初中数学解题教学之“预设”与“生成”的策略

江苏省江阴市夏港中学 姚菁菁

问题和解题是数学学习的心脏。解题过程是充分应用所学知识分析问题并寻找答案的过程，是培养学生数学应用技能的重要手段。在对初中生数学解题进行探究中发现，一些学生只会埋头解题而不会反思，解题过程中不会主动发问，主体意识仍未觉醒。从教师方面看，解题中采用的“题型+模仿+练习”的模式，多以教师讲为主。要提高初中生的数学解题能力，不仅要提前做好预设，还要关注学生在解题过程中的表现，形成师生互动，促进解题教学的动态生成。

一、预设一般方法，夯实基础知识

课堂的预设和生成犹如孪生兄弟，如果没有预设，生成也就成了空谈。在解题教学中，更多的是要让学生掌握解题的一般方法，即要让学生从掌握知识过渡到应用知识，形成“再创造”。为此，在预设中，教师要紧密结合教材，通过典型例题的预设来促进学生对解题方法的掌握，否则，单纯地通过讲题并让学生做题，效果并不是很理想。

以“证明两个三角形全等”的解题为例，要证明两个三角形全等，学生已经掌握了SAS、ASA、AAS 等判定定理，在解题教学中就需要通过具体问题来引导学生思考应该采用哪一种方法。故预设例题为：如图1，点B 在AE 上，∠CAB=∠DAB,要使△ABC ≌△ABD,可补充的一个条件是什么？

通过题干，引导学生分析，已知∠CAB=∠DAB，即有一个角相等，AB=AB，即AB 为公共边，若要用“SAS”来判定，需要补充什么条件？（AD=AC）若用“ASA”来判定，需要补充什么条件？（∠CBA=∠DBA）若用“AAS”判定，需要补充什么条件？（∠C=∠D）除此之外，还可以补充什么条件，用什么判定定理来证明？如此，通过一个简单的例题，让学生对证明两个三角形全等的判定定理进行巩固，结合例题思考题干中所具备的条件，需要补充的条件。

解题教学所要做的不是带领学生把书本中的知识完完全全地记下来，而是要让学生学会根据题干去分析，在分析过程中应用所学知识去探究解题的一般方法。预设一般方法，就是通过典型例题，让学生举一反三，帮助学生夯实基础知识，为拓展应用打下坚实基础。当然，在解题过程中，教师要和学生积极互动，以问题启发学生思考，这样才能让课堂不断生成，让学生融入解题过程中。

二、预设知识陷阱，完善知识结构

在数学解题教学中发现，很多学生并不太善于纠错。数学教学强调要加强对学生思维能力的培养。在学生解题过程中，因学生的思维能力、知识结构、学习环境等多方面因素的影响，他们总会碰到各种各样的问题，出现诸多错误。预设知识陷阱，就是要让学生学会纠错，能自己去发现错误，分析产生错误的原因，以此来帮助学生完善知识结构，提升解题技能。

例如，如图2，∠CAB=∠DBA,∠C=∠D，E 为AC 和BD 的交点，△ADB 与△BCA 全等吗？说明理由。

三角形全等判定中没有“AAA”的判定定理，两个三角形若三个角都相等，也不能判断两个三角形全等，但在解题中，很多学生就会用“AAA”来判定两个三角形全等。为此，预设该题，目的就是要让学生能发现这种错误并寻找解决方法。在课堂中，一些学生就采用了这样的证明方法：因为∠CAB= ∠DBA, ∠C= ∠D，所以∠CBA= ∠DBA，所以△ADB ≌△BCA(AAA)。

当学生出现这种错误时，可及时追问：“我们学过的判定两个三角形全等的方法有哪些？”“‘AAA’可以证明两个三角形全等吗？若不能，此题应该如何证明？”通过问题引导学生回顾所学知识，针对题干思考证明方法，找到AB 为公共边，用“AAS”来证明。

