量子网络编码研究进展

尚 涛，刘 然，刘建伟，陈秀波，徐 刚

(1.北京航空航天大学 网络空间安全学院,北京 100083;2.北京邮电大学 网络与交换技术国家重点实验室信息安全研究中心,北京 100876；3.北方工业大学 信息学院,北京 100144)

0 引言

量子通信始于1981年美国物理学家Richard Phillips Feynman提出的传输量子信息的设想。1982年，法国物理学家Alain Aspect通过实验证实了微观粒子存在“量子纠缠”现象。1993年，来自4个国家的6位科学家联名发表了名为《Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and EPR Channels》的论文[1]，首次提出了量子隐形传态协议，实现了传输量子信息的设想，为量子通信研究开辟了全新的领域。量子纠缠和量子隐形传态也成为量子通信的基石，激发了众多量子通信技术的产生。

虽然量子通信有诸多优点，但是其所消耗的资源也是非常昂贵的。在现阶段，量子纠缠的建立和传输都对实验条件有着极高的要求。一对纠缠的量子比特，只能用来传输一量子比特的信息，而且传输结束后纠缠随即消失，因此如何提高量子通信的传输效率是一个主要研究方向。很多因素影响量子通信传输效率，例如：仪器的缺陷会造成实际的量子态和理论不一致，导致传输效率降低[2]；信道噪音会影响纠缠的质量，甚至破坏粒子对之间的纠缠[3]；量子通信网络的某些瓶颈节点也会造成通信阻塞，影响传输效率。因此需要先进技术助力量子通信，提升整个通信网络的传输效率。

量子网络编码(Quantum Network Coding)是一种提高整个量子通信网络传输效率的技术。量子网络编码与经典网络编码的基本思想大致相同，但是与经典网络编码相比，量子信息的特殊物理性质使量子网络编码具有很多新特点。例如，量子信息理论中著名的量子不可克隆定理，使得量子网络中广播和多播不可能被无损地实现。在通信网络节点上，若想实现未知量子态的复制，就必须牺牲保真度。由于薛定谔方程是典型的可逆方程，在量子力学中的任何操作均是可逆的，所以对于一些不可逆的逻辑运算(例如“与”和“或”)，在量子力学里均没有与之对应的操作。如果缺乏这些基本的逻辑运算，量子信息处理就会受到很大的限制。

为了进一步促进量子网络编码的研究与发展，本文介绍了网络编码的基本原理，总结了量子网络编码的发展和研究现状，分析了量子网络编码的研究趋势和发展方向。

1 量子网络编码特点

网络编码(Network Coding)是在2000年由Rudolf Ahlswede、蔡宁等人[4]提出的一个全新概念，通过中继节点对接收到的信息进行编码来达到提高多播网络容量。其中，编码是指从输入到输出的映射。

在传统的路由网络中，信息在信道传输过程中被当成货物来处理。在中间节点处，节点只对信息进行复制和向后发送的操作，不对信息进行编码处理等操作。当网络节点增加时， 通信协议会导致某些瓶颈节点和瓶颈链路的出现。也就是说，如果同时有多个信息到达某一节点，若该节点不能将所有信息同时发送出去，部分信息就必须被延迟发送，这样就会导致信息传送等待，使得网络的吞吐量受到限制。然而，网络编码恰恰可以解决这一问题。通过在网络中间节点对收到的信息进行编码、压缩以及转发至下游节点，之后在目标节点进行解码，网络编码能够充分利用信道资源，提高网络通信的效率。此外，通过合理设计中间节点的编码方式，还能进一步提高通信网络的鲁棒性和安全性，降低网络的复杂度。

以经典的蝶形网络为例，可以展示网络编码的优势。在图1所示的蝶形网络拓扑结构中，源节点每条链路的容量均为1。假设源节点S1和S2要向目的节点t1和t2发送消息X和Y，如果采用传统的路由转发，那么在中间节点S0处，一次只能选择发送一条消息X或Y给下游中间节点t0。网络必须进行两次传输，目的节点t1和t2才能收到全部消息X和Y。网络编码通过在中间节点对消息进行压缩/处理，能够解决S0成为瓶颈的问题。如图1所示，S0接收到两条消息X和Y后，将它们进行异或运算，编码成X⨁Y之后发送给t0。在t1和t2处，分别对接收到的两条消息再次进行异或运算，就能解码得到X或Y。结果网络只需通过一次传输，目的节点就能接收到两条消息。

