不“破”不“立”，渗透数学模型思想

江苏省昆山高新区汉浦中学 周雨馨

作为数学核心素养之一的数学模型思想，在日常教学中往往会忽略建模的发生过程。数学模型思想的培养，“建”的过程比“用”更重要，故而在日常教学中应该更注重“看破”问题、“建立”模型的过程，让学生经历胜于让学生知道，不“破”不“立”。

一、初次教学及分析

1.设置有效活动，注重数学模型思想的培养

【案例 1】 正切概念的引入

一般情况下，学习正切之前，教师都会问“直角三角形的边、角各有什么关系”，进一步，“直角三角形的边与角之间又有什么关系”，从而呈现正切的概念模型，随之就是大量的巩固练习。这样处理，实际上学生对正切这个数学模型感觉很神秘、理解不透彻。而通过设置合适的有效活动，能让学生从中寻找不同的角度切入，找到思考点。

正切概念的引入有两种常见的活动设置：一种是移动靠在墙上的梯子，探究“如何比较梯子的倾斜程度”，抽象出倾斜程度与线段之间的关联性；另一种是对于一组台阶，探究“如何比较台阶哪个更陡”，抽象出倾斜角度的相关线段的关系。两种情景引入都是从生活现实入手，让学生在变化的情境中思考“从数学角度你有什么发现”，引导学生复习旧知，提出在构成的直角三角形中角与线段的关系的问题，抽象得到正切模型。通过有效活动的引入，学生在实践中学会思考“模型是怎么来的”，首先能够“看破”这个模型，之后才能学会“建立”更多模型，这也培养了学生的抽象能力和建模意识。

2.通过变式教学，关注数学模型思想的运用

【案例 2 】全等三角形的“一线三等角”模型

已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AE 是过点A 的一条直线，且BD ⊥AE 于D，CE ⊥AE 于E。

（1）当直线AE 处于如图1 的位置时，有BD=DE+CE，请说明理由；

（2）当直线AE处于如图2的位置时，则BD，DE，CE的关系如何？请说明理由；

（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD，DE，CE 之间的关系。

通过变化的图形，考验学生对“一线三等角”等基本模型的理解，培养学生从复杂图形中抽象基本图形的能力，达到“看破”图形、“建立”模型、解决问题的目的。这种变式教学，教师可以让学生在具体解题过程中感受到共性，帮助学生发现知识之间的联系，引导学生自发寻找规律，用数学语言抽象其中的共性，形成稳定的数学模型，从过程中体会“建模”的必要性，加深对模型的理解，拓展学生思维的广度和深度。通过变式，让学生感受数学模型思想的妙处，从而在日常解题中潜移默化地学会抽象数学模型、自构模型。

二、借助学后反思实现数学模型思想的总结

【案例 3】 用方程（不等式）解决实际问题

从用一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解决问题再到用不等式解决问题等，每一小节的学习都强调了一个闭合模型结构：将实际问题通过审（已知量、未知量、等量或不等量关系）、设（未知数）转化为数学问题，再根据数学问题找到数学模型列（方程或不等式）并求解得到数学解，最后通过检验数学解是否符合实际得到实际解，从而解决一开始提出的实际问题。

在这类问题中，数学模型思想是重中之重，教学重点是建立方程（不等式）模型，教学难点是从实际问题中找到等量（不等量）关系抽象出方程（不等式）进行数学建模。在这类问题中，模型思想是通过建立适当的数学模型把问题转换成熟悉的模型，比如，商品模型、工程模型、路程模型等。教师在相似知识点教学活动后，通过问题启发学生对旧知的联想生成，反思总结所学，体会解决同类问题的策略，将数学模型归纳，培养学生 “拓模”能力，提升数学建模能力。

三、教学反思及建议

1.递进式建模教学

递进式建模教学就是在循序渐进的原则下，“润物细无声”，通过教学将建模过程层层递进，问题条件逐步一般化，难度逐步提升，形成认知冲突，激发求知欲望，呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务，让学生自然生成。只有学会了如何“破”题“立”模，才能从根本上解决问题，逐渐加深学生对数学模型思想的理解，培养数学核心素养。

2.自主式建模教学

由于每课时都有相对独立的学习目标，学生很少有机会经历从实际情景中用数学眼光发现问题、建构模型、解决问题的完整过程，真正独立解决问题时往往“空有一身修为”。因此，在教学过程中要更多地以学生为中心，让学生不断感受解题过程中的趋向性，感受模型和具体数学知识之间的关联，自主完成数学模型建立的过程。

3.背景式建模教学

在日常教学中，教师对数学模型思想的渗透，让学生产生了“只要找到模型就能用”的错觉，忽略了模型的背景——模型成立的条件、模型的本质。“模型化解题”确实可以帮助学生有效提高解题速度，化难为易，化陌生为熟悉，但简单的“套模”实际上忽视了思维过程的呈现。教师应加强模型生成的教学，强化对模型本质与规律的背景挖掘，让学生知其然，更知其所以然，优化思维方式，提升分析问题、解决问题的探究能力，真正实现数学“建”模，渗透数学模型思想。