基于Matlab GUI 的李萨如图形实现方法的研究∗

宋 璐 卫亚博 冯艳平

（1.陕西中医药大学医学技术学院 咸阳 712046）（2.平顶山学院 平顶山 467000）（3.郑州职业技术学院 郑州 450121）

1 引言

振动的合成，由于是研究声波、光波和电磁波合成的基础，所以它是大学物理教学中一个非常重要的内容。而两个相互垂直的简谐振动在合成的时候，振动结果是两个分振动的叠加，在不同情况下形成各种各样的李萨如图形，所以其合成的过程比一维振动复杂的多［1～3］。在传统课堂教学中，由于合成的图形较为抽象，学生很难理解李萨如图形的合成过程，需要进行随堂演示。在各种实现李萨如图形的方法中，使用最为广泛的就是利用示波器，但是对于传统的示波器来说，不仅受到显示原理的限制，很难观测到初相位变化时的李萨如图形，而且由于体积较大，非常不便于携带，所以使用起来有一定的局限性［4］。文献［5］给出了一种使用AVR 单片机实现的李萨如图形合成器的方法，合成效果良好，但是由于仪器本身的限制，不便于教师和学生随时随地的使用。文献［2］给出了一种使用Matlab程序法实现的李萨如图形合成方法，但由于对编程基础有一定的要求，所以也无法推广到没有任何编程经验的学生中去。

为此，设计了基于GUI 的Matlab 程序，不仅能够实现各种李萨如图形的仿真，用户还可根据需要任意修改参数，使系统的可操作性大大提高，除此之外，基于Matlab 程序的可移植性，可以将设计好的程序在任何一个计算机中运行，可供用户随时随地的使用，有助于提高学生对李萨如图形的理解。

2 李萨如图的形成原理

李萨如图是由两个相互垂直的简谐振动所合成的，形状取决于两个简谐振动频率和初相位之间的关系。一般情况下，合振动的轨迹不能形成稳定的图案，但若两个分振动频率成整数比，则合成振动的轨迹就为稳定的曲线，曲线的花样和分振动的频率比、初相位有关，得出的图形叫李萨如图［7～9］。假设两个相互垂直的简谐振动分别用x和y来进行表示，则：

当两个分振动的振幅和频率均相等时，合成的结果为椭圆，椭圆的形状由两振动的相位差所决定；当两个分振动的频率为任意值时，合成的结果就是不稳定且较为复杂的不闭合曲线；而当两个振动的频率为整数比时，合成的结果就为稳定的、闭合的曲线图形，称为李萨如图形［10～11］。

3 李萨如图程序和Simulink实现方法

Matlab 矩阵实验室是美国MathWorks 公司出品的商业数学软件，广泛的应用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。它以矩阵作为基本数据单位，提供了众多的工具箱，是通用的科学计算、数值仿真及数据可视化的重要工具［12～15］。

李萨如图程序实现方法，指的是利用Matlab的.m 文件编程实现李萨如图形的仿真。假设两路振动参数分别为振动1 振幅为1V，频率100Hz，初相位0°；振动2 振幅为1V，频率200Hz，初相位0°，设计的程序如下：

clear

k=2； %设定频率的比

w1=2*100*pi； %设定振动1频率为100Hz

w2=k*w1； %设定振动2频率为200Hz

t=0：0.0001：6.28；

fa=0；

A1=1； %设定振动1振幅

A2=1； %设定振动2振幅

x=A1*sin（w1*t）； %定义振动1

y=A2*sin（w2*t+fa）； %定义振动2

plot（x，y）

xlabel（‘x’）；

ylabel（‘y’）；

运行后，两个相互垂直的简谐振动的合成结果如图1所示。

图1 李萨如的程序实现

或者也可以采用Matlab 中所提供的Simulink仿真工具箱，设计一个如图2 所示的Simulink 仿真框图，分别设定两个分振动的参数，点击运行仿真按钮，即可实现不同参数情况下李萨如图形的合成。

图2 李萨如的simulink实现框图

设定参数分别为振动1 的振幅为1V，频率500Hz，初 相 位0rad；振 动2 的 振 幅 为1V，频 率300Hz，初相位0rad，点击运行仿真按钮，仿真结果如图3（a）所示；若将频率分别改为500Hz 和400Hz，合成的李萨如图形如图3（b）所示。

图3 李萨如Simulink合成结果

可以看出，当频率之比为无理数时，其合成的为不稳定且较为复杂为不闭合的曲线，而当它们的频率之比为有理数时，得到的是一闭合曲线，即为李萨如图形，与理论分析结果一致。

使用程序法或者是Simulink 仿真法都可以获得各种情况下的李萨如图形，但当需要频繁修改参数时，使用这两种方法实现仿真就会变得非常复杂，对使用者的要求提高，使得学生这样的初学者难以独立完成。所以，如果能针对此开发出通用的图形用户交互界面，用户只需输入一些参数，就可以获得各种情况下的李萨如图形，对于学生来说，将会非常有意义。

4 基于GUI李萨如图的实现方法

基于Matlab GUI的李萨如图形实现界面如图4所示，用户可以根据需要输入合适的参数，点击执行仿真按钮，即可查看不同情况下的合成结果。

图4 基于GUI的李萨如图形的实现

在设计好的GUI软件中，输入不同情况下的各个参数，点击执行仿真按钮，即可实现各种李萨如图形的仿真。假设两振动频率相同而相位差不同，具体的参数和仿真结果如图5 所示，可以看出当频率相同时，两个相互垂直的振动合成结果为一椭圆，椭圆的形状由相位差所决定，与理论分析结果一致。

图5 频率相同相位差不同的李萨如图

假设当两振动相位相同而频率不同时，具体的参数和仿真结果如图6 所示，相位不同频率也不同的情况如图7 所示。可以看出，当两个分振动的频率为任意值时，合成的结果就不稳定且较为复杂的不闭合曲线；而当两个振动的频率为整数比时，合成的结果就为稳定的、闭合的曲线图形，与程序法分析结果一致。

图6 相位为0°频率不同的李萨如图

图7 相位不同频率不同的李萨如图

从以上各种情况下的李萨如仿真结果可以看出，该系统运行稳定，相较于采用程序设计实现李萨如的方法，基于GUI 的方法具有操作简单，结果直观清晰的优点。

5 结语

采用Matlab GUI作为仿真平台，实现了不同参数情况下的李萨如图形实现方法。通过对不同情况的实验现象和仿真结果的比较，可以看出该系统运行结果与李萨如图形形成理论相符，具有响应速度快，操作简单，结果直观形象等特点，使得不具备编程能力的学生也可以独立操作。除此之外，该系统不受仪器和场地的限制，通过改变一些参数即可获得不同条件下的李萨如图形，使得理论课堂教学变得生动形象，对促进学生对振动波动的学习有积极的意义，实现了大学物理教学的现代化。