数形结合重设计，学力提升增效益

李佳

摘要：为有效提升学生的数学学习质量，促进学生尽早形成发展性学习思路，教师可尝试以形辅数，引导学生进行整体性学习，以数助形，助力学生进行实践性学习，让学生自觉地从知识结构化、整体化视角出发，利用数形结合，更清晰地去解决数学问题，最终养成数形结合的思维模式。

关键词：数形结合;整体性;实践性;发展性

浙教版七上教材教学建议中明确指出，借助数轴让学生经历有理数乘法法则的发生过程。由此，笔者从七上“2.3.1有理数的乘法”有效情境的创设中得出思考：（1）结合学生小学所学“数的乘法”，不难得出3×2=3+3=6，继而利用数轴得出“乘法就是求相同数的和”这一结论：

（2）通过3×2=6可以推理出（-3）×2=（-3）+（-3）=-6，

在数轴上应表示为：                                                               ，

数扩充到有理数后，一方面，（-3）×2可以看成是两个-3的和;另一方面，单从负号表示的意思来看，它就是3×2这个整体数式的相反数。（3）启发学生通过比较3×2=6与（-3）×2=-6两式，尤其需要注意左边乘数符号的变化引起右边结果的变化，从而悟出“改变相乘两数中一个乘数的符号时，其积就变为原来的相反数”。（4）在（3）的结论下，通过比较3×（-2）与3×2两式，猜想它们的结果有怎样的关系。（5）最后在（3）（4）的基础上，学生通过比较得出

（-3）×（-2）与3×（-2）两式结果之间的关系，从而归纳出乘法法则。这就是借助数轴，让学生理解原来基础上数的负号即为原数方向的反方向，让学生考量数轴的实际意义，正确认识“正负”即表示一对意义相反的量。

一、“数轴”概念的引入

众所周知，数扩充到有理数后，二者最大的区别就是出现了负数，而诠释负数最好的工具是数轴。数轴在规定了原点和正方向以后，就对数做了定性的分类，原点右边的数为正数，原点左边的数为负数，这正是进一步学习不等式边界值取值范围题型中经常用到的“简易数轴”。在给数轴定性的基础上，我们同时进行定量的学习，再给数轴加上第三要素——单位长度，数轴的三要素就齐了。数轴由无数个点组成，对于每一个有理数，在数轴上都能找到唯一确定的点和它一一对应，而有理数的学习，可以通过它们在数轴上点的位置来刻画（实数亦是如此），由此，学生对抽象知识的学习有了形的直观，并且力求让学生在知识的理解、掌握和运用上时刻不忘它的形（数轴上的点），具象化相关数学问题，以数形结合的方式更好地理解所学知识。另外，数轴也是检验学生是否真正理解、掌握相关数学知识的一个有效手段。

除简易数轴外，直角坐标系更是实现数形结合的有效途径。笛卡尔发明的直角坐标系是经纬网确定物体位置局部的一个缩影，能有效提高将图形量化的可能性，将图形和数对有机结合起来，成功实现从一维到二维的转变。直角坐标系里的每个点都对应一个数对 ，这极其有利于学生数形思维的形成。其实，无论是数轴上点与数的对应，还是直角坐标系里点与数对的对应，都是数形结合的有机体现。

二、整体观念的思考

筆者从运算之间的联系进行思考，发现加、减、乘、除、乘方、开方之间的关系非常紧密，可以说每种运算里都有加法的影子，其中乘法是相同加数的和，可以把它看作特殊的加法。一旦认识到乘法其实是加法的简便计算，在有理数乘法运算法则的学习过程中，学生已经借助数轴成功得出“两个正数相乘就是求两个对应相同正数和”的结论，继而从“负号”所表示的实际意义即为“相反”出发，让学生领悟“-3”中的负号仅表示“下降”的意思，即为向数轴原点的左边移动。同时，让学生借助生活中具有相反意义的量，如“向右和向左”“盈利和亏损”“收入和支出”等来理解负数，明确一旦规定正方向，负数就出现了。

从初一“数的认识”开始，无论是“有理数”“有理数的运算”乃至“实数”，每节课的学习里面都有一个共同的载体，那就是数轴。像相反数、绝对值的概念，里面都有数轴的影子。

数轴规定往右为正，往左为负，这样分类讨论的思想也就有了。对于学生来说，分类讨论并不陌生。比如，小学典型的分类讨论：分母相同，比分子;分子相同，比分母。再如，“绝对值等于5的数”，绝对值是一个正数，答案有2个;绝对值等于0，答案有1个;绝对值等于负数，无解。这与将在之后学习中遇到的“平方根”“一元二次方程”“二次函数图象与x轴交点个数”颇为类似，“2个解”“1个解”“无解”的结论充分促进学生理解数与数量的关系，提升运算结果分析、类比、归纳等方面的能力，培养学生的数感。另外，数轴上的任意一对相反数，距离原点两侧均匀分布，用对称的眼光来看，每一对相反数都关于原点对称，这也十分有助于培养学生的数形思维。

三、以形辅数，引导学生整体性学习

例：已知二次函数y=x2-2x-3

（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象;

（2）自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少？并求出函数的最大值或最小值;

（3）已知（-2，y1），（1，y2），（     ，y3）是抛物线y=x2-2x-3上的点，试比较y1，y2，y3的大小;（图象法解二次函数）

（4）根据y=x2-2x-3图象，求出一元二次方程x2-2x-3=0的解;

（5）若一元二次方程x2-2x-3=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围;（函数中的方程问题）

（6）结合二次函数y=x2-2x-3图象，说出关于x的不等式x2-2x-3>0的解;（函数中的不等式问题）

（7）根据图象，求关于x的不等式x2-2x>x的解。（两个函数间的位置关系）

从以上例题不难得出，在整个解题过程中，由数到代数的演变是一个难点，学生往往很难理解式中字母所代表的一般意义以及字母系数与未知数之间的站位。其实，一个未知数已经涉及方程的学习，涵盖两个未知数（变量）就是函数的学习了，这是一个量变的过程，并不是一蹴而就的。当然，无论是方程还是函数，它们之间相互联系、相辅相成。其中，代数问题图化法，往往能使抽象问题具象化，实现数学的直观想象，使复杂问题变得简单，从而达到事半功倍的效果。

数学学习中的推理建模是一件很有意思的事情，培养学生用数学的眼光看问题，把生活问题数学化、数学问题函数化，让函数法成为通式、通法。正所谓“数少形时少直观，形少数时难入微，数形结合实在妙，数学问题难变易”，数“形”的学习，外延至“型”的讨论，让学生充分了解数学模型是数学学习应用过程中，根据预判选定的解决数学问题的知识和方法，这也就是通常我们常说的建模。

本文以数轴展开讨论，结合课堂教学实例，一方面，展示数形结合这一重要的数学思维，利用数轴帮助学生更好地理解正负数的抽象意义，掌握数的扩充，以便围绕数轴，得到算理、算法;另一方面，数轴规定向右为正，运用“往右为正，往左为负”这一准则，引导学生进行归纳，迁移得出另一重要数学思想——分类讨论，使学生养成多角度思考问题的习惯。数学学习本身就是一个寻找联系、建立关系的过程，数形结合针对空间形式及数量关系之间的关系进行探究，使代数问题几何化、图形问题代数化得到了实现，促使学生进一步学会用数学知识解决生活中的实际问题，从生活中发现数学问题、提出问题，继而将自己所学的数学知识运用于问题的解决，提高学生的数学综合应用能力。

参考文献：

吴波.以形建数，培养数感[J].湖北教育（教育教学版），2020（09）.

（责任编辑：韩晓洁）