循“理”入“法”，理法并行

王兴伟

【摘要】算理和算法是运算能力的一体两翼，两者相辅相成，不可偏废。如何让学生既理解算理又掌握算法，实现算理和算法有效融合？本文从观察情境、经历过程、多元表征、迁移经验、直观操作等五个方面阐述了如何引导学生经历明白算理、探究算法，进而提升学生运算能力的一些做法。

【关键词】算理 算法 融合

曹培英老师曾说：“算理和算法是运算能力的一体两翼，两者相辅相成，不可偏废。”但在实际教学中，“算法娴熟，算理不明”的问题普遍存在，不少教师并不重视学生对算理的理解，把会算与算对作为教学的唯一目标。在这样的环境中，学生是运算程序的“操作工”，习得的技能特别容易退化，必然会影响运算能力的发展。如何让学生经历明白算理、探究算法的过程，从而实现算理和算法有效融合，进而达到理与法的内在统一呢？下面，笔者谈谈在实际教学中的几点做法。

一、观察情境。把握结合点

小学生的思维以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡。因此，在计算教学中要十分重视引导学生观察情境图中的学习对象，发现有价值的信息，找到算理理解和算法构建的结合点。

“20以内的加减法”是学生学习计算的开始，以“9加几”的教学为例，教材呈现了如下情境（图1）：桌上的盒子里放着9个红苹果，盒子外放了4个绿苹果，启发学生思考“一共有多少个？”

教师首先要引导学生观察主题图，借助“加法意义”理解，认识到求“一共有多少个”就是将两种苹果合并起来，列成算式就是“9+4”。接着启发学生思考：计算“9+4”可以从加法的基数意义理解，从第1个开始，依次把9个红苹果和4个绿苹果全部数完，就是13个。还可以从加法的序数意义人手，即从盒子里的9个开始数起，并依次数完盒子外的苹果。数一数的方法与加法意义相融合，同步揭示9+4的算理。

然后激发学生思考：“还有更快捷的方法吗？”这样学生就需要对计算方法进行提升。教师引导学生进一步观察：盒子里一共有10格，再放一个正好放满，可以从4个苹果中拿1個放入盒子中，把9个苹果凑成10个，再加上外面的3个苹果，一共有13个。

这里，通过让学生观察情境，借助“合并”过程，理解体验到具体数数过程中“凑十法”的原理与意义，为后续学习其他“算理”奠定了基础，同时利用情境图，结合“满十进一”的计数原则，通过数的拆分与组合，构建掌握了“凑十法”的基本方法。数的概念与计算原理的交互融合，学生就能形成合理的认知结构。

二、联系生活，挖掘起始点

弗赖登塔尔认为：“数学的根源在于普及常识，小学生离不开实际生活经验。”由于算理的抽象性，为便于学生理解，教师要善于寻找学生生活中的数学现象与数学问题，将他们的生活经验与计算数学有效衔接，让学生亲历将生活经验转化为数学经验的全过程，教师在探究的过程中引领学生发现算理的源头，明确算法，从而不断提高运算思维品质。

以三年级“两位数除以一位数”为例。教师先出示情境：甜甜和果果买了52棵树苗，平均每人分到几棵？然后让学生用小棒代替树苗来分一分，展示三种分法：一根一根地分;先分单根的，再分整捆的;先分整捆的，再把余下的1捆和单根合并分。接着引导学生比一比：结果虽然都是26根，哪种分发更简便？经过比较，学生发现了第一种太复杂，第二种分了3次，第三种最简便。有了分小棒的经历，接着教师让学生自己尝试着用竖式写一写，然后展示、比较，追问：哪个算式能够更清楚地体现分的过程？

在学生争鸣中，教师指出“除法竖式有它规定的格式，不如让我们一起去看看它是怎么产生的”。教师借助课件的动态演示，边描述分的过程，边将人物、仓库、树苗等抽象成除法竖式（图2），在观察完竖式的呈现过程后，教师启发学生比较，发现竖式的算理和分树苗、分小棒的过程和实质都是一样的：先分十位，再分个位，然后把两次分得的结果合起来。至此，学生借助生活经验，找到了除法竖式的起点，对算理、算法的理解易如反掌。

三、多元表征。发现逻辑点

研究证明，学生的计算学习通常以线性方式展开，其表征过程一般是从动作、语义再到符号。这三种表征代表着思维的不同程度，教师要引导学生经历从具体逐步走向抽象，这一过程中，这些表征之间并不是一个单向的简单过程，而是多向和复杂的。

以一年级下册“用竖式计算两位数加法”为例，这是第一次出现加法竖式，教学前笔者先做了预测，95%的学生已经能正确计算出例题“36+21”的结果，但有超过60%的学生虽能算对结果，却不能清楚地表示出计算方法，也就是并没有真正掌握其中的算理。

