桁架结构拓扑优化系统软件开发及其在大型天线安装桁架设计中的应用

郝宝新，周志成，曲广吉，李东泽

（1.中国空间技术研究院通信卫星事业部；2.中国空间技术研究院：北京100094）

0 引言

桁架结构具有形式简单、设计灵活、组装方便等诸多优点，可以作为航天器的主承力结构，有效载荷和仪器设备的支撑结构，以及特殊部件的连接结构，在多种类型的航天器上均有广泛应用[1-4]。桁架结构的构型对其承载能力有较大影响，合理的构型设计能够以较小的结构质量实现较高的静/动态刚度，同时满足其他要求。简单桁架结构可选构型有限，其设计方案较易得出；但随着航天器桁架结构应用场景的日益复杂和建造规模的不断扩大，桁架构型设计的难度也逐渐增加。为缩短设计周期、提高设计水平，必须采用一定的优化设计方法和软件工具辅助进行复杂桁架结构的构型设计。结构拓扑优化方法可用于桁架结构的构型设计，分为连续体拓扑优化和离散体拓扑优化2种类型[5]。

航天器结构设计人员通常能熟练运用Patran/Nastran、HyperMesh/OptiStruct、ANSYS等商业CAE软件，且此类软件目前均具备连续体拓扑优化功能，因此一些研究人员尝试直接从连续体拓扑优化结果中提炼桁架构型。顾亦磊等[6]使用连续体拓扑优化方法对某卫星的天线支撑架进行了重新设计，在5种不同工况下得到了基本一致的拓扑构型，并根据拓扑优化结果布置杆件，得到了新的天线支撑架构型。魏鑫等[7]以基频最大化为目标对空间相机主体结构进行连续体拓扑优化，得到了主体结构的最优构型，相比传统设计方法得到的结构，质量减小了41.2%。苏若斌等[8]使用一种多级优化设计方法对某大型天线安装桁架进行了协同优化设计，在确定桁架空间构型时使用了基于OptiStruct 软件的连续体拓扑优化方法。李修峰等[9]提出一种面向增材制造的桁架式支架结构设计方法，应用连续体拓扑优化方法寻找最佳传力路径，并据此抽象出对应的桁架构型，然后进行尺寸优化和几何重构。戴一范等[10]基于连续体拓扑优化方法对某空间设备的桁架式支撑结构进行了构型设计，按照沿桁架材料分布形式和力传递路径布置杆件的原则得到初步桁架构型，然后根据工程要求增加必要的节点和杆件，并分组进行了杆件尺寸优化。由于软件工具的便利性，基于连续体拓扑优化的构型设计方法在航天器桁架结构设计中得到较多应用，但其优化结果仅面向结构材料的空间分布，与实际桁架结构在承载方式和空间构型等方面均存在较大差别，因此常常存在构型提炼困难、桁架化后结构特性变化大等问题。

相比而言，离散体拓扑优化直接对杆件进行处理，更加适用于桁架结构的构型设计。少量的工程应用研究表明，离散体拓扑优化是进行桁架构型设计的一种有效手段。李东泽等[11]对带有附加结构的卫星主桁架进行了离散体拓扑优化设计，在刚度和基频约束下最小化结构质量，得到了质量仅为原设计质量61%的桁架构型。张铁亮等[12]交替采用代理模型方法和人机交互方式进行桁架拓扑优化，针对多目标问题，筛选后的设计方案相比初始方案减重29.7%。郝宝新等[13]将一种连续体–离散体两级拓扑优化策略应用于大型航天器桁架式主承力结构的构型设计，得到了满足设计要求的桁架构型。可见，离散体拓扑优化可单独应用，也可用于对连续体拓扑优化得到的构型进行修正。目前，关于离散体拓扑优化已有大量理论研究[14-17]，但通常仅以简单桁架算例进行理论方法正确性的验证，应用于工程桁架构型设计的代表性实例极少。其中，软件工具的缺失是限制离散体拓扑优化技术工程应用的重要因素之一。

本文基于上述情况，以MatLab编程语言及其图形用户界面（graphicaluserinterfaces,GUI）为平台设计开发了桁架结构拓扑优化系统（TODOSST,topology design optimization system for structure with truss），对桁架结构拓扑优化的半定规划建模和求解方法进行功能实现，并将该软件工具实际应用于航天器大型复杂桁架结构的构型优化设计。