在几何解题中，很多学生会出现根据图形就主观判断角或边相等，或在原有定理、公式基础上加入或减少条件的办法进行证明，从而导致错误出现。预设知识错误陷阱，就是要让学生在错误中对所学知识点进行回顾，完善认知。

三、预设解题反思，促进主动生成

在对初中生进行调查时发现，大多学生并不会在解题后进行反思。应该说，反思是数学思维的核心和动力，是解决问题的抓手，是提升学生解题思维能力的源泉，是促进学生掌握数学方法的关键所在。要让学生能根据题干寻找解题方法，在解题教学中，要注重通过一题多解来帮助学生拓展思维，引导学生反思。

首先，要注重应用错题来引导学生反思。以“平方根和算术平方根”的概念巩固为例，练习中展示问题：下列说法正确的是（ ）。A. -8 是(-8)2的算术平方根本；B. 25 的平方根是±5；C. 4 是-16 的算术平方根；D. 1 的平方根是它本身。在解答中，学生的答案较多，此时就可引导学生分析。A答案中，算术平方根不可能为负数，故A必错；B 答案中考查的是平方根的概念，可以为正数，也为负数，故B 正确；C 答案中，-16 是没有平方根的，自然也就没有算术平方根了，故而错误；D 答案只考虑了一种情况，正数的平方根有两个，故而错误。引导学生分析选择错误的原因，帮助学生巩固“平方根和算术平方根”的概念，加强反思。

其次，注重采用一题多解来引导学生反思。例如，如图3，已知D、E 在BC 上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。

大多数学生是根据△ABC 和△ADE 是等腰三角形，利用“等腰三角形底边上的三线合一”来求证BH=CH。解题后，引导学生反思用其他方法如何证明。经过讨论，得到要证明线段相等，可考虑证明三角形全等，从而从证明“△ABD ≌△ACE”或“△ABE ≌△ACD”展开探索，而有的学生则考虑用等腰三角形是轴对称图形的性质来证明。如此，通过反思，引导学生从不同的角度思考解题方法，学生的思维得到培养，掌握了多种求证方法。

四、关注学生主体，合理演绎生成

在初中数学解题教学中，学生并不是作为被动的接受对象在接受知识，相反，他们是学习的主体，要让数学课堂在预设和生成中更加精彩，必须关注学生的主体性，通过多种方式让学生参与到解题过程中。

首先，要让学生敢说。在解题中，无论学生得到的答案正确与否，都要引导学生说理由，通过说让学生总结自己是如何解题的，产生错误的原因是什么。很多教师在课堂中不太愿意让学生说，认为这样耽误课堂时间，其实不然，让学生参与表达，将讲题过程表达出来，可更好地帮助学生巩固所学知识，也利于其他学生从中吸取经验。

其次，要注重应用问题来驱动学生参与互动，促进课堂的生成。如：已知x2=1，那么 的值是多少？在解答中问：“由x2=1 可以推出什么？为什么？”通过该问题复习所学知识，再追问：“一切实数都有立方根，-1 有没有立方根？”通过问题引导学生正确求解。当然，在数学解题过程中，问题并不是越多越好，而是要根据实际问题，引导学生结合题干展开讨论和思考，从而找到正确的解题方法。

最后，要引导学生学会归纳和总结，如：三角形全等的证明都有哪些方法？应该满足哪些条件？解题后要引导学生对证明三角形全等的方法进行归纳。又如，几何证明中添加辅助线的方法，针对哪种图形，一般可以添加哪些辅助线。诸如此类，通过一段时间的积累，学生掌握了多种解题方法，在解题中灵活应用，其应用能力自然得到提升。

没有预设，解题教学难以顺利开展；没有生成，整个课堂变得毫无生气。在初中数学解题教学中，要紧扣教材和学生实际，做好充分预设，关注学生在解题过程中的思维培养，及时针对学生的探究给予引导、点拨，促进课堂向着生成方向发展。如此，学生在解题过程中，思维能力得到了培养，掌握了方法，形成了技能，才能获得更好的发展。