图1 网络编码示意图Fig.1 Diagram of network coding

网络编码的理论意义在于“提出了信息是什么”这一问题。它突破了经典信息论中商品流(Commodity Flow)不能再被压缩的结论，指出网络信息流(Network Information Flow)可以被处理/压缩，从而可进一步提升网络通信性能。所以文献[5]指出，网络编码处于经典信息论中通信复杂度的灵魂深处。

经典网络编码允许中间节点对接收到的数据进行编码，最大化整个通信工作的效率。与经典网络编码不同，量子物理特性使量子网络编码具有新的特点。例如，量子信息理论中的量子不可克隆定理(Quantum Non-Cloning Theorem)，保证了量子网络编码的安全性。因此，量子网络编码成为量子通信领域的研究热点。以第一个量子网络编码方案XQQ(Crossing Two Qubits)为例，展示量子网络编码的优势。XQQ方案实现了两个量子比特交叉通过蝶形网络的瓶颈链路，证明了在两条线路上保真度严格小于1，最终得出结论：网络编码是可行的，但需要以牺牲保真度为代价。如图2所示，使用量子操作来模拟经典网络编码中的复制操作与编码操作，其中复制操作为UC(Universal Cloning)操作，编码操作为GR(Group Operation)操作和TTR(Tretra Measurement)操作。但XQQ方案也具有局限性，其中UC操作只能近似地复制量子态，牺牲了所传输量子态的保真度，且仅适用于蝶形网络。

图2 XQQ协议Fig.2 Protocol of XQQ

2 量子网络编码的发展历程

在量子网络编码研究领域被开创之前，量子通信理论已经存在很多重要的定理。其中最重要的是量子不可克隆定理，它限制了对一个未知量子态的复制。在量子通信领域，广播和多播的性能受到很大的限制，进而量子网络编码区别于经典网络编码实现高性能广播的能力，因此，研究人员将目光放在量子网络编码中的k-pair问题。在这类问题中，有k个源节点和k个目的节点。每个源节点对应一个目的节点，一共形成k个收发对。源节点和目的节点之间由复杂的网络相连，网络中存在交叉、瓶颈节点等情况。研究目标是充分利用网络的结构，使得k个源节点发出的信息能够同时被k个目的节点获取。到目前为止，大多数的量子网络编码方案都是针对k-pair问题而提出。只有Iwama等人[6]尝试了实现量子信息的多播和广播，但是付出的代价是损失了通信的保真度。现阶段，没有方案能很好地复原有缺损的量子信息。

2006年，Hayashi等人[7]提出了第一个量子网络编码方案XQQ，实现了两个量子比特在全量子信道蝶形网络中的交叉传输。由于受到量子不可克隆定理等量子特性的制约，该方案无法实现无损的量子传输，即保真度小于1。量子网络编码领域的先行者们所面临的首要问题是探讨量子网络编码是否可行，通过XQQ方案，他们得出结论：网络编码是可行的，但需要以牺牲保真度作为代价。事实上，XQQ只是蝶形网络的特例，对于一般的网络结构，并没有给出讨论结果。

2006年，Iwama等人[6]在XQQ的基础上，将量子网络编码的范围扩展到允许非线性操作的一类图上，并且这类图都存在经典网络编码解决方案，这类图被称为D3图。通过量子操作模拟经典网络编码方案，实现量子网络编码。对于一般类型的图，在进行量子网络编码时，最大的问题是不同粒子在经过节点时会与其他粒子形成纠缠，并且这些纠缠在形成之后就很难被去除。在经过一个复杂的网络传递之后，粒子之间的纠缠会变得异常复杂，导致保真度几乎为零。为了解决这个问题，他们提出了一种不产生纠缠的克隆方法EFC(Entanglement-Free Cloning)，保证量子比特在经过节点时不会与其他量子比特产生纠缠。文中提出基于一般图的量子网络编码是经典网络编码方案的量子版本。该方案可以实现保真度大于1/2的量子通信，但仍不能实现无损的量子通信。

2007年，Hayashi[8]将量子纠缠引入到量子网络编码中，探讨信号源之间共享纠缠对能否对量子网络编码的性能产生影响，提出了一个无损的量子网络编码方案，实现了保真度为1的无损量子态传输。借助两个源节点之间共享的纠缠对，将两个量子比特完美地交叉穿过了蝶形网络的瓶颈节点。该方案使用的纠缠对需要处于最大纠缠态，在实际操作中最大纠缠态很难长时间存在，更经受不住节点之间的传输。为了弥补这一缺点，2010年，马松雅等人[9]在Hayashi的研究成果上，提出一个基于共享非最大纠缠态的量子网络编码方案。由于非最大纠缠态比最大纠缠态稳定，所以该方案鲁棒性更强。

