“数形结合”探秘绝对值

2020-11-05文张文珠

初中生世界 2020年37期

文张文珠

著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”对绝对值的探究过程，“数轴”充当了桥梁的作用。绝对值借助数轴来表达，充分体现了数学中“数形结合”的思想精髓。接下来，让我们开始一场绝对值的探秘之旅。

一、整装待发——理解绝对值的几何意义

数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

“数a 的绝对值”记作 ||a ，几何意义为数轴上表示数a的点与原点的距离。

例1如图1，| |-3 的几何意义为数轴上表示-3的点与原点的距离。

图1

二、脚踏实地——探秘任务一：两数差的绝对值

“两数差的绝对值”记作|a - b|（a、b是常数），几何意义为数轴上表示数a 和数b 的两个点之间的距离。

例2如图2，|5- 2| 表示5 与2 的差的绝对值，实际上可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；由计算可得|5- 2|=3；由数轴可得5 与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是3，所以|5- 2 |=3。

图2

如图3，|5+2|即|5-（-2）|，表示5 与-2的差的绝对值，实际上可以理解为5 与-2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离。由计算可得|5+ 2 |=7；由数轴可得5 与-2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是7，所以|5+2|=7。

图3

经验升级：用数学语言表示“两数差的绝对值”，两数之间要用运算符号“-”号连接，若遇到两数之间用“+”号连接，需要转化为“-”号。

三、登高望远——探秘任务二：两距离之和的最小值

“两距离之和”记作|x-a|+|x-b（|x 是未知数，a、b 是常数），可以理解为数轴上表示x 的点（动点）分别与表示a、b 的点（定点）之间的距离之和。

例3求|x+1|+|x-5|的最小值。

【解析】原式写成两数差的绝对值为|x-（-1）|+|x-5 |，可以理解为数轴上表示x的点（动点）分别与表示-1、5 的点（定点）之间的距离之和。因为x 的不确定性，可以利用数轴画出表示-1、5 的两个定点，然后分类讨论如下：

1.表示数x 的点在表示-1 的点左侧，两距离长如图4所示：

图4

2.表示数x 的点在表示-1 和5 的两点之间（包括两点），两距离长如图5所示：

图5

3.表示数x 的点在表示5 的点右侧，两距离长如图6所示：

图6

由图可知，当数轴上表示数x 的点位于表示数-1 和5（包括-1 和5）两点之间时，|x+1 |+|x - 5 |取得最小值，最小值就是表示数-1和5 两点之间的距离（|-1）- 5 |=6（见“探秘任务一”所得结论）。所以|x + 1 |+|x - 5 |的最小值是6。

经验升级：求两距离之和的最小值，首先将原式写成两数差的绝对值；其次理解式子的几何意义，借助数轴画出定点；最后利用数形结合对动点的不同位置分类讨论，得出最短距离和即为所求最小值。

四、手摘星辰——探秘任务三：多个距离之和最小值

“多个距离之和”记作|x - a1|+|x - a2|+…+|x -an（|x 是未知数，a1、a2、……、an是常数），可以理解为数轴上表示x 的点（动点）分别与表示a1、a2、……、an的点（定点）之间的距离之和。

例4求|x - 1 |+|x + 2 |+|x - 3 |的最小值。

【解析】原式写成两数差的绝对值为|x - 1 |+|x -（-2）|+|x - 3 |，可以理解为数轴上表示x的点（动点）分别与表示1、-2、3的点（定点）之间的距离之和。如图7，因为x 的不确定性，可以利用数轴画出表示1、-2、3 的三个定点，然后分类讨论，可得：当x=1 时，|x - 1|+|x + 2 |+|x - 3 |的最小值是5。

图7

例5求|x- 1 |+|x + 2 |+|x - 3 |+|x + 4 |的最小值。

【解析】数形结合分类讨论后，如图8 从数轴上可以看出最小值就是表示数-2和1两点之间的距离与表示数-4和3两点之间的距离之和，记作|-2 - 1 |+|-4 - 3 |=10。所以，当x 在-2 与1 之间（包括-2 和1）时，|x - 1 |+|x + 2 |+|x - 3 |+|x + 4 |的最小值是10。