1 桁架拓扑优化数学模型

目前桁架结构拓扑优化通常使用基结构法，通过将密集基结构中的多余杆件删除达到拓扑变更的目的，优化所得拓扑是基结构拓扑的一个子集。拓扑变更的描述可基于尺寸变量，若优化后某杆件横截面积小于某给定值，即认为该杆可被删除；也可基于0-1拓扑变量，若优化后拓扑变量取0，则该杆被删除，否则保留。本文基于尺寸变量进行桁架结构拓扑优化。

1.1 半定规划模型

桁架优化过程中需考虑多种结构特性要求，这些特性通常是设计变量的高度非线性函数。传统优化模型直接处理这些特性函数，存在优化问题非凸、多重特征值灵敏度分析困难等问题。为此，本文使用基于半定规划理论的桁架拓扑优化模型和算法，其与传统模型最大的区别是将设计约束不等式和特性参数计算方程等价为矩阵半定的形式，详细等价关系可参考文献[18]。以柔度最小化模型为例，考虑柔度、体积、基频和全局稳定性约束的桁架拓扑优化模型可表述为

式中：τ为中间变量，表示柔度上限，min 表示取最小；t=[t1, ···,tm]T为设计变量，ti为第i杆的体积；m为桁架中的杆件总数。“s.t.”后面的表达式均为约束条件：第1式为柔度约束，其中f为外载荷矢量，K为结构刚度矩阵，M⪰O表示矩阵M半定，O代表全零矩阵；第2式为基频约束，其中Ms为结构相关质量矩阵，M0为非结构质量矩阵， λ为与结构基频下限对应的特征值下限；第3式为全局稳定性约束，其中KG为桁架结构的几何刚度矩阵，f0为载荷模式，λG为全局稳定性约束要求的临界屈曲载荷系数下限；第4式为体积约束，其中V为许用体积上限；第5式为变量非负约束，其中diag{t}表示以t中各元素为对角线元素的对角矩阵。

1.2 优化模型库

优化模型库是指TODOSST 能够求解的优化问题集合，包含不同结构特性作为目标或约束函数的多种组合情况，每种组合称为一个线程。表1给出了TODOSST 能够求解的优化模型库及不同线程的特点。

表1 TODOSST 的优化模型库Table1 Optimization model base embedded in the TODOSST

优化模型库具有如下特点：

1）柔度或体积作目标时进行最小化，作约束时小于给定上限；基频或临界屈曲载荷系数作目标时进行最大化，作约束时大于给定下限。

2）模型库中的所有线程均包含变量V，与C、E、B相关的目标或约束均倾向于使V增大；当线程中不包含变量V时，优化变量一般将趋于无穷大，优化问题没有工程意义。

3）以体积最小化为目标的线程V-XXX，通常可通过增大设计变量来使所有约束得到满足，因此这类线程总是有解。

4）对于线程V-E 和E-V，当非结构质量阵M0=O时，杆件尺寸等比例缩放不改变结构基频，因此问题无解。

5）存在2个或以上约束条件时，应合理选取约束值使问题可行域非空，否则问题无解。

6）除柔度、体积、基频和全局稳定性等全局约束外，模型库中的所有线程均可附加应力和位移等局部约束，此时优化模型均为非线性优化问题。

优化模型库中，静力学优化线程和以基频为约束的动力学优化线程均可表述为标准形式的线性半定规划问题，可使用SeDuMi[19]、SDPT3[20]等线性半定规划求解器进行求解；其他优化线程包含优化变量的乘积项或矩阵求逆项，均为非线性半定规划问题，可通过序列线性化方法进行迭代求解，详见文献[18]。

2 桁架拓扑优化程序实现

2.1 软件框架设计

参考大多数商业CAE 软件的操作流程和主要功能，软件主要由输入文件、前处理、结构分析、优化求解和后处理5个模块组成，依次完成桁架结构有限元建模、分析及优化等功能。软件框架如图1所示。

图1 TODOSST软件框架Fig.1Framework of the TODOSST software

2.2 主要功能模块

1）输入文件模块

输入文件是包含桁架结构有限元信息及部分优化设定的文件，可人工编辑生成，也可采用交互或转化的方式得到。TODOSST的输入文件为.txt文本文件，其内容类似Nastran 输入文件的标准卡片格式，便于结构工程师理解和操作。典型的输入文件包含如下信息和数据段。