2009年，Kobayashi 等人[10]将经典通信引入量子网络编码中，通过模拟经典线性网络编码方案，实现了保真度为1的无损量子态传输。此后，更多类型的通信资源被引入量子网络编码中，用来实现无损的量子通信。2010年，继续探索经典通信在量子网络编码中的应用，提出了另一种实现无损量子态传输的量子网络编码[11]。2011年，通过量子操作模拟经典的非线性网络编码方案，借助经典通信实现了无损量子态传输[12]。文献[10-12]分别讨论了3种不同类型的经典网络编码，并给出了相应的量子版本。虽然表面上Kobayashi等人提出的方案没有利用量子特性，但在文献[13]中证明了其提出的量子网络编码方案可以看成一种量子计算方法；进而表明对于任意一种通信网络结构，只要其k-pair问题存在经典网络编码方案，再配上合适的量子操作，就一定能够实现该网络结构的量子网络编码。

2012年，Satoh等人[14]利用量子中继器设计了一种新型的量子网络编码方案。主要思想是通过控制纠缠的形成，在源节点和目的节点之间建立量子纠缠，进而实现量子隐形传态，实现量子信息的无损传输。在该方案中，网络相邻节点共享一纠缠对，利用本地量子操作和经典通信实现纠缠交换，最后使得源节点和目的节点共享一对纠缠粒子，再利用量子隐形传态实现量子态的交叉传输。

2014年，Nishimura[15]对量子网络编码的研究现状进行了总结分析，讨论了使用纠缠资源与经典通信的情况下量子网络编码方案的性质。

2014年，尚涛等人[16]将控制方和可控隐形传态引入量子网络编码方案中，提出了两个分别基于XQQ和预共享纠缠的可控量子网络编码方案。该方案在经典量子网络编码方案的基础上，增加了控制方，使得接收方只有在得到控制方允许的情况下，才能成功地对接收到的消息进行解码，提高了网络传输的安全性。为了抵御影响编码特性的污染攻击，2016年他们结合量子同态签名，提出了抗污染攻击的量子网络编码方案[17]，提高了量子网络编码的安全性。

2015年，陈秀波等人[18]从多单播的角度设计了量子网络编码。虽然在经典通信支持下的量子网络编码能够实现无损的量子信息传输，对于经典网络解决方案的依赖导致存在瓶颈路径的大规模网络上会出现较高的通信复杂度和传输拥塞。他们发现某一类型的量子操作足够支持在扩展蝶形网络上多单播会话，提出了一个独立于经典网络解决方案的量子网络编码方案。2016年，考虑有向无环网络的量子多单播问题，分析了量子多单播网络的可解性，通过利用全局纠缠的二维和三维簇态，提出了实现多单播会话的最优协议[19]。

2015年，徐刚等人[20]受经典协作通信和网络编码技术启发，通过在蝶形网络上建立量子协作多播的合理模型，设计了仅与量子态初始系数相关的编码操作，以部分成功概率为代价，实现了量子协作多播网络编码方案，并对经典多播具有良好的兼容性。同时，将该方案推广到传输d维量子态的情形，适合较为复杂的量子网络通信模型。

2015年，尚涛等人[21]提出了适应复杂拓扑结构拓展的量子网络编码方案。该方案基于量子中继器，能够实现远距离量子通信。结合图论的图转换方案，设计了一对多(单源多汇)、多对一(多源单汇)及多对多(多源多汇)D3图网络上的量子网络编码方案，实现了更具有一般意义的量子中继器网络编码。为了解决量子中继器的安全性问题，2016年，尚涛等人[22]引入可信的第三方实现预共享纠缠态分配与节点身份认证，提出了可控量子中继器网络编码方案。在存在主动攻击的情况下，该方案可以最大程度地避免粒子资源浪费。

为了发挥网络编码在广播传输的优势，2016年，尚涛等人[23]利用量子隐形传态技术的混合信道特征，提出了机会式量子网络编码方案，解决量子信道不可监听和机会监听之间的矛盾，从而将经典机会网络编码COPE方案的机会性质引入量子网络，提高量子网络的吞吐量性能。另外，该方案采用量子信道认证技术保证信道的完备性，保证了方案的安全性。

