移动机械臂倾覆稳定性分析与优化∗

郭永凤

（陕西国防工业职业技术学院 西安 710300）

1 引言

传统机械臂的工作空间较为有限，机械臂需要借助螺栓等组件固定在地面上。为了扩大机械臂的应用范围，提高其应用性能，近年来，移动机械臂（Mobile Manipulator）逐渐兴起。移动机械臂将机械臂与移动机器人相结合，极大地增加了机械臂的自由度，使其能够灵活位移，机械臂的操作性能也得到了提升［1～2］。

在2012 年，Aalborg 大学的学者Simon Bogh 对自主工业移动机械臂的潜在应用市场进行了统计与分析。对物流业、服务业等行业中的500 余任务进行了AIMM 的应用预期统计。结果显示：在未来，机械臂可以顺利完成超过半数的任务。自主工业移动机械臂适用于物流运输、协助装配、机械管理、清洁维护等领域，尤其是在物流行业，移动机械臂有极大优越性，因此它是一个重要的技术发展方向［3］。

关于机械臂对移动平台的力/力矩及其对系统造成的影响这一方面，目前尚缺乏研究成果。机械臂与移动平台之间的力学规律较为复杂，影响因素众多，如机械臂的机械构型，机械臂所连接的负载，关节的角速度与角加速度。移动平台的力/力矩可能产生系统倾覆。倾覆是指对于竖直方向的轮式移动机械臂，其绕倾覆轴线产生向外旋转，致使系统失控，严重时，系统可能翻倒。

在工程实践中，对于部分机器人，如腿式移动机器人以及履带式机器人，研究其倾覆稳定性是一个主要课题。对于移动机械臂而言，这一问题同样不可忽视。保障轮式移动机械臂不发生倾覆与侧滑是机械臂操纵的基本前提，也是重要的安全问题。国内外有较多关于移动机器人倾覆问题与滑移问题的研究，但研究机械臂的动力学因素对系统倾覆影响的研究较少。本文重点研究这一方面，分析机械臂与移动平台之间的力/力矩，探究其动力学因素与影响机理。

2 倾覆稳定性判别

对系统做出以下假设：1）轮式移动机械臂所放置的地面为平面，不考虑地形的起伏情况；2）轮与地面之间的接触为点接触，且忽略滚轮的变形情况［4］；3）系统为刚性结构，机械臂的关节、连杆与轮式移动平台均为刚性。

在通常的研究中，判断倾覆稳定性的方法是提出一种标识作为倾覆稳定性判据，但该方法无法描述倾覆的动力源的本质。因此本文提出一种新的稳定性判别方法，用倾覆力矩来定量描述倾覆过程。倾覆力矩为造成系统倾覆的力矩，是系统倾覆的根源。

图1是系统中移动平台上的力/力矩示意图，其中椭圆为整个移动平台，包含滚轮在内。Op为平台的重心，并且是平台的中心位置。以Op为原点建立平台的基坐标系｛XP，YP，ZP｝。gp为包含滚轮在内的整个平台所受到的重力，mp表示整个平台的质量。机械臂的一端刚性安装在OM点，其质量为mr，同时在该点建立机械臂的基坐标系｛XM，YM，ZM｝。移动平台上的其余附件的安装在OA点处，其所受到的重力矢量为gA，质量为ma。

图1 移动平台上的力/力矩示意图

假设机械臂关节上的约束力/力矩为w1，相应的机械臂对移动平台的力/力矩为-w1：

此力/力矩可沿坐标轴X、Y、Z三个方向分解：

移动平台的下方安装滚轮，滚轮与地面形成点接触，所有接触点形成一个凸包多边形。多边形的每两个相邻顶点为一条倾覆轴线。移动机械臂的倾覆只会沿倾覆轴线发生［5］。

假设其中的两个相邻顶点为npi与npi+1，这两点构成的倾覆轴线为eii+1。移动平台基坐标系原点OP到机械臂的基坐标系原点OM的矢量为dM，相应的从点OP到其余附件安装点OA的矢量为dA。从原点OM到倾覆轴线eii+1的正交矢量为dii+1，从原点OP到倾覆轴线eii+1的正交矢量为lii+1，从原点OA到倾覆轴线eii+1的正交矢量为sii+1。根据图1，移动机械臂系统的倾覆力矩TOM（Tip-Over Moment）可由式（4）求得：

