非均质分布式人群接种疫苗的多组流行病模型研究

陈 亮

(黄山学院 数学与统计学院，安徽 黄山245041)

1 前 言

早期，人们对人口流动研究采用确定性模型和随机模型，而不考虑要素之间的相互作用。这些模型提出了一个理想的均质概念,即所有元素具有相同的变化率[1]。由于统一的混合假设，经典的确定性模型不能客观反映疾病的真实传播机制。实际上，异质性结构和空间效应对疾病的传播具有更直接的影响，因此，许多类型的复杂网络已被直接用来模仿社会结构来研究疾病的传播。

任何网络的顶点都代表个体，边缘代表它们之间的连接，疾病通过边缘直接从感染性个体传播到未感染性个体。近年来，研究者已经提出了几种类型的计算机生成的理想化网络来研究疾病传播的模式，可以通过检查顶点的连接方式和顶点在空间中的分布方式来区分网络的类型。

通常地，随机网络，格子网络，无标度网络，小世界网络和空间网络被用于疾病传播的研究[2]。在许多实际仿真中使用的最简单的网络是随机网络，其顶点的空间位置无关紧要，并且每个个体都以一定的概率连接到固定数量的随机顶点或任何其他节点[3]。在格子网络中，顶点位于点的规则网格上，即每个顶点有4 个邻居，网格节点之间的接触因此位于空间中[4]。需要注意的是，由于许多远程链接，随机网络具有短路径长度，但是聚类较低；而格子网络具有较高的聚类度和较长路径长度，即从一个节点跳到另一个节点需要很多步骤[5]。

无标度网络具有近似于泊松的分布，可以模仿社交网络的自然特征的连接机制将一个新节点一个接一个地添加到网络中来动态构建[6]。新个人优先连接到已经有大量联系的其他个人，即形成超级传播者，这些超级传播者在疾病传播中起着举足轻重的作用。在小世界网络中，个人都是通过熟人联系在一起的,小世界概念意味着大多数个人可以通过少量连接彼此联系，而大多数个人则通过至少一条短路径相互连接[7]。网络的聚类度较高，而平均最短路径长度较低。具有远程连接的网络能够引起感染，从而较快地感染所有个体。在空间网络中，节点和边被嵌入到空间中，在该空间中，两个节点的连接概率取决于其距离[8]。该疾病如何在人群中传播，以及如何研究这种疾病的适宜传播网络模型仍在不断争论中[9]。研究疾病传播的关键因素之一是社区结构，人们在社区内部的互动更多、感染几率更大，而不是在可以接纳更多感染机会的不同社区。

2 数学建模

首先将总人口N划分为M个社区，每个社区都有Ni个个体，即考虑到社区i，将总个体Ni(t)划分为4个不同的个体子类，包括易感的Si(t)，暴露的Ei(t)，传染性Ii(t)和恢复的Ri(t)个体，如图1所示。

图1 接种疫苗后SEIR流行病动态的传播图

当传染性个体以接触率β将病原体传播到其易感邻居时，就会出现疾病的爆发。在M个社区中，每个可疑个体都可以与来自不同社区的传染性个体接触，接触率不同。因此，多组流行病模型的标准发病率具有以下形式：

社区内部的联系率通常高于社区之间的联系率，我们会得到βii＞βij(i≠j)。对于潜伏期为天病期为天的疾病，暴露个体以转移率ai感染；感染者以转移率ri恢复。考虑疾病的单株传播ai=a,ri=r。参数bi,di,vi分别是自然出生率，死亡率和疫苗接种率。假设所有社区的疫苗接种率相同，则vi=v。因此，我们得到的微分方程组为

在平衡状态下，任何事件中都没有变化率，可以将系统（2）的右侧设置为零，不难看出系统（2）的无病平衡为

其解决方案受影响，特别是

使用下一代方法来推导模型基本再现数R0，得到

如果不接种疫苗vi，则R0的值会变高，这意味着疾病易于扩散。从理论上讲，基本繁殖数的值可以描述流行病学现象。从这个意义上讲，如果R0＞1，该疾病将成为地方病，而如果R0＜1，该疾病将消亡。特别地，如果R0=1，则系统（2）将通过跨临界分支[10]。对于基于网络流行模型，基本复制数由下式定义：

其中＜k＞是平均程度，即每个人的平均联系，显然有Rnet＜R0。

3 网络算法

复杂网络思想已应用于神经网络，疾病传播，生态网络，蛋白质折叠，引文网络等各个领域[11]，因此，要素之间相互作用的传递是关键。在联系网络中，个人由节点表示，节点之间的交互由边缘表示。根据图论，将其写为G=(N,E),其中N={1 ,2,…n}是节点集合，E={e1,e2,…em} 是节点集一组边。同时，存在一个相邻的矩阵指向节点之间的连接，如果{i,j} ∈E则aij=1，反之如果{i,j} ∉E则aij=0。

构建网络的最简单方法是通过画线将节点连接在一起。首先生成多个节点，然后使用接触半径将多个链接加起来以加入这些节点。实际上，人工模拟器即网络模型是通过计算机编程创建的。表1和表2列出了用于生成此类网络的变量和算法。在运行与该算法相对应的计算机程序后，将研究局域网络的程度分布。研究发现直径的较长长度将曲线p(k)向右移动并降低了每个p(k)的峰值。随着平均度数(k)增加到u=1，一个巨大的变量开始出现，伴随着平均度数增加时变得更密。最大接触半径Dmax确定每个节点的相邻数目。也就是说，接触半径的长度越长，分配的邻居数就越多。

