三线摆角度控制装置的研制与实验研究

刘直玉，杨晓红，任建新

（沈阳工程学院a.电力学院；b.基础教学部，辽宁 沈阳 110136）

转动惯量是描述刚体转动过程中惯性大小的物理量，它与刚体质量、密度、形状大小及转轴位置有关，正确测定刚体的转动惯量在工程技术中有着十分重要的意义。用三线摆测量刚体的转动惯量是高校理工科大学物理实验教学大纲中一个重要的基本实验项目［1-2］，因受办学经费短缺制约，目前很多院校仍采用IM-1 新型转动惯量实验仪（上海大学研制）、FD-IM-I 型、FD-IM-Ⅱ型转动惯量测量仪（上海复旦大学研制）。该类仪器的最大缺陷是没有安装角度控制装置，学生在实验时很难准确控制转盘转动角度的大小，通常转动角度在20°左右，不能满足转角小于5°的关键实验条件，导致实验误差增加。为了提高实验精度，减小实验误差，为上述仪器设计一个角度控制装置十分必要［3］。

1 三线摆角度控制装置设计与制作

将IM-1型转动惯量实验仪的启动盘与横梁支架拆卸开，将盘上面、侧面共6 个小螺母取下保存好备用。在启动盘小螺母下端圆周处均匀刻上72条刻度线，其分度值为5°，注意切勿破坏螺孔，如图1所示。

图1 IM-1型转动惯量实验仪

制作一个Γ 型指针［4］，在指针水平面处开一个圆孔，用圆垫固定指针，并使指针圆孔直径、圆垫孔直径与中轴直径相等，如图2所示。

将指针、圆垫一起套在中轴上，并固定在大螺母与横梁支架之间。让指针与启动盘尽量靠近但不能接触，以免产生摩擦阻力，影响启动盘转动。调整指针与刻度线相互平行，当转动启动盘时可观察到指针经过刻度的角度数值，即完成角度控制装置的安装，如图3 所示。学生在实验时可准确控制转角小于5°，达到实验条件的基本要求。

图2 指针、圆垫、中轴

图3 组装后角度控制装置

2 实验及结果分析

2.1 三线摆测量转动惯量实验原理

逆时针扭转启动盘，使其转角θ≤5°，接着顺时针旋回相同角度，使启动盘回到初始位置，松手后悬盘自由摆动起来，如图4 所示。当悬盘旋转角θ≤5°时，其摆动可近似看做简谐振动。

图4 实验原理

悬盘机械能守恒方程如下：

式中，m0为悬盘质量；g为当地重力加速度；h为悬盘沿两盘中心轴上升高度；J为悬盘转动惯量；ω0为悬盘摆动到平衡位置时角速度。

悬盘摆动角位移与时间关系如下：

式中，θ0为悬盘最大角位移；T0为悬盘摆动周期。

悬盘摆动角速度与时间关系如下：

将（7）式代入（4）中得，悬盘转动惯量公式为

2.2 实验数据测量

2.2.1 不同转角的悬盘转动惯量测量

悬盘和启动盘的相关几何参数如表1所示。

表1 悬盘、启动盘几何参数

根据J=m0D2计算出悬盘转动惯量理论值为1.261×10-3kg·m2。根据三角形几何关系计算出=b=3.81 cm。将已测得的物理量mo、R、r、H、T0及当地的重力加速度g=9.786 1 m/s2带入悬盘转动惯量J=相对误差Er=×100%中，分别计算出悬盘在不同角度下的转动惯量及相对误差实验数据，如表2 所示。根据表2 实验数据作出悬盘转动惯量的相对误差与悬盘转角之间Er-θ关系曲线，如图5所示。

