数学也可以很“时髦”

徐芳芳

2019年高考后，一则关于浙江大学近两万名学生抢着报名“高等数学先修课”的新闻火了。浙江大学数学科学学院副院长盛为民介绍，这门课的授课教师都是有着一二十年教学经验的浙大教授。课程平台上还有专门的讨论区供学生提问，老师答疑区的发帖数量已经多达200条，大部分同学提出的问题都收到了回复。

原来，数学也可以很“时髦”！

中国在成为数学强国的路上，“明日之星”的加盟固然重要，学术氛围、国际交流和知识累积的代际传递也至关重要。回忆过往，可以说，盛为民的经历正是过去30年来我国数学科研工作者学术历程的真实写照。

从二维到高维——结缘微分几何

从1994年博士毕业到现在，盛为民已经在浙江大学工作了26年。从数学系讲师，到副教授、教授，再肩负从院长助理到副院长等行政职务，他已经与浙江大学数学系融为一体。而在26年的科学研究中，盛为民也在高阶Yamabe问题、一般预定曲率方程的内部正则性估计、平均曲率流等方面取得了重要成果，论文发表在Duke Math J、JDG等國际权威刊物上。

但说起他的专业选择，还有一个小插曲。1982年，盛为民考取徐州师范学院。因为喜欢物理且成绩优异，高考时盛为民第一志愿填报的是物理，第二志愿才是数学。但是当年江苏高考物理特别难，他的强项没有发挥出来，反而成绩一直稳定的数学取得了更高的分数。入学时，盛为民被数学专业录取了。

没能进入喜欢的专业，盛为民不甘心，好几次提出转系，都没有成功。而后，他却意外发现了几何学科与理论物理非常接近，“就是从两个不同的角度去看同一个问题”。盛为民开始对数学产生了兴趣，并发挥其分析能力、抽象能力、空间想象力的强项，“这个专业与个人优势相关，更符合科研的选择”。

4年后，已经“钻进去”的盛为民喜欢上了微分几何这门学科。当时，杭州大学（后并入浙江大学）的“微分几何”师资实力非常强，于是，他报考了该校研究生，并接着在本校攻读了博士学位，从此开启了微分几何的研究生涯。

“其实，现代微分几何的许多研究工作就在于如何把二维结果推广到高维。例如庞加莱猜想、Yamabe问题、Calabi猜想等，以及为解决这些问题而提出的各种理论。对于给定的一个流形，在上面寻求好的度量时，问题通常化为在这个流形上求解一个偏微分方程，如寻求常数量曲率的Yamabe问题，寻求常Ricci曲率的（Kaehler-）Einstein方程及向量丛上常中曲率的Hermitian-Yang-Mills方程等。”盛为民介绍，微分几何的一个基本问题是研究流形上是否存在好的度量，从而判断出流形具有怎样的几何性质或拓扑结构。一个最经典的结果是二维曲面的单值化定理：任何二维闭曲面都具有典范度量结构，并且任何二维可定向闭曲面都可分解成球面和若干个环面的连通和。这就是二维闭曲面分类定理。

1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的、闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”这就是克雷数学研究所悬赏的7个千禧年大奖难题之一的庞加莱猜想。

简单地说，一个闭的三维流形就是一个无边有界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面。后来，这个猜想被推广至三维以上的空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

盛为民介绍，近40年来，几何分析学家提出了用演化方程（即几何流）的方法来解决相应的问题。而微分几何中的另一类几何流，则是研究黎曼流形中超曲面（或子流形）在某种曲率为速度沿法向方向的形变。

“这里的曲率往往是由超曲面（或子流形）的主曲率（关于某个法向的第二基本形式的特征值）的函数定义。著名的例子有平均曲率流和Gauss曲率流，以及逆平均曲率流等。”盛为民介绍，以欧氏空间的超曲面为例，这些曲率流都是来自自然或工程技术领域。

