核心素养背景下的高中数学概念教学

西安交通大学苏州附属中学 梁 超

不少学生从初中步入高中后，对数学学习逐渐产生畏惧、挫败感，一方面是因为高中数学内容更广、更深，另一方面是因为学生对基础知识的理解不透彻，没有熟练掌握基本学习应用方法。2017 年版《普通高中数学课程标准》（以下简称《课程标准》）明确提出了六个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。随着课程改革和新高考方案的不断推进发展，高中数学教育越来越关注数学核心素养的培养。学生的学习是基于教材的，对数学的理解与把握是日积月累的，数学核心素养的发展也应是循序渐进的。教师在平时的教学中要特别注重对基础知识的讲授，只有将地基打牢了，才能建造出坚固的房子。概念教学作为基础知识中的重要环节，应当引起教师和学生的充分重视。

一、概念教学的重要性

数学发展的历史告诉我们，每一个数学概念的形成和发展都充满了丰富多彩的经历，是数学家们美妙智慧的结晶。有了数学概念，才会有相应的定理、性质，可以说，数学这座雄伟的宫殿正是建造在一个个概念之上的。数学概念是学生构建知识体系的根基，如果概念理解不透彻，往后的解题很可能是机械化的操作，难以激起学习数学的兴趣。例如有一部分学生常常将函数的零点、极值点写成一个坐标，这正是因为在初次学习概念时，没有深入理解这里的点不是坐标，而是实数，也正如把截距错误地记忆成某种距离，还有学生会把两个单调区间用符号“∪”连接起来，说明对区间的概念就没有认识到位，区间是一段连续的范围，这样用“∪”连接起来的两段范围首先都不是区间了，往往也会破坏函数原来的单调性。

数学概念既是章节内容的根本，也往往是各个知识点之间的联系纽带。比如“任意角的三角函数”作为高中数学的重要概念，是紧接着学习三角函数关系推导、三角函数的图像和性质的重要基础，也与后续向量、参数方程等知识的学习有着紧密的联系。在新授课时，教师应当舍得花时间与学生一起研究概念对象，分析概念是怎么来的、为什么要这么定义，充分认识概念的内涵。这既是帮助学生夯实基本功的有效途径，又能调动学生自主探究的积极性。

二、如何开展概念教学

笔者曾经做过调查统计，相对于习题课，学生实际上更喜欢概念新授课。心理学研究表明，学生获得数学概念的过程往往是一个概念的心理表征的构建过程，而构建来自主体对相关事件的丰富体验，体验某一概念是如何形成的、又是如何发展的，从中领会概念所蕴含的深刻内涵。因此，教师应当通过创设情境，引导学生发现问题、提出问题、解决问题，在感性认识的基础上，通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括等活动学习概念。在具体教学实践中，教师可以考虑从以下三个方面设计概念教学：

1.基于基本经验，提升思维品质

这样安排既有利于帮助学生巩固对函数概念的认知，又能激发学生思考。学生在推广概念的过程中，不难想到去构建任意角对应的直角三角形，确立任意角的三角函数，更能充分理解点的坐标与三角函数的关系。类似的，当学生系统学习完指数函数后，教师可以从定义域、值域、图像、性质等方面引导学生主动进行关于对数函数的探究学习。通过新旧概念之间的联系对比，既能深化理解概念，又能形成知识点的前后呼应，形成知识网络。如果教师直接照本宣科地讲授概念，学生没有经历深入思考的过程，对概念的理解只能停留在表面。教师应当帮助学生积累数学活动经验，由量变到质变，完成认知的飞跃，才能有利于培养优秀的思维品质。

2.创设具体情境，导入抽象概念

理想的教学情境能为学生的思维活动营造积极有意义的氛围，能让学生在自主发现探究的过程中经历知识的生成。创设概念教学的情境可以从两方面入手：一个是生活实际，另一个是理论问题。数学与生活实际是紧密联系的，很多数学知识都有其实际含义，数学概念更是如此。必修五在引入等差数列前，给出了奥运会、某电信公司的一种计费标准、储蓄月利率（单利）三个实际例子。在介绍等比数列前也列举了放射性物质的衰变、轿车折旧率、投资收益率（复利）三个实际例子。一方面可以让学生观察发现更多这样的实际生活例子，另一方面引导学生归纳出这类数列的特点，思考如何用数学语言表述这类数列。

