小美过生日了，妈妈向蛋糕店预订了一个直径为16厘米的圆形蛋糕，店主推荐做成一个对角线为16厘米的正方形蛋糕。如果价格相同，你愿意换吗？

生：听起来大小一样，可以换。

生：真的一样吗？要是一样的话，为什么要换呢？

[设计意图：数学与生活的联系要自然贴切、合乎学生的情趣。于学生而言，购买蛋糕问题有一定的迷惑性，有实际经验的学生会提出疑问，这种引出问题、激发讨论的过程是“再创造”合适的发起环境。]

【环节2】将蛋糕形状抽象为数学图形，引导学生主动解决问题。

师：比较两个图形的大小，应该采用什么方法呢？

生：比较面积。

师：那同学们先来看这个正方形的蛋糕，它的对角线为16cm，在不知道边长的情况下怎么求面积呢？

生：可以拆开变成两个直角三角形拼出大的直角三角形，通过求三角形的面积得到。

生：这个正方形的面积就是[12×16×16=]128（cm2）。

师：那如何求这个圆的面积呢？

[设计意图：至此，启发学生的第一阶段已经完成。合适的数学情境促使学生完全投入解决现实问题的过程中，符合当前知识阶段的图形转化促使横向数学化的发生。同时，由此引出的疑问也为学生提供了探究圆的面积的动机。]

【环节3】如何求得圆的面积？

师：在通过分割为两个三角形解决未知边长的正方形面积的基础上，你可以求出一个已知直径的圆的面积吗？

生：以前学习过三角形、长方形等的面积，或许也可以剪成那样来算！（学生分小组探究）

生：我分成四等份，却拼不出来。

生：多分几次，就越来越像三角形了！

[设计意图：教师通过适当地提醒学生可以采取与前述求正方形面积类似的分割方法，来调动学生的主观能动性，自己动手探究圆的分割，最终得到不同的分割方法（各种不同的分割方法与拼接方法，教师应当给予肯定与指导）。这个过程弱化了传统教学中教师的全权引导，学生的主体地位得到了充分体现，通过圆的面积公式的推導，理解数学的发现过程。]

【环节4】小组探讨怎么拼出合适的图形求解。

通过学生的合作，最终发现这些相等的近似于小三角形的图形可以拼接成一个近似的长方形。

师：现在你能告诉我圆形蛋糕的面积是多少吗？

生：圆形蛋糕的面积约等于[2π×82×8=64π≈64×3.14=200.96（cm2）]。

师：那你现在还愿意换蛋糕吗？

生：原来圆形面积这么大，怪不得老板要换成方形，太不划算了！

[设计意图：通过对圆形尝试各种分割，通过拼出熟悉且可求面积的几何图形，最终拼出近似的长方形求得面积。新的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，最后通过长方形的面积公式得出圆的面积公式。学生在“再创造”中发现圆面积的计算公式，解决了实际问题。]

（二）教学反思

弗赖登塔尔也强调教学反思的重要性。教师不仅要在课前遵循思想实验的原则，也要在课后遵循反思的原则。

“圆的面积”教学设计是契合弗赖登塔尔数学教育思想的，以合适的数学问题，即选择一个与学生生活紧密联系的场景作为导入，引起学生共鸣。将两个蛋糕抽象为简单的几何图形，实现横向数学化，转化为数学模型后进入纵向数学化。在解决正方形面积的基础上，隐蔽地为学生分割圆形提供一种方向，引导学生思考如何将圆形分割后组合成熟悉的、可求面积的几何图形。在探索的过程中，学生经历了问题转化、数形结合、头脑风暴的过程。

教师在完成课堂教学之后不仅要考查学生对本节内容的掌握程度，及时反馈学生的问题，也要进行自我反思——对思想实验设计中的完善、课堂突发问题的记录与解决、学生课堂表现和课后反馈的研究，实现教学相长。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等，译.上海：上海教育出版社.1995.

[2]付云菲.弗赖登塔尔的数学教育思想研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2013.

[3]张昆.实现数学课堂教学有效性的思考——透过弗赖登塔尔的数学“再创造”教学原则的视点[J].数学教学通讯，2020（9）：5-7.

[4]赵志贤.联想教学法在问题解决教学中的应用——以“圆的面积”教学设计为例[J].教学与管理，2010（8）：49-50.

（淮北师范大学数学科学学院   235000）