圆锥型径向基函数的配点法及其应用

郭玄玄,王福章,2

(1.淮北师范大学 数学科学学院,安徽 淮北 235000；2.宿迁学院 文理学院,江苏 宿迁 223800 )

0 引言

径向基函数配点法是对应于有限元法发展起来的一种求解微分方程数值解的区域配点型无网格法.该方法数学原理简单,具有容易进行程序实施和高精度数值模拟等优点.径向基函数法仅需利用区域配点信息即可对待求问题进行数值模拟[1-3].由于径向基函数配点法只需要一组区域节点来离散求解问题,直接借助于区域离散点来构造近似函数,因此受到众多学者的青睐,吸引了许多相关领域学者开展了深入的研究.

众所周知,目前对于径向基函数配点法的研究大多集中于Multiquadric(MQ)[4],高斯(Gaussians)[5-6]和Thin plate spline(TPS)[7]三种径向基函数方法.其中高斯型径向基函数和MQ方法由于涉及径向基函数中的参数问题,理论和应用方面的研究最为广泛,TPS方法的研究也比较多.然而关于圆锥型(Cornical type)径向基函数配点法的研究较少报道.据文献所知,Li[8]用圆锥型径向基函数配点法对边值问题反问题进行数值模拟,结果表明：圆锥型径向基函数可以通过已知第一类边界条件和第二类边界条件,非常准确地重构未知边界,且实施过程非常简单.其余相关研究工作鲜见报道.

本研究针对拉普拉斯控制方程边值问题的数学模型,用切比雪夫节点作为数值模拟过程中的配点结合圆锥型径向基函数进行数值模拟.将该方法与传统圆锥型径向基函数配点法和解析解的结果进行了对比研究,分析了基于切比雪夫节点的圆锥型径向基函数法对拉普拉斯控制方程边值问题的数学模型所获数值结果的影响.

1 径向基函数配点法的基本思想

为了简要说明径向基函数配点法的基本思想,本研究考虑如下二维平面区域Ω⊂2上的拉普拉斯微分方程边值问题.

Δu(P)=f(P),P=(x,y)∈Ω;

(1)

(2)

(3)

ΓD∪ΓN=∂Ω,ΓD∩ΓN=φ.

在径向基函数配点法中,本研究用函数

(4)

来近似边值问题(1)—(3)的解u(P)，其中:{Pj}是区域Ω⊂2中的N个不同的节点,{cj}为待定系数,而

(5)

将近似表达式(4)代入边值问题(1)—(3),考虑N个配点(其中M个内点,ND-M个第一类边界点,N-ND个第二类边界点),可得

(6)

(7)

(8)

方程组(6)—(8)可缩写为

Qc=b,

(9)

(10)

求得,对应点处法向的数值解可由上式求法向导数得到.

2 切比雪夫配点法

传统的径向基函数配点法在上述数值模拟过程中配点的选取大部分采用均匀布点(图1).为了提高传统的径向基函数配点法的数值模拟精度,本研究提出了以下切比雪夫配点法,其基本思想是利用定义在开区间(-1,1)上的切比雪夫节点,在切比雪夫节点内增加区间端点-1和1,构成闭区间[-1,1]的计算节点,具体如下(图2):

(11)

图1 传统径向基函数的配点示意图

图2 切比雪夫节点示意图

通过对传统的布点图和切比雪夫节点图进行比较,可以看出,传统布点节点间距相等,而且切比雪夫节点在角点处更密集,在区域中部较为稀疏.

3 算例分析

为了实施方便,本研究考虑问题所满足的齐次定解问题如下：

Δu(x,y)=0 [(x,y)∈Ω],

(12)

(13)

其中Ω=[-1,1]×[-1,1]表示正方形区域.全部边界仅考虑第一类边界条件,该问题解析解为

为了与传统径向基函数方法进行比较,传统方法选取边界配点数N=441,由于切比雪夫节点不是均匀布点,选取近似的边界配点数N=437,计算点数均为1 681个.当m=3时,图3给出了当x=1时传统圆锥形径向基函数配点法所得到的误差剖面图,图3中结果表明在区域边界{(x,y)|x=1,y∈(-1,1)}附近误差较大,而其他点处的误差相对较小,所有计算点处的平均相对误差为Perr=1.53×10-5.

图4给出了当x=1时基于切比雪夫配点法所得到的误差剖面图,图4中结果表明：在区域边界{(x,y)|x=1,y∈(-1,1)}附近所有计算点处的平均相对误差为Perr=3.06×10-6，由此可见，用传统方法所得误差约为使用新方法(基于切比雪夫配点法)所得误差的5倍.

图3 传统圆锥型径向基函数法所得到的误差图

图4 基于切比雪夫配点法所得到的误差图

上述算例表明传统的圆锥型径向基函数方法在有些边界节点附近数值模拟精度较低,然而基于切比雪夫节点的圆锥型径向基函数法在边界处的误差有明显减小,并且它可以改进整体区域上的计算结果的精度.

4 结论

将切比雪夫节点和径向基函数结合用于数值模拟偏微分方程边值问题可以得到令人满意的结果.与传统的圆锥型径向基函数方法相比,基于切比雪夫节点的径向基函数法的优越性在于:计算结果精度高；在边界处的误差有明显减小.尽管本研究仅考虑将切比雪夫节点与圆锥型径向基函数相结合的方法,但该方法可以非常容易推广到其他同类问题之上.本研究表明,基于切比雪夫节点的径向基函数法,对数值模拟偏微分方程边值问题具有较好的效果.本研究的方法可以推广到实际问题的数值模拟中[9-10].