升降算符在一维谐振子能级讨论中的应用

刘海宽，张海丰，马佳

(佳木斯大学 理学院，黑龙江 佳木斯，154007)

1 用升降算符表示的哈密顿算符

一维谐振子的哈密顿算符可以表示为

(1)

坐标和动量算符满足对易关系

(2)

令

(3a)

(3b)

(4a)

(4b)

根据式(2)，易得

(5)

(6)

(7)

(8)

由式(4)可得

(9)

(10)

2 能量本征值的推导

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

取本征矢|E′〉，并将其被算式(15)作用易得

(16)

E′，E′-ћω，E′-2ћω，…

(17)

对于基态的能量，根据式(10)

(18)

易得

E0=ћω/2

(19)

根据式(8)和式(10)可得

(20)

(21)

E′，E′+ћω，E′+2ћω，…

(22)

另外，由式(6)可以对式(10)做进一步的处理为

(23)

(24)

3 能量本征波函数的推导

设谐振子基态波函数为ψ0(x)，由于

(25)

根据式(3)和式(4)可得

(26)

(27)

解得

(28)

式中N0是归一化常数，按照波函数的归一性

(29)

所以

(30)

另外，由于

(31)

则有

(32)

所以

(33)

(34)

令

ξ=αx

(35)

则

(36)

所以利用基态波函数式(28)可以得到

(37)

式(37)中

(38)

4 升降算符作用下本征波函数递推关系推导

取谐振子能量本征矢为|n〉，则正交归一化条件为

〈n′|n〉=δn′n

(39)

由于升降算符对|n〉的作用满足

(40a)

(40b)

式中λ、υ待定，所以式(40)的共轭为

(41a)

(41b)

所以由式(40)和式(41)可得

(42a)

(42b)

可以解得

(43a)

(43b)

亦即

(44a)

(44b)

(45a)

(45b)

(46a)

(46b)

下边给出坐标算符和动量算符作用在能量本征态上的递推关系.由于

(47a)

(47b)

所以

(48)

(49)

(50a)

(50b)

同理，由于

(51a)

(51b)

所以

(52a)

(52b)

(53a)

(53b)

5 本征波函数递推关系的应用

(54a)

(54b)

由式(51a)(51b)易知

(55)

(56)

根据式(52)易知

(57)

(58)

所以

(59)

(60)

(61)

6 结 论