图5 悬盘转动惯量相对误差Er与悬盘转角θ之间的关系曲线

表2 不同转角的悬盘转动周期、转动惯量、相对误差实验数据

2.2.2 不同摆长的悬盘转动惯量测量

在摆角均为5°且其他实验条件不变情况下，改变摆长l大小测得悬盘的转动惯量、相对误差实验数据，如表3所示。

表3 不同摆长的悬盘转动惯量、相对误差实验数据

2.3 实验结果及误差分析

2.3.1 三线摆扭转角度带来的误差

三线摆振动原理表明：当扭摆转角θ≤5°时，才能保证三线摆振动系统为线性［6］，即该振动系统做简谐振动机械能守恒，进而推出转动惯量实验公式（8）。所以扭摆转角在实验中起关键作用，对实验精度影响较大。由图5 可见，在摆角θ≤5°时，转动惯量测量值较精确，相对误差大约在0.3%以下；当扭摆角度在10°～30°时，转动惯量相对误差均匀增加；当摆角大于35°时，相对误差迅速增大。用没有角度控制装置的实验仪进行实验时，其相对误差大约在5%～10%范围内，若不考虑其他误差，学生在实验时会盲目地将转角转到20°～40°之间。所以，给三线摆安装一个角度控制装置十分必要，可以有效避免学生在扭转角度时的盲目性，减少实验误差，提高实验精准度。

2.3.2 三线摆摆长l带来的误差

表3 实验数据表明：三线摆长度对转动惯量精度也有很大影响。就上述研究对象而言，摆长l≤35 cm 时相对误差迅速增大；而摆角大于l≥45 cm 时，误差较少；摆长接近悬盘尺寸时（本实验中悬盘半径R'=7.391 cm），相对误差较大。根据阻尼理论，三线摆在振动时受空气阻尼作用，这个阻尼与系统形状有关，并与振动物体速度的平方成正比［7］。短摆的振动频率高、角速度大、阻尼大，实验误差就大；反之，长摆的振动频率低、角速度小、阻尼小，实验误差就小。所以，在实验中三线摆摆长应远大于悬盘半径，即l＞＞R'。

2.3.3 悬盘悬点之间距离R、启动盘悬点之间距离r、悬盘与启动盘距离H带来的误差

由实验公式（8）可知，R、r、H测量误差也将直接影响转动惯量测量精度。该实验中，R、r、H只能用精度不高的米尺（精度0.1 cm）测量。实验时如果测量不精确，也会引起较大误差。比如：设R、r的真值分别为7.05 cm 和3.81 cm，而测量值分别为7.15 cm 和3.91 cm，则相对误差分别是1.39%和2.61%。由此可见，对于实验数值越小的物理量，若测量不准确，带来的误差就越大。

2.3.4 其他误差

摆线材料不同，产生的阻尼不同，带来的实验误差也不同。从理论上讲，被测刚体在运动过程中必须是单一定轴转动［8］，实验前必须将启动盘、悬盘调至绝对水平，并使放在悬盘上的待测物体与两盘保持同轴，否则会使摆做非定轴转动，产生误差。此外，本实验采用电子天平（精度0.005 g）测量悬盘质量，用光电传感接收装置数字毫秒仪（精度0.001 s）测量周期，这两个设备的精度较高，可忽略其产生的误差。

3 结论

1）给IM-1、FD-IM-I、FD-IM-Ⅱ等相关型号的转动惯量测量仪加装一个角度控制装置，弥补了该类仪器的最大缺陷。其设计思路新颖独特，制作过程简单易行，在实验过程中起关键性作用，可谓“小改动、大成效”。实践证明：学生使用改装后的三线摆实验仪更加得心应手，避免了在扭转角度时的盲目性，取得十分满意的实验效果。

2）用三线摆方法测量刚体转动惯量时，扭摆转角≤5°，转角转到10°～30°时，相对误差会增加10%左右。三线摆摆长应远大于悬盘半径，若摆长和悬盘直径接近相等时，相对误差也会增加10%左右。此外，应选择阻尼较小的材料作为摆线。在实际测量时一定要保持两盘水平，并保证两盘和待测物体同轴。