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“K型”全等的妙用

2020-11-06时泽亮郑瑞

关键词:高台马里奥直角三角形

时泽亮 郑瑞

在学习完特殊三角形的内容后,老师给我们出了如下一道题!

如图1,在一款名为“超级玛丽”的游戏中,马里奥到达一个高为10 m的高台A,他利用挂在旗杆顶部O的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17 m.高为3m的矮台B,求旗桿的高度OM和马里奥在荡绳过程中的最低点的高度MN.

这个题目的背景生动有趣,并且数学味十足.图1可抽象为图2.最初的思路,已知AC=10 m,CD=17 m,BD=3 m,利用勾股定理不难求出AB的长,继而可以求出OA的长,

思路1:如图3.过点B作BG ⊥AC于G,则A G=7 m,BG=17 m,所以AB=13√2 m.因△AOB为等腰直角三角形,故OA=13√2/√2=13(m).

可是,将五边形ACDBO的每条边长确定后,OM依然扑朔迷离,

虽然凑得了答案,但心里仍有不甘,在惆怅之际,无意中发现自己被最初的想法蒙蔽了双眼,其实,不需要先算OA的长,利用EF=CD.CE=DF就可以解决,

利用简单的二元一次方程组就可以玩转线段间的数量关系,甚为欢喜!忽又忆起老师说过的:“再想想,有没有更好的方法!”便盯着图形思索良久……突然有了电流通遍全身的感觉,I get it!类似“无字证明”,口算即可,没忍住,竟手舞足蹈起来!

思路3:如图4,依然假设AE=OF=xm,OE=BF=ym.由图可得x+y=17,所以CE+DF=x+y+10+3=30 (m),所以CE=15 m,AE=5 m,BF=12 m……

透过神奇的“K型”全等,最后竞有如此简洁的解法!

指导老师点评:遇见等腰直角三角形时,若需要转移线段,往往可以尝试构造“K型”全等,在解决三角形的边角问题时,全等好比一种工具,能帮助我们实现边和角的转化.时同学孜孜不倦,深入思考,最终寻获如此美妙的解法,确实难能可贵!

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