对于式（4），公式右侧第一项表示机械臂对移动平台的转矩在倾覆轴线上的投影，第二项表示机械臂对移动平台的力在倾覆轴线上的力矩，第三项表示移动平台的重力在倾覆轴线上的力矩，第四项表示附件的重力在倾覆轴线上的力矩。

若轮—地接触点形成的凸包多边形含有的顶点个数为n，则倾覆轴线存在n条，因此TOM 数也为n。对于这n个系统倾覆力矩，其中的最大值为TOMmax，对应此值的倾覆轴线承受最大倾覆力矩。系统稳定的条件为TOMmax≤0，此时没有倾覆力矩。而若TOMmax＞0，系统将发生倾覆，此时系统不稳定。当TOMmax≤0 ，|TOM|为倾覆裕度（Tip-Over Margin）。倾覆裕度表征系统的稳定状况，|TOM|越大，系统距倾覆越远；|TOM|越小，系统距倾覆越近。式（4）要包含所有倾覆轴线。

如下介绍两类移动机械臂。第一类型是静态不稳定的移动机械臂，如移动机械臂Ballbot，由卡梅隆大学研制而成，此移动平台仅有一个滚轮（球），其上有一对机械臂，自由度都为2。Ballbot采取两个闭环控制其稳定性，包括内部闭环与外部闭环。内部闭环采用PI 控制，可改变球的速度。外部闭环则利用线性二次型调节器实现全状态反馈控制［6］。两轮移动平台适用于斜坡、窄路等环境，具有很高的移动性能［7］。乔治亚理工学院研制的Segway RMP200 采用PD 控制达到动态稳定［8］。在Segway RMP200 移动平台上，研究者装置了一台KUKA Light Weight Robot［9］。由马萨诸塞大学研制的u Bot-5则采用LQR控制器实现系统在运行过程中的稳定性［10］。

第二类型的移动机械臂为静态稳定的移动机械臂。如Neobotix MM500移动机械臂，含有三个滚轮，用于增广现实领域的研究。KUKA omni Rob 移动机械臂含有四个全向轮。Little Helper 移动机械臂则有五轮。此类机械臂在静态时可以达到稳定，但易发生系统倾覆。

在滚轮数量确定的情况下，滚轮有不同的安装位置方案。本文以轮—地接触点形成的凸包多边形是等边三角形的情况进行讨论，结构如图2 所示。

图2 等边三角形滚轮分布

图2 中，为使设置不失一般性，取原点OP与np1的连线方向为XP轴正方向，其中np1为第一个滚轮与地面的接触点。r为凸包多变形外接圆的半径，由正弦定理，可得所有轮—地接触点的坐标：

npi表示第i个接触点。由所有相邻点，可求得倾覆轴线，其单位矢量为

当i等于n时，i+1 则等于1，即最末接触点与起始接触点的倾覆轴线单位矢量，以下公式相同。原点OP到eii+1的矢量lii+1为

3 TOM 与ZMP 对比分析

接下来通过分析对比TOM和ZMP来验证TOM判据的正确性。移动平台相关实验参数如表1。

表1 移动平台参数假定

实验过程如下：求出TOM判据和ZMP判据在系统静态、受力平衡静止状态和动态情况下得到的结果。然后合并显示两种结果，进行对比分析。

对机械臂的每种杆件构型计算此时的TOM值和ZMP值，结果显示在图3。

图3 TOM与ZMP的对比仿真结果

其中，外侧的黑色框线指的是移动平台的倾覆轴线，黑色框线内部区域即是凸包多边形。

图3（a）中，点的位置表示通过ZMP判据获得的系统零转矩点，颜色反映TOM判据的计算结果的大小，大致范围在右侧标尺标出。由图像可知，ZMP判据求得的点均位于凸包多边形内侧，即系统始终稳定，对应的所有TOM值均为负。ZMP点从凸包多边形内部靠近边界框线时，图像颜色变红，TOM值增大，即倾覆裕度减小；反之，远离边界时，TOM值减小，倾覆裕度增大。为进一步验证TOM判据的正确性，保持ZMP计算结果不变，对TOM值进行根据符号的二值化处理，结果如图3（b）、图3（a）中颜色对应TOM值符号的正负，图中红色区域，TOM值取正时，系统倾覆；图中绿色区域，TOM值取负值，系统稳定。图3（b）中，凸包多边形内的所有点TOM值均为负。因此，在判定系统是否倾覆的问题上，两种判据得到的结论是一致的，但TOM值还能额外反映系统的倾覆裕度。