为了帮助学生找到竖式的“根”，笔者先让学生用小棒摆来还原实物原型，引导学生思考“你是怎么把它们合起来的”，学生清楚地看到“捆和捆相加，根和根相加”;接着再让学生用计数器拨珠，再次提问“你们是怎么把它们合起来的”，学生再次看到“十位和十位相加，个位和个位相加”。这两次的动作表征，强化了数位表象，直观体现了相同数位对齐。接着笔者引导学生用口算加，板书分解加的过程，学生发现，摆小棒、拨计数器和口算都是先把十位相加，再把个位相加，最后合起来，这就为竖式提供了逻辑的支撑。然后再展示竖式的方法，让学生观察，“竖式和计数器像不像，它们之间有什么联系？竖式和小棒图有什么关系呢？”通过符号表征，将竖式中的每一部分都和相应的计数器、小棒相对应，学生清晰地感受到它们的联系。最后，教师让学生进行比较，并用语言概括出“两位数加法”的计算方法，完成了思维的外化。这样的教学，让学生经历“实物具象一计数器半抽象一符号抽象一语言概括”的多元表征过程，沟通了相互之间的内在联系，为学生找到了竖式的逻辑点。

四、迁移经验。找准共通点

小学计算内容联系十分紧密，一般因为数位增加、进位或退位等情况的出现而逐渐复杂。但基本的算理和算法却都可以相互迁移。因此在新的“算理”的认识活动中，要应用好学生的前概念，注重激活已有的经验，并将新“算理”的理解建立在与原有相关知识发生、发展的基础之上，使得新旧知识得以多角度共通，“算理”在学生认知结构中“扎根”。

以典型的“两位数乘以两位数”教学为例，教师利用学生已有的经验分三步来引导：第一步，先出示24x2，让学生用竖式计算并口头说出竖式计算两位数乘一位数的计算方法，达到温故知新，然后复习24x 12的横式笔算方法，利用学生学过的知识，为下面对算理的理解埋下伏笔。第二步，出示主题图，借助主题图的观察，引导学生主动探究，逐步理解两位数乘两位数的“算理”。首先结合观察，列出算式“24x12”，激活学生原有认知：“24x12的实质就是求12个24的和是多少”;然后引入“合并”，用情境图直观地搬运的过程：先搬10箱，再搬2箱。这样的呈现方式能够启发学生利用已有的知识理解算理。学生在观察图后很容易想到，要求24x12得多少，可以先算2箱，用24x2=48，再算6个2箱，用48x6=288箱;还可以先算2箱，用24x2=48，再算10箱用24x10=240，再把240和48合起来。这两种算法本质上是相同的，而第二种的思考过程更具体地揭示了24x 12的算理。第三步，掌握竖式的算法。通过上述两个层次对原有知识、经验的激活，学生对于24x12的“算理”形成了初步体验，在此基础上，教师及时对已有分项计算过程与竖式进行意义连接，使学生理解竖式中“位值”的表示方式，即个位上2乘24的结果是2箱的个数，而十位上1乘24的结果是10箱的个数，是24个十，从而使学生明确“4”为什么在十位的意义”。经验的迁移达到了理清法明，前后共通的“算理”会深深扎根于学生心田。

五、直观操作，寻求支撑点

直观操作是计算教学的有效手段。在计算教学中，直观操作不仅能将抽象的算理形象地显现出来，一目了然，而且能使算法的闡述更为清晰、准确。学生借图明理，数形结合，就为算法的构建提供了原型支撑，对学生理解算理、构建创造性的算法具有重要的意义。

在五年级“小数乘以小数”教学中，由于小数是特殊的分数，小数乘法的意义要到六年级学习分数乘法时才能理解，小数乘小数的算理比较抽象，学生对算理难以理解。怎样突破这一难点呢？笔者首先借助面积模型，先理解“0.1 x0.1”，出示图3，学生从图中清晰地看到0.1×0.1相当于边长为0.1的小正方形的面积，0.1×0.1=0.01。接着以此为基础，让学生在学习单上（图4）操作0.3×0.4，学生通过涂一涂、算一算，利用同样的直观图，发现0.3x0.4是计算一个长4小格宽3小格的长方形面积，就是12个0.01，所以0.3x0.4=0.12。到此，笔者启发学生在头脑中进行想象：0.7x0.6的积是多少？你能用图形做出解释吗？通过以上三个在直观图中构造零点几乘零点几的长方形，学生展开直观推理，初步获得对一位小数乘一位小数算理的理解。

接着笔者让学生探究几点几乘以几点几，出示：3.6x2.3，有了前面的基础，学生很快把上面环节中的认知与经验迁移过来（图5）：在方格纸上画一个与3.6x2.3对应的长方形，3.6x2.3就可以看作是36个0.1与23个0.1相乘，得到828个0.01，就是8.28。据此，再用乘法竖式计算（图6），学生对算理的理解就水到渠成。

上述直观的面积模型，为算理算法提供了有效的支撑，丰富的数形结合材料，让学生在比较中感悟到不同方法之间的内在联系，深刻地领悟了小数乘法的算理。