表1 网络连接变量描述

表2 网络连接算法步骤

对于具有1,000 个普通节点的本地网络，接触半径Dmax的增加会导致更高的密度，聚类系数，平均路径长度，但效率会降低。通过调整算法，即可以通过设置同时增加确定性邻居的联系概率来构建具有部分连接的网络，称为无标度网络。当时，可以在局域网中添加一些长距离接触来生成小世界网络。时，可以找到所有节点相互连接的同构网络形式。随着直径增加到最短路径长度的值接近0.5，效率值接近1，可以说增加网络直径Dmax使得网络越来越容易可访问。

4 数值模拟

本实验处理的模拟涉及1个N=1，000个普通节点的社会复杂网络，最初是在一个固定Dmax=0.10且连接概率为pc=70%的正方形单位区域中生成的。设置M=15 个社区，并使用遗传算法来拟合最优网络模块化，所有节点被组织成网络模块化的多组结构。此外仅考虑所有社区总和中的每个状态变量，其中X∈{ }S,E,I,R。在模拟中，我们考虑了甲型流感病毒的时间表，平均潜伏期为4天，病期为10 天。因此在仿真中设置参数α=1/4 和γ=1/10 。社区内部和社区之间的传输速率通过βii=2βij进行调整。每次模拟执行100次，然后取平均值，并做出模型参数的灵敏度分析。

4.1 灵敏度分析

首先研究两个参数γ和β对流行网络模型的影响，在开始网络流行病模型的仿真前，设置初始条件 即 (S(0),E(0),I(0),R(0))=(0.995,0,0.005,0) 。5 个结点具有传染性其余995个节点在时间t=0 天易受影响。考虑到传输速率β以及其对流行病的影响如图2所示。在不考虑疫苗接种(γi=0)的副作用的情况下，增加的β值与易感个体的数量成反比，随着β值的增加，接触者和感染者的峰值也在变高，同时，恢复的人数也增加了。此外，考虑疫苗接种水平(γi=0) ，假设所有社区疫苗接种率都相同(γi=γ,i=1,2,…15)。如图3，将疫苗接种水平调整为1%，2%，3%和4%，接触者和感染者数量显着下降。

图2 β 对流行病的影响

图3 γ 对流行病的影响

4.2 疫苗接种水平的比较

使用统计假设检验考虑对应于不同疫苗接种水平的感染病例数。在每个实验中对流行病模型进行100 次模拟后，获得了时间150 天内平均感染病例的时间序列。表3列出了来自5个实验的感染病例的描述性统计数据，从中可以看到，由于疫苗接种水平的提高，感染者的人数减少了。

与此同时，我们开始怀疑每个疫苗接种水平是否会对感染产生重大影响，分别将u1,u2,u3,u4,u5设为接种水平分别为0%，1%，2%，3%和4%的平均感染病例，比较了5 个样本集的平均值，换句话说，需要检查以下假设：

为了检验上述假设，在比较实验的分析中采用了方差分析（ANOVA），并只关注疫苗接种水平差异的实验。根据表3 中的方差分析，得到统计量F=11.257和p值小于0.05，因此，原假设H0被拒绝。从统计学上可以得出结论，不同的疫苗接种水平会导致不同结果。接下来，进一步比较每对疫苗接种水平在显着性水平0.05 时是否相等，如表4 和表5 所示，将不同疫苗接种水平的感染病例的平均值进行比较。使用显着性水平为0.05的多次比较，发现相对于疫苗接种率0%和1%的感染病例数无关。同样，疫苗接种水平为1%和2%也是无关的。此外，疫苗接种水平2%，3%和4%也提供了不同的结果。

表3 5组样本的方差分析检验

表4 均匀子集中的平均值

表5 疫苗接种水平的多重比较

5 结论及未来研究

文章提出了多组SEIR流行病模型，并通过数学推导得出了其基本繁殖数。通过复杂网络来代表社会是非常可行且合理的；随后提出了一种生成联系网络算法，在显着性水平0.05上检查生成的网络的度分布的正态性，发现具有社区的网络流行病模型可以捕获人口网络中的疾病传播。这表明，提出的模型可以直接用于控制疾病传播，尤其是疫苗接种的控制策略；最后使用方差分析F检验和多重比较以显着性水平0.05 检验了不同疫苗接种水平的效果，结果与假设吻合度较高，即更高的传播速度会导致该疾病更具传染性，而更高的疫苗接种水平会大大减少更多的感染个体。

用于研究人类和动物种群疾病传播的复杂网络的丰满的框架在许多方面仍然在数学和计算上具有挑战性，例如流行病网络模型的解析方法，在该领域中使用的网络是加权和未加权的网络，两种类型的网络都可以是静态或动态的。考虑静态的非加权网络，不同类型的网络可能具有相同的度数分布，但是它们显示出不同的流行病传播模式。要研究复杂社交网络上的流行病动态，需要进行蒙特卡洛仿真。