4 系统倾覆稳定性分析

机械臂逆解会产生多种可能，此处将机械臂关节空间离散化，即对三个关节的关节角按一定的分辨率（本文选择分辨率为6°）来离散化得到一系列杆件构型，用杆件构型的合集反映整个工作空间。假设移动平台为静止状态或在匀速运动，忽略加速度对系统动力学的影响。

分析表1 列出的参数，根据参数可将式（4）简化成如下形式：

mMX和mMY是机械臂作用于平台的力/力矩-w1在XM与YM两个方向上的力矩分量；fMZ是-w1在ZM方向上的力的分量；gpz是平台重力矢量gp在ZM方向上的分量。

利用mMX与mMY取绝对值，可得二者共同作用下的倾覆效用最大的倾覆轴线上的倾覆力矩。优化后的式（10）（仅用于本节的仿真计算）减少了TOM值的计算次数，其值仅为式（4）的1/4，由此可见，式（10）有效提高了计算机仿真的效率。

通过TOMmax的值可以判断系统是否会发生倾覆，如 果TOMmax＞0 ，系 统 会 倾 覆；反 之，TOMmax≤0，系统是稳定的。之后，可根据mMX与mMY的正负符号判断系统发生倾覆的旋转轴，方法如图4 所示。TOMmax＞0，若mMX＞0 且mMY＞0，mMX和mMY的合力矩使系统绕着倾覆轴线4 发生旋转，因此系统将绕轴4 发生倾覆。倾覆旋转轴的判断方法总结如下表（表2）。

图4 倾覆轴线的识别

表2 TOMmax ＞0 情况下系统倾覆的旋转轴判断

约束力矢量来自于三个连杆的质量（如图5），即：m3g，m2g和m1g，方向竖直向下，连杆质量同样是引起约束力矩矢量的因素。例如对第三杆进行分析，XM和YM方向上的力矩就取决于与其重心的水平位置p3XC和p3YC。保持连杆质量不变，fMZ不变，根据上述简化的式（10），则TOMmax值取决于m1X与m1Y，而m1X与m1Y转矩分量由连杆重心的水平位置决定。由末端负载引起的约束力/力矩swp1也可类似确定。

图5 静态情况下移动机械臂的力/力矩

5 基于倾覆稳定性约束的最短时间轨迹规划试验与结果

本节基于飞机（火箭）的蒙皮铆接工艺需求，分析移动平台匀速运动时系统倾覆性情况。此时机械臂的关节角、关节角速度和关节角加速度都在不断变化，系统的TOM值随之改变，因此，机械臂的轨迹规划需要以实现TOM值小于零为目标，即系统稳定性为目标。

图6 飞机/火箭蒙皮铆接作业的点与路径

图7 自适应时间段轨迹规划与TOM 结果

在飞机/火箭蒙皮铆接工艺中，机械臂的末端点路径规划如下（如图6 所示）：起始点→1→2→1→3→4→3→5→6→5→7→8→7→9→10→9→11→12→11→起始点。其中，在第一次到达点1、3、5、7、9、11时进行加工预备，在点2、4、6、8、10、12上进行钻铆加工，此时机械臂将承受铆接作业的加工反力。

图7 显示的是依据自适应时间段轨迹规划得到的规划与TOM的计算结果。整个路径上的最大TOM值为-137.5Nm，即通过这种方法得到的规划能够保证系统全程保持稳定。不考虑打铆工序的情况下，自适应时间段轨迹规划方法使总移动时间为8s，比固定时间段轨迹规划移动时间增加了0.4s，保证了系统稳定性，保障了系统高效性。

6 结语

本文分析了传统移动机械臂颠覆不稳定的问题，提出了比较合理的优化方法，通过对关节角速度、关节角加速度等主要影响因素的规律分析，给出了合理的轨道规划方法。通过试验数据分析，结果表明：系统可以稳定运行，且整体运行时间最短，不易颠覆。