把握模型本质与联系的数学建模教学——以“实验6：滚动的圆”教学为例

潘建明

数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际问题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题进行深入细致的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为“数学建模”（Mathematical Modeling）。数学建模为学生提供了学习和探究的新载体，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强数学知识的应用意识；同时也有助于激发学生数学学习和探究的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。在初中数学教学过程中，要真正让学生对数学建模思想有所感悟，需要经历一个长期的过程，我们应该根据学生的年龄特征和不同年级的要求，循序渐进，逐步渗透，有效培养学生的建模意识和建模能力。在这一过程中，让学生从相对简单到相对复杂、相对具体到相对抽象，逐步积累经验，逐步形成运用模型思想去进行数学思维的习惯。本教学内容是学完苏科版九年级上册第二章“对称图形——圆”后，结合苏科版九年级《数学实验手册》（实验6：滚动的圆）对多边形周长和圆的弧长等相关知识的综合应用。这是笔者面向常州大市范围内开的一节公开课，请各位同行批评指正。

一、把握模型本质

1.情境导入。

问题：如图1，已知一个半径为2cm 的圆⊙O，在△ABC 的外部沿三角形的边滚动（无滑动）一周，其中AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，求：当⊙O 滚动结束时，⊙O 的圆心O 所运动的路径的长度。

师：我们已经学完了第二章“对称图形——圆”，今天我们来研究数学实验手册的“实验6：滚动的圆”，同学们先看老师给出的问题。

师：有答案的同学请举手。（没有学生举手）你们为什么不举手？

生1：这个问题很有趣，但圆在三角形边上滚动，它的规律我还未发现，所以没举手。

生2：我做出了一个答案，但不敢确定，所以没有举手。

生3：我看到它是中考模拟题，心理压力很大，思维有点“短路”。

师：看来这个问题对同学们的挑战还是比较大的，下面我们先来从简单的问题探究开始。

【教学意图】关注对“未举手”的提问，因为借班上课是为了进一步了解学情，了解学生的思维“断点”和学习心理；开门见山地将这个问题让学生先思考一下，让学生明白对此类问题探究的重要性和必要性；也为本节课的前后呼应设置一个悬念。

2.自觉体悟。

问题探究1：如图2，半径为r的圆沿着直线无滑动地滚动一圈，圆心所移动的路径是怎样的图形？圆心所经过的路径的长度是多少？

师：对问题探究1有结果的请举手。

生4：这个问题在小学时就已经探究过了。如图3，在探究中我发现，在运动过程中圆上的每个点都紧紧贴在直线上所走过的线段长，与滚动前后的圆心距刚好是矩形的一组对边，因此可以判断，圆心所运动的路径是一条线段，圆心所经过的路径的长度是这个圆的周长为2πr。

问题探究2：如图4，半径为r的圆的滚动路径为：两条总长度为m的直线段组成，其夹角为α，请试着画出圆心运动的路径图形，求其圆心运动的路径长度。

师：你们在这个问题的探究中，其认知难点在哪里？

生5：圆滚到点C后会怎么滚的问题。

师：好的，针对这个认知难点，请同学们拿出准备好的硬币先进行自主实验和思考，再在小组内相互交流。（学生操作、交流，教师巡学指导）

师：哪一个小组来展示你们的学习成果？

生6：我们研究发现圆滚到点C后圆心会绕点C旋转后再滚动，所以……

师（示意暂停，教师动画演示，如下页图5）：对这个问题的理解，大家有没有问题？

生：没问题！

生6：所以圆心运动的路径是两条线段长加上一段圆弧长，两条线段长度之和为m。

师：那这段圆弧长是哪条弧的长度？

【教学意图】教学要让学生明白认知难点在哪里，这样的探究才会有的放矢；通过独立探究和小组交流，帮助中低学力的学生理解和掌握；这个环节揭示了算法模型的实质，一定要让全体学生彻底理解和掌握。

问题探究3：如图6，将一个半径为r的圆在一个周长为m 的n 边形上滚动（外部），请试着画出圆心运动的路径图形，求其圆心运动的路径长度。

师：现在我们来看问题探究3，这个问题与探究2有什么联系？

生7：问题探究2 只是问题探究3 的每个内角处发生的情境。

师：很好！下面给5 分钟时间，请每个同学先独立探究，再小组交流。

师：现在哪个小组来展示你们的合作成果？

则当半径为r的圆在一个周长为m的n边形上滚动（外部）时，其圆心移动的路径长度m+2πr。

师：大家听明白了吗？还有哪个小组有不同的想法吗？

生9：我们小组和他们小组在解题思路上大体相同，但我们没有假设每一个外角的度数，我们是这样做的，由问题探究2 可知，∠ABC+∠DBE=180°，可得：∠DBE=180°-∠ABC，所有的内角处都存在这样的情况，所以所有弧的圆心角之和为n·180°-（∠ABC+∠BCD+…+∠HAB）=n·180°-（n-2）·180°=360°。