节点坐标信息：包含节点编号和节点在三维空间中的坐标值；

杆件拓扑信息：包含杆件编号、杆件属性编号和杆件的首尾节点编号；

杆件属性信息：包含属性编号、材料编号、杆件直径初始值及其上下限；

杆件材料信息：包含材料编号、弹性模量、泊松比和密度；

工况设置信息：包含载荷工况总数、不同工况下各自由度承载的载荷数值；

边界约束信息：包含被约束的自由度编号，承载时这些自由度上不发生位移；

非设计杆件信息：可选数据段，包含优化过程中横截面积保持不变的杆件的编号集合；

变量分组信息：可选数据段，包含分组编号及各组内所含的杆件编号，同组杆件的横截面积保持一致；

应力约束信息：可选数据段，包含杆件的许用应力上下限，可统一定义也可各杆分别定义；

位移约束信息：可选数据段，包含承载时指定节点的许用位移上下限，定义为无穷大时表示无约束。

2）前处理模块

该模块的主要功能包括桁架结构辅助建模、输入文件的载入以及加速度和非结构质量的定义。面板区显示节点、杆件、自由度的数量，并可控制杆件和节点编号的显/隐。图形显示区呈现桁架构型、边界条件和载荷条件等信息。

3）结构分析模块

该模块的主要功能是对桁架结构进行有限元分析，包括静力学分析（含几何稳定性分析[21]）、动力学分析和全局稳定性分析，同时具备分析报告生成、分析结果显示和图片自动输出功能。优化前进行结构分析可以获取初始桁架的主要结构特性，为优化问题中约束值的设定提供参考；对优化后的拓扑进行结构分析可以对优化效果进行评估和验证。结构分析过程同时完成了桁架结构特征矩阵的提取和拆分，为优化模型的自动生成做好准备。

4）优化求解模块

该模块的功能主要包括优化问题类型选择、优化目标选择、优化约束选择和设定、求解器选择等。通过在优化求解面板中进行点选，可确定优化将要执行的线程；数据输入框中设定的数值为对应结构特性的上下限，可根据设计要求并参考初始分析结果进行合理取值；选择求解器后即可开始优化计算。点击优化按钮后TODOSST 将自动进入优化模型库的对应线程，根据优化类型对桁架结构特征矩阵进行组装以形成半定优化的标准数学模型，然后调用相应求解器进行求解。对非线性半定规划问题，程序将自动弹出迭代参数设置对话框以供设定最大迭代次数和收敛条件等参数。

5）后处理模块

该模块主要用于优化结果中细杆的过滤和最优拓扑的显示，同时自动完成优化结果的分析、优化报告的生成和高分辨率图片的输出。对基于尺寸优化的桁架拓扑优化技术，优化后对过细杆件进行滤除是一项必要环节。在后处理面板中将过滤阈值设置为x，表示将杆件横截面积小于优化结果中最大横截面积x%的杆件删除。设计师可根据经验并结合结构重分析（尤其是几何稳定性分析）进行过滤阈值的合理设置。图2显示了某10杆桁架的基结构、优化结果和细杆过滤后得到的最优拓扑。

图2 10 杆桁架算例Fig.2 The example of a 10-bar truss

6）其他辅助功能

为增加软件的实用性和易用性，以界面按钮、独立小程序等形式增加了一些辅助功能，包括桁架结构的特性信息显示、绘图区图像的高分辨率输出、输入文档的快速打开以及优化结果中杆件的排序和分组等。某48杆桁架的拓扑优化结果中各杆横截面积从高到低的分布情况如图3所示。使用分组工具可将其自动分为6组，各组之间的分界如图中红色粗斜线所示。可以看到，横截面积相差较大的杆件被分在了不同组，而同一组杆件的横截面积均比较接近。分组信息可直接放入输入文档的变量分组数据段以便后续处理。

图3 某48杆桁架优化结果中杆件横截面积分布Fig.3Cross-section area distribution of the optimization result of a 48-bar truss

3 大型天线安装桁架设计实例

卫星大型可展开天线的安装桁架是一种典型的航天器桁架结构，用于将大型天线及其馈源阵基板与卫星本体进行连接。在发射阶段，安装桁架为收拢状态的天线和馈源阵基板提供固定点；在轨展开后，安装桁架与卫星本体一起保持馈源阵和天线反射面之间的相对位形，如图4[8]所示。该安装桁架连接节点众多、构型复杂，使用传统方法进行构型设计难度极大。苏若斌等[8]基于连续体拓扑优化得到了安装桁架的基本构型（见图5[8]），然后对其进行尺寸优化和材料铺层优化。后续研究表明，该构型虽然满足大部分设计要求，但由于几何稳定性不足等原因，桁架存在承载薄弱环节，部分节点处弯矩过大，接头位置易出现破坏，因此有必要对其基本构型进行改进设计。

