双同态病原体的进化动力学模型研究

2020-10-30原博

生物化工 2020年5期

原博

（山西工程职业学院，山西太原 030009）

生物数学领域目前对于病原体毒性适应性进化的一个比较合理的解释是病原体毒性与病原体诱导的宿主死亡率之间存在一定的权衡关系。目前，对于单同态病原体毒性进化机制有了较为深入的研究，但是对于双同态病原体毒性进化机制的研究还较少，因此有必要建立一个具体的SI1I2模型来研究双同态病原体毒性的适应性进化机制。利用适应动力学的方法来研究模型能否出现进化稳定共存的进化效果。同时，利用进化入侵分析的方法研究双同态病原体毒性特征在进化稳定共存之后是停止进化变成两种具有不同毒性的病原体，还是其中一支进化灭绝。

1 双同态病原体的进化稳定策略分析

1.1 死亡率具有密度依赖的双同态SI1I2模型

一旦病原体的毒性特征进化到进化分支点附近时，变异病原体与原驻病原体在进化分支点附近可能共存并发散进化。这种情况下，被双同态病原体感染的宿主的种群动力学模型就是直接在单重感染的SI模型中加入被带有毒性v2的病原体感染的感染者I2，因此可以得到模型I。

该模型中，b表示宿主的出生率，v1表示被带有毒性v1的病原体感染的感染者的因病死亡率，v2表示被带有毒性v2的病原体感染的感染者的因病死亡率，不同的病原体因为毒性v不同，相应的传染率β（v）也就不同。同时假设死亡率m（N）=m0+m1N仍然是线性密度依赖函数。

令模型I的右端等于零，并且令

当满足条件d1＞0,d2＞0,d3＞0时，可得模型Ⅰ唯一的正平衡点如下：

1.2 模型Ⅰ正平衡点的稳定性分析

由Routh-Hurwitz定理可得：所有的3×3矩阵的根都在负半平面的充要条件是当且仅当其迹和特征值都是负的，且M·trA-DetA＜0，其中M为A的主子式之和[1]。通过直接计算，可以得到：

1.3 双同态病原体的进化动力学模型

在模型Ⅰ正平衡点存在并且稳定的条件下，考虑v1和v2可以共存，讨论双同态病原体毒性特征最终的进化情况。即接下来要考虑的是两种病原体毒性的特征v1，v2都为正的情形。当突变是稀少的并且突变很小时，假设突变可能在任何时间出现在这两种病原体中的任意一种之中，但是不能出现两种病原体毒性都发生突变的情况。当带有突变毒性vm的病原体以较低的密度出现时，可得变异病原体的入侵适合度为：

带有变异毒性vm的病原体命运将由入侵适合度s（vm,v1,v2）来决定，毒性特征v1和毒性特征v2的进化方向将由局部选择梯度g（v1,v2）和g2（v1,v2）来决定，其中g1（v1,v2）和g2（v1,v2）的形式如下：

由参考文献[3]相关结果可知，双同态病原体的毒性特征（v1,v2）将一步一步地进化，当入侵适合度大于零时，变异的病原体可以入侵并替代原驻病原体。

当突变是稀少的且突变很小时，可知毒性特征v1和v2的进化动力学模型如下：

其中τ代表的是进化时间尺度，g1（v1,v2）和g2（v1,v2）分别代表相应的局部选择梯度，n1（v1,v2）和n2（v1,v2）分别表示毒性特征v1和v2的进化速率，其描述了变异的过程如何影响进化的速度。具体的来说

其中μ1和μ2表示单位时间内每个被带有相应毒性的病原体感染的感染者出生的个体发生突变的概率；σ21和σ22表示被带有相应毒性的病原体感染的感染者的表型效应方差；代表模型Ⅰ在正平衡态处被带有相应毒性的病原体感染的感染者的种群密度[4]。为了研究双同态病原体毒性进化的最终结果，采取以下策略。

1.4 双同态病原体的进化奇异策略

首先要确定出现双同态的进化奇异策略的权衡函数所满足的条件。

因为斜率β'（vi）,（i=1,2）既依赖于v1也依赖于v2，从条件Ⅷ可以看出，任意一个权衡函数要存在双同态的进化奇异策略的条件是必须在两个不同的点处有相同的斜率，所以对于权衡函数是全局凹的情况和全局凸的情况下都不可能存在双同态的进化奇异策略。把模型Ⅰ的正平衡点代入条件Ⅷ，可以得到要求的两个点的斜率为

1.5 双同态病原体进化奇异策略的收敛稳定性和进化稳定性

1.5.1 进化奇异策略的收敛稳定性

当满足条件Ⅱ时，模型Ⅰ的正平衡点是存在并且是局部渐近稳定的，此时如果则雅可比矩阵J的行列式值是正的，并且J的迹却是负的[8]，所以（v1*,v2*）是局部收敛稳定的。因此如果权衡函数在v1*和v2*两点处是局部凹的，那么双同态的奇异策略是局部收敛稳定的。

1.5.2 进化奇异策略的进化稳定性

当满足条件

从定理1可以看出，如果权衡函数是凹-凸-凹形式的，并且在奇异策略处的凸性比临界函数更弱，那么进化分支现象是可能出现的，当进化分支发生以后，如果存在一个双同态的进化奇异策路是收敛稳定的，那么通过进化分支出现的双同态是一个稳定共存的双同态，这两种不同毒性的病原体可以长期进化稳定共存。因此最终的进化结果包含两种不同毒性的病原体，且这两种病原体是可以长期稳定共存的。

1.6 双同态病原体进化稳定共存的例子

为了验证模型Ⅵ可能出现的双同态病原体的进化稳定共存的现象，假设宿主死亡率是密度依赖的线性函数，并取权衡函数为：

并且必须保证权衡函数β（v）是随着v单调增加的，同时β（v）还满足条件Ⅱ。这时候权衡函数是凹-凸-凹形式的，且此时在奇异策略A处凸性比临界函数更弱，从图1a可以发现奇异策略A=0.360是收敛稳定，但不是进化稳定的，因此在凸区域的部分会出现进化分支的现象。进化分支出现以后，依赖于初始特征值，这两种病原体的毒性特征将会按照模型Ⅵ进化。通过数值模拟，可以在特征空间中找到2个进化奇异策略E1和E2（如图1a）。因此由定理1可以看出双同态的进化奇异策略E1和E2都是收敛稳定且是进化稳定[9]。

典型的特征进化图如图1a所示，奇异策略A=0.360是收敛稳定但不是进化稳定的。因此，在A的附近，进化分支会在灰色的区域发生。进化分支发生以后，毒性特征只依赖于分支时的初始特征值，进化收敛到一个双同态的进化奇异策略E1和E2。相应的模拟特征进化树的图如图1b所示。当初始特征值v=0.35时，在奇异策略A的附近，原