2017年，尚涛等人[24]提出了基于连续变量的量子网络编码方案，提高了量子网络编码技术的可实施性。首先，他们提出了基于近似操作的连续变量量子网络编码方案。利用高斯克隆操作实现对量子态的近似复制，设计ADD/SUB操作实现对量子态的编解码，实现了量子态在蝶形网络中的交叉传输。其次，从提高量子网络编码方案保真度的角度，利用连续变量量子隐形传态的完美传输特性，提出了基于隐形传态的连续变量量子网络编码方案。

2017年，姜敏等人[25]使用GHz信道资源，设计了基于任意两量子比特态的远态制备的量子网络编码方案。在蝶形网络中，每个源节点同时在合适的测量基下对它们自己的量子比特执行两个恰当的投影测量。然后，它们的测量结果将被分发给中间节点。进而，中间节点执行编码操作，发送编码信息给目的节点。最后，根据收到的信息，两个目的节点以成功概率1获得目的量子态。

2018年，Wang等人[26]通过多自由度的扩展光子纠缠实现了近乎完美的量子k对传输，使得经典的不可解网络成为量子可解网络。

2018年，杨宇光等人[27]研究了基于量子游走结构的蝶形网络的量子多单播通信问题，其中，多个任意的单量子比特态在多个源-目的对之间同时传送。结合量子游走到蝶形网络和倒冠网络设计量子多单播通信方案，实现任意的单量子比特态能够以概率1且保真度1来高效传送。

2019年，尚涛等人[28]提出了一种抗污染攻击的连续变量量子网络编码方案，结合连续变量量子同态签名，验证不同数据源的身份。只要量子签名通过验证，目标节点就可以解码自己的量子状态，获得正确的信息。安全性分析证明了方案的安全性。该方案是构建安全量子网络的基本模型，需要进一步研究更高的安全性。为了支持通用网络结构的可重复签名验证，2019年，尚涛等人[29]通过引入串行验证模型和并行验证模型，提出了一种具有可重复验证的量子同态签名方案。其中，串行验证模型将密钥分配和贝尔测量相结合，解决了签名验证问题。并行验证模型通过在逻辑上将EPR对中的一个粒子作为量子签名，在物理上制备新的EPR对来解决签名重复的问题。方案分析表明，中间验证和终端验证都能在同一操作下成功地验证签名，消耗的资源较少，且经过验证的纠缠态签名可以重复使用。

从量子关联作为通信资源的角度，采用量子失谐作为量子关联的度量进行纠缠分配，2019年，尚涛等人[30]提出了一种基于纠缠分配的量子网络编码方案，充分发挥量子失谐的特性，利用基于分离态的纠缠分配，在整个纠缠建立过程中不涉及任何的量子纠缠，只在结束时在源节点和目的节点之间产生纠缠粒子对。该方案降低了纠缠分配的量子资源消耗，提高了通信网络的鲁棒性和吞吐量。在整个网络编码的实现过程中不涉及信息的传输，只通过传输量子来构建最大纠缠对，在信息发送方和接收方之间形成量子隐形传态通道。最后，利用这样的通道，发送方和接收方可以安全地传输信息。

2019年，Wang等人[31]提出了一种用于多量子位远程量子态制备的量子网络编码方案，提高了多量子位态的远程制备网络的吞吐量和通信效率。

2020年，刘然等人[32]设计了一个基于远程量子态制备的量子网络编码方案，利用纠缠分配在两对源节点与目标节点之间建立共享资源状态，并在经典信道的辅助下，在蝶形网络的目标节点处，远程制备为已知状态。与已有方案相比，该方案利用量子资源效率更高，表明了量子失谐是远程量子态制备的必要资源。

2020年，Wu等人[33]提出了基于蝶形网络模型的连续变量量子网络编码方案。该方案不仅有利于量子网络的实现，而且能有效地降低量子网络的通信成本。从吞吐量和保真度角度来看，该方案的吞吐量高于离散变量量子网络编码方案和经典信息网络编码方案，保真度上限为4/9。以简单拦截攻击和光谱攻击为例，该方案通过有效抵抗第三方的窃听攻击，实现了量子信息和经典信息的安全传输。

另外，也有研究人员将已有的量子网络编码方案应用到其他量子信息处理技术中，提出了很多新的方案。例如，通过量子网络编码实现了强鲁棒性的纠缠分配[34]、量子密钥分配[35]和分布式量子计算[36]。