图4 大型天线安装桁架工作状态[8]Fig.4Sketchof theworkingstateforthemountingtrussof large-scale antenna[8]

图5 基于连续体拓扑优化得到的天线安装桁架基本构型[8]Fig.5Basicconfiguration of mounting truss based on topology optimization of continuum structure[8]

3.1 构型优化设计

以图5所示基本构型为基础，在设计区域内添加若干节点并尽可能多地在节点间连接杆件（注意不能与其他结构出现干涉），形成如图6(a)所示的272杆桁架基结构；利用TODOSST软件对基结构进行建模，施加底部固支边界条件和多工况过载条件，在柔度、基频和全局稳定性约束下进行体积最小化优化，得到的拓扑优化结果如图6(b)所示。

图6 天线安装桁架基结构及其TODOSST拓扑优化结果Fig.6Ground structure and topology optimization result of the mounting truss by TODOSST

3.2 优化结果后处理

拓扑优化结果中包含大量细杆且各杆横截面积均取不同数值，加工制造和装配存在较大难度，不便于实际工程应用，需对优化结果进行后处理。基于TODOSST 的后处理过程包括细杆过滤、杆件分组和参数优化等步骤。综合考虑杆件横截面积分布和过滤后拓扑的几何稳定性，将图6(b)所示优化结果中横截面积小于最大值2.2%的细杆滤除，并根据经验增加少量杆件进行局部补强；然后在柔度、基频和全局稳定性约束下对剩余杆件进行分组参数优化，最小化结构体积，每组杆件的横截面积在优化过程中保持一致。试算发现，将杆件分为7组时，杆件横截面尺寸规格不会过多，同时结构质量相比原设计显著减小。此方案下各组杆件的横截面积及其对应的实心圆杆的截面直径见表2。

表2 7组杆件的横截面积Table2 Cross-sectional areas of the rodsin theseven groups

基于图5所示基本构型进行细化建模，增加杆件横截面特性及杆件接头等详细信息，得到天线安装桁架的原始设计方案，如图7(a)所示；在图6(b)基础上使用TODOSST 软件进行后处理，得到安装桁架的优化构型方案，如图7(b)所示。

图7 天线安装桁架原始设计与拓扑优化构型方案对比Fig.7Trussconfigurationsintheoriginalschemeandin the optimized scheme

3.3 构型方案特性对比

在使用TODOSST软件进行桁架构型优化过程中，细杆过滤时考虑了桁架构型的几何稳定性，消除了桁架承载的薄弱环节，将所有杆件分为7组并进行了参数优化，使构型设计和结构材料分布均较原始设计方案更加合理，虽然在节点和杆件数量上有一定增加，但其结构质量减小了20.9%，安装桁架与天线、馈源组合体的基频提高了24.4%，在航天器发射阶段的过载工况下安装桁架的最大内部节点弯矩下降了24.4%、最大变形量下降了61.6%，具体数据见表3。数据对比表明，基于TODOSST软件的优化设计方案结构质量明显减小，安装桁架与天线、馈源组合体的静/动态刚度显著提高，内部杆件接头的弯矩水平显著下降，构型优化结果对实际工程结构设计具有重要参考价值。

表3 原始设计方案与优化设计方案特性对比Table3 Comparison of properties between the original schemeand the optimized scheme

4 结束语

结构优化软件是工程师进行结构设计的重要工具。本文基于半定规划模型和算法，在MatLab中实现了桁架结构拓扑优化系统（TODOSST）的框架设计和功能模块开发，为复杂桁架结构的构型设计提供了有力工具；在大型天线安装桁架构型设计中的应用也表明了TODOSST 软件的实用性和有效性。

以目前的软件发展水平，优化结果虽然在多数情况下并不能直接进行工程应用，但可将工程师从繁复的建模求解工作中解放出来，大大提高了设计效率；另外，对复杂结构的优化结果往往有别于直觉设计，这能在很大程度上激发工程师的创造性思维，启发他们提出更好的设计方案。因此，对于结构优化设计问题，在充分利用商业软件的同时，也应当充分重视满足工程需求的软件工具的开发和完善，以加快理论研究成果的工程化应用，提高我国航天器设计水平。