其实，就像他的研究对象一样，盛为民的学术之路，也经历了从二维到高维的不断进阶的历程。

不断进阶的学术历程

“读硕士的时候，我读了一点流形几何方面的论文之后，写了一篇关于复射影空间中凯勒超曲面的Ogiue猜想的文章，我的导师沈一兵教授觉得可以投稿，后来发表在复旦大学主办的《数学年刊》的英文版上。在他的鼓励下，我继续读了白先生的博士生。”盛为民所说的白先生，就是在射影微分几何、大范围微分几何、黎曼几何等方面颇有建树的白正国教授，他是苏步青先生在老浙大时候的弟子，在他的鼓励下，盛为民在学术上继续钻研深造，也成了他的第四名博士生。沈一兵老师是白先生在20世纪60年代的研究生，“文革”结束后一直协助白先生一起培养研究生。他们共同培养的博士生有36人、硕士生有46人之多。

“当时，我们另一位导师沈一兵教授问我想做哪方面的研究。他问我是跟师兄、师姐一块做调和映射方面的问题，还是做其他的？我考虑师兄师姐在调和映射方向已经做得很好了，想比他们做得更好，需要花很大的力气，所以我挑了一个新的方向。”盛为民回忆，当时沈一兵教授推荐了汉密尔顿在1982年所写的一篇Ricci流的文章。

R i c c i流是以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形。当年，看过汉密尔顿的文章后，丘成桐先生曾说：“可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”

其实，盛为民接触汉密尔顿这篇文章的时候已经是1991年，尽管文章发表于1982年，但其在国内的传播尚不广泛。加之文章中有很多分析上的技巧和方法，而此前主要做流形研究的盛为民用分析的理论很少，尤其是方程方面就更少了。所以，盛为民花了很大力气解读，还有很多地方看不懂。为此，盛为民还邀请了数学系做分析、做方程的专家一起讨论。就这样，30多页的文章，他花了半年的时间终于“啃”下来了。紧接着，盛为民又读了一篇1984年发表的同样是30多页的文章，就这样理论体系和分析方法已经构建起来了。

但这时盛为民有点慌：“如果我按这个思路做下去，在推进解决庞加莱猜想的过程中，很难得到完整的结果。”就在这时，他看到一位德国数学家Huisken用Ricci流的方法研究超曲面，便有了新的灵感：“如果把他的方法用到欧氏空间的超曲面，讨论曲率流的问题，是不是能得到比较完整的结果？”

瞄准了方向，盛为民就一头扎进去演算。博士论文他做的是超曲面的曲率流方面的研究，与偏微分方程密切相关。而此前他的研究方向则是比较纯粹的流形几何。盛为民坦言，博士毕业后的几年时间里，他处于学术上的彷徨期。“我想做这个方面的问题，但好像使不上劲儿。”

伴随着千禧年的钟声，我国数学领域也开启了迅猛的发展阶段。2000年，盛为民到德国基尔大学访问半年，在与国外数学家接触中，盛为民不仅自己斩获了全新的思路，也启发了国外同行Christoph Boehm博士。他们经常在一起讨论Ricci流的最新进展。2006年Boehm与Wilking合作的论文解决了正曲率算子的汉密尔顿猜想，由Wilking在当年的国际数学家大会上作特邀报告。

也是在2000年年底，沈一兵教授带盛为民参加了南开大学的一个学术会议。在那，盛为民遇到了汪徐家，两人交谈片刻便觉相见恨晚。这次相遇，成了他们至今20年友谊与学术合作的缘起，用盛为民的话说——“意义非常重大！”

2001年暑假，盛为民应汪徐家之邀来到澳大利亚国立大学做学术访问。两个月的时间里，他向汪徐家学习偏微分方程的知识。“汪老师说做偏微分方程，特别是椭圆方程、抛物方程，先要做的就是先验估计——假设这个方程是有解的，然后看这个解及其导数应该满足什么条件，通过迭代的方法推出解的高阶导数的性质。”在这种思路启发下，盛为民发现，他所考虑的问题实际上关键是做一个二级导数估计。“我们可以把这个问题转化为一个几何的问题，然后算几何中的曲率量，把这个量控制住了，那么解的二级导数就控制住了。”