【教学意图】为了突破学生的认知难点，教师指出了问题探究2和问题探究3的联系，便于学生进行认知迁移；学生中有不同的思路，应让他们进行展示，促进学生建立关系性理解。

3.模型提炼。

（1）算法模型：如图6，将一个半径为r 的圆在一个周长为m 的n 边形上（外侧）滚动，则其圆心运动的路径长度m+2πr。

（2）模型验证：当半径为r 的动圆沿着四边形的外围无滑动地滚动时，请验证动圆的圆心沿四边形运动的路径之和为：L=C四边形+C圆周。

语言表述：一个圆在一个多边形上（外侧）滚动（无滑动），则其圆心移动的路径长度是多边形与这个圆的周长之和。

二、建立模型联系

1.验模改模。

（1）完成导入情境中所提出的问题。

（2）如图7，在矩形ABCD 中，AB=6cm，BC=4cm，有一个半径为1cm 的圆在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，则圆心所运动的路径长度是（ ）。

A.20cm B.（20+2π）cm

C.（20-2π）cm D.以上都不对

学生的完成情况都很好，过程略。

【教学意图】圆在矩形内滚动就不能用所提炼的算法模型，但能促进学生对所提炼的算法模型适用前提的理解，让学生学会辨模、改模和重新建模。

2.变式应用。

（1）取两枚同样大小的硬币，设半径均为r，固定其中一枚，将另一枚硬币绕其边缘滚动一周，那么它所滚动的路径是什么图形？其圆心运动的路径长度是多少呢？

（2）如图8，有两个大小不同的⊙A 和⊙O，⊙A 的半径为R，圆⊙O 半径均为r，固定⊙A，将小圆绕其边缘（外侧）滚动一周（无滑动），那么小圆的圆心所运动的路径是什么样的图形？其圆心运动的路径长度是多少呢？

（3）圆在多边形的边上（外侧）滚动与小圆在大圆的圆周（外侧）滚动有什么联系？试说出你的猜想。

师：刚才我们讨论了圆在多边形的边上（外侧）滚动，现在我们讨论圆在圆周上（外侧）滚动，大家先看问题（1），拿出硬币先操作再交流。

生10：这个问题不复杂，如图9，因为两个硬币是等圆，所以动圆的圆心所运动的路径是一个半径为2 r 的大圆，故圆心运动的路径长度是4πr。

师：问题（2）的解决思路，谁来说一下？

生11：从如图8中可以看出，动圆的圆心所运动的路径是一个定圆的圆心为圆心，半径为（R+r）的圆，故圆心运动的路径长度是2π（R+r）。

师：我们将2π（R+r）展开以后是什么结果？

生11：是2πR+2πr，是这两个圆的周长之和。

师：我们回头来看一下，我们所提炼的算法模型中的结论是什么？

生11：一个圆在一个多边形上（外侧）滚动（无滑动），则其圆心移动的路径长度是多边形与这个圆的周长之和。

师：有什么想法？

生11（豁然开朗）：可以将这两个算法模型统一起来：一个圆在一个多边形上（或圆）的（外侧）滚动（无滑动），则其圆心运动的路径长度是多边形与这个圆（或两圆）的周长之和。

师：事实上，如图10，当动圆沿四边形四边外侧滚动时，其圆心运动的路径之和为：L=C四边形+C圆周，而有了这个发现之后，我们按同样的推理方式不难得出在五边形、六边形以至n边形中都有着惊人的相似，所以有当动圆沿n边形外围滚动一周时，其圆心运动的路径长为L=Cn边形+C圆周。

当多边形的边数逐渐增多时，多边形渐渐失去了棱角，当边数趋近于无穷大时，多边形就会变成一个圆，那么动圆的圆心运动的路径长度应该为：L=C定圆+C动圆。

生11：真奇妙，原来“直”和“曲”是可以统一的！

【教学意图】这里的学习活动基于对模型基础背景的变式，能够拓宽学生的视野。圆在另一个圆周上滚动是中考经常考的，也是需要研究的问题。通过建立起从“直”到“曲”的联系，不仅完善了学生的结构化认知，还促进了学生对模型之间的关系性理解。

数学建模思想的形成是一个复杂的系统工程，它是对数学知识、能力、策略等不断进行组织和再组织的过程。数学教学的目的是为了发展学生的思维能力，而思维能力的提升是不可以直接传授的，需要学生在学习的过程中不断地体验、领悟、感悟和顿悟。在本节课中笔者让学生经历模型分析、模型提炼、验模辨模、变式联系等核心过程，而不是一般的把学习时间还给学生，仅仅让学生形式上得到自主、表面化合作和进行没有价值的“伪探究”，以此引领他们走向数学学习的核心，使他们真正成为学习的主人，体现了数学教育价值的追求：带着知识走向学生不过是授人以鱼，带着学生走向知识才是授人以渔，这样的教学才会有生命力。