不少学生在学习完概念后没过多长时间就记不全或者记忆错误，甚至完全遗忘，主要是因为学习概念时没明白这个概念是怎么来的、为什么要这样定义、能解决什么问题。教师根据学生的心理特点和认知水平，不管是通过选取鲜活的实际例子，还是提出有思考价值的理论问题创设具体情境，目的都是要调动学生深入积极地思考，让学生像数学家一样学数学、做数学、用数学。

3.渗透数学思想，融入数学文化

数学文化涉及面广泛，有丰富的内涵，表现形式多种多样，伴随学生整个数学学习的过程。著名数学家李大潜曾指出：数学文化的渗入，虽然表面上看仅仅是一个配角，但在密切结合数学内涵这一载体的讲授过程中，却不显山、不露水地起着画龙点睛的作用。数学思想作为数学文化的重要组成部分，本身就是丰富多彩的，常用的有数形结合思想、化归思想、分类整合思想、函数与方程思想、归纳推理思想等。概念教学作为章节起始课，教师从比较宽广的角度去设置探究活动，将数学思想作为数学文化的一个切入点融合到概念教学中，能够起到四两拨千斤的作用，提高学生的课堂参与度，培养合作组织能力并提升综合素质。

函数思想是联结高中数学的一条主线，函数的概念是高中学生接触的第一个非常抽象的数学概念，将其称为最重要的高中数学概念也不为过。能否将函数的概念认识到位、理解透彻，对学生整个高中数学学习的思维方式和思维能力有着重要的导向作用。在函数概念的学习过程中，难免会出现经验认知的偏差和冲突，这应该是一个循序渐进、逐步深化的过程。教师可以采取小组合作探究的形式充分调动学生的积极性，让各小组课前主要研究三个问题：（1）预习函数的概念，结合初中所学举例说明对函数的认识；（2）根据教材的阅读材料介绍函数概念的发展，搜集教材中没提到的有意思的数学故事或有价值的数学问题；（3）你们小组对函数的概念有没有感到困惑的地方或者有没有想进一步研究的问题？通过课前的充分准备，学生在课堂上交流互动，能够从函数思想的形成与发展过程中体会到函数概念的建立不是一蹴而就的，而是凝聚了一代代数学家的聪明才智。只有充分理解把握函数的概念，才能在今后的学习中养成用函数思想思考问题的习惯，深化各部分知识的联系，更有利于培养学生的辩证思维能力。这样研究小课题的概念学习方式每学期可以开展一次，也适用于向量、圆锥曲线、复数等概念的学习，学生在课题学习研究的过程中能够充分体会到数学文化的魅力。

三、核心素养对概念教学的启示

《课程标准》指出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观念的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的。大体来说，数学概念教学的目标是让学生了解概念的来由和发展，理清相关知识点之间的逻辑关系，能够正确地运用概念解决相应问题。对抽象的数学概念的理解本身就对学生的数学抽象素养提出了一定要求，当学生能够积极地投入概念形成的过程中时，自然会提升数学抽象能力。教师在进行概念教学设计时，可以明确各阶段学生应当发展的数学核心素养。以等差数列和等比数列的概念学习为例，首先从观察举例到概括抽象的过程中培养学生的数学抽象素养和数学建模素养；其次，通过通项公式的探究培养学生的逻辑推理素养；最后，通过例题练习的解答培养学生的数学运算素养。我们也应认识到六大素养并不是单独孤立的，在具体的情境中很可能是同时发展的。比如在独立性检验和回归分析的学习过程中，数据分析与数学运算是紧密联结在一起的。总之，教师在概念教学中不仅要考虑如何引入、形成、巩固和应用，更要思考怎样恰到好处地将核心素养的培养融入其中。

数学概念的学习和教学历来都是教师的重点研究对象，流于表面机械化地学习概念一直是个突出问题，笔者尝试在核心素养背景下思考如何提高概念教学的有效性。如果脱离了对数学概念的正确理解，是不可能进行严谨的数学思维活动的，也无法构成有效的数学思想和方法。教师和学生首先要对概念学习引起足够的重视，其次应当在教学中利用好教材，又不局限于教材，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，带领学生感受数学之美，最大限度地调动学生学习数学的积极主动性，这样才能帮助学生真正理解掌握概念，走进数学的世界。