运用这个思路，盛为民与汪徐家、Urbas共同合作了一篇文章，发表在《杜克数学杂志》上。

“到现在，他一直是我的老师和朋友。每次他回国都会来找我，而且我们两家人也亲密无间，一起吃饭时也会谈数学，导致我们的夫人、孩子也跟着问——今天又谈了哪个数学家的故事？”盛为民笑道。

其实，盛为民在采访中提起了许多人——他的师长、他的合作伙伴、他的领导和同事……他们共同见证了他学术道路上每一个阶段的成长，也建立起了亦师亦友的情谊。

不断进阶的学术历程中，友情让数学家不再孤单。

“时髦”学科期待“明日之星”

扎根学科多年，盛为民在基础数学，特别是微分几何和几何分析领域，尤其是近年来聚焦具有一定几何或物理背景的微分几何和偏微分方程，包括预定曲率问题、高阶Yamabe问题，以及曲率流问题等，取得了一系列成绩。

盛为民曾先后参加国家自然科学基金多项重点项目、主持国家自然科学基金面上项目。其中包括国家自然科学基金面上项目“与曲率有关的若干几何分析问题”“曲率流及其在微分几何中的应用”，以及浙江省自然科学基金面上项目“曲率流在微分几何中的应用”。此外，他还参加了国家自然科学基金重点项目“流形上的几何与分析”和“流形上的典则结构及在几何拓扑中的应用”。

目前，盛为民正在负责的国家自然科学基金面上项目“几何流及其在凸几何、复几何以及数学广义相对论中的应用”。

“流形上的一类完全非线性偏微分方程”，致力于研究以高阶Yamabe问题为中心的几何中的一类非线性问题，以及它们在几何与物理中的应用。“我们重点研究黎曼几何中带边流形的k-Yamabe问题的存在性和解集的紧性和CR几何中的k-Yamabe问题的解的存在性，共形几何中的预定k-曲率问题，包括紧致无边流形和带边界的Plateau问题，以及完备非紧流形的Bernstein型问题。”

盛为民介绍，他与汪徐家和著名数学家Trudinger合作，完全解决了具有变分结构的高阶Yamabe问题，简称为k-Yamabe问题。特别是完全解决了k=2的情形，以及流形是局部共形平坦的情形，论文发表在《微分几何杂志》（JDG）上。他和汪徐家及他们的学生李奇睿，用几何流的方法研究并解决了欧氏空间中关于预定Gauss曲率测度和预定对偶Gauss曲率测度的凸超曲面的Aleksandrov问题和对偶Minkowski问题。此外，他与他的博士生王坤博也很好地解决了CR流形上CR-Yamabe常数为大于0时在实际三维情形的CR Yamabe流的解的收敛性；在CR-Yamabe常数小于0时，CR Yamabe流的解以指数方式收敛于一个平坦的厄米特度量。

采访中，记者发现，只要谈起数学及这些项目的进展和突破，盛为民就会十分健谈。如今，也肩负着行政工作的他，更加觉得做一个“纯粹的数学家”是多么幸福的一件事。“我覺得做数学挺享受的。现在我也带学生，我非常感谢我的学生，因为他们会给我一些压力——我必须让他们学到东西。这种压力逼着我每个星期都要跟他们讨论一些数学问题，也逼着我不断学习新东西。 ”

盛为民说，虽然做数学看起来很抽象、很纯粹，但实际上数学非常有用，比如用几何分析的方法可以研究人工智能方面的问题。而这些年，数学也越来越成为“时髦”的学科，许多高考成绩优异的“明日之星”选择了这个专业。

“中国成为数学强国是迟早的事情！我们能够把最优秀的学生送到国际上最好的机构，跟随数学大家学成归来，他们将成为中流砥柱；与此同时，保持学术界的开放和学术交流的畅通，都将为我国数学学科的国际化铺路。”

在耳濡目染下，盛为民的儿子也已是一名数学领域的在读博士。盛为民说，现在能令他感到更快乐的事，就是看到自己的儿子和学生取得更大的成就。他们是数学的未来！