3 量子网络编码关键技术的突破

在经典网络编码方案中，对消息的复制和编码操作(如异或操作)是十分简单的。而在量子网络编码方案中，由于量子不可克隆定理导致无法对未知量子态进行精确的复制，代表性的XQQ方案使用UC克隆来近似地完成量子态的复制。其中UC克隆属于概率性量子克隆技术，即对量子系统进行酉变换之后，引入量子测量，以一定概率精确克隆一组线性独立的量子态。由于UC克隆的保真度小于1，在网络各节点多次执行 UC 克隆导致量子态的误差增大，因此仅能保证XQQ方案的保真度严格大于1/2且小于1。由此可见，概率性量子克隆技术不是完美的确定性克隆技术，对概率性量子克隆技术的研究有利于提高量子信息传输的保真度。

与经典网络编码方案相比，量子网络编码方案在网络各节点通过酉变换对量子比特编码。如果充分发挥量子纠缠特性，可以降低量子网络编码方案对编码操作的要求，将问题转化为量子纠缠资源建立问题。

一个解决方法是通过纠缠分配来实现。EDSS协议是一种在两个节点间构造最大量子纠缠的量子协议。该协议由Cubbit[37]于2003年提出，由Kay[38]于2012年讨论并改进，由Fedrizzi等人[39]经过实验验证。EDSS协议在纠缠建立的过程中不涉及量子纠缠，在结束时在源节点和目的节点之间产生纠缠粒子对，以较强的鲁棒性形成了两个远距离量子系统之间的纠缠。概率性量子克隆技术能够以一定概率精确克隆符合一定条件的量子态。利用纠缠分配和概率性量子克隆两个基本操作，可以实现基于纠缠分配的量子网络编码方案。基于纠缠分配的量子网络编码方案中不涉及信息的传输，只通过传输量子态来构建最大纠缠对，在信息发送方和接收方之间形成量子隐形传态通道。利用此通道，发送方和接收方可以安全地传输信息。

另一个解决方法是通过远程量子态传输来实现。1993年,Bennett[40]提出了量子隐形传态，未知的量子态通过预共享的量子信道和一些经典信息从发送方传送到空间距离遥远的接收方。随后，Pati[41]和Lo[42]提出了一种利用经典信息和共享纠缠资源远程制备已知状态的量子通信新方案，即远程量子态制备(Remote State Preparation,RSP)。2012年，Dakic等人[43]明确指出量子失谐是比量子纠缠更一般的量子通信资源。利用量子失谐作为资源，他们实现了远程量子态的制备。RSP协议是量子隐形传态的一种变体，协议具有原始状态的完整信息，发送方知道要传输给接收方的量子态，且对经典通信成本的要求较低。因此，利用可分离态的纠缠分配，实现蝶形网络中源节点和目的节点之间的纠缠分配，并将远程量子态制备应用于量子网络编码，实现量子网络中的远程量子态制备。基于远程量子态制备的量子网络编码方案在接收方准备已知特定状态比量子隐形传态使用了更少的资源，降低了网络编码中对编码操作的要求。

最新的研究表明：虽然量子纠缠在量子通信中处于核心地位，但超越量子纠缠的更一般的量子关联(Quantum Correlation)才是量子通信和量子计算具有优异性能的关键性因素。量子关联将成为量子研究领域关注的焦点。未来对量子网络编码的研究可以从以下方面进行：寻找利用量子关联作为资源实现量子态无损传输的方法，分析量子通信系统的保真度，考虑量子网络编码的安全性问题，考虑量子网络编码在量子互联网建设中的作用。

4 结束语

本文探究了提高量子通信网络效率的关键技术——量子网络编码，总结了量子网络编码的发展过程。越来越多的证据表明量子纠缠不是造成量子技术性能提升的根本原因，采用量子失谐作为量子关联的度量，成为量子研究领域关注的焦点。现有的量子网络编码方案使用的量子纠缠资源较多，却很少讨论量子纠缠的形成和分配。利用分离态量子实现的纠缠分配，实现点到点的纠缠，制造量子纠缠资源。将量子比特通过复杂的网络结构，实现多个源节点和多个目的节点之间量子纠缠的同时产生，再充分发挥量子隐形传态在实现信息传输方面的优势。在未来量子互联网的建设中，可以利用量子失谐和纠缠分配技术设计新型量子网络编码方案，无论在理论研究还是技术实现上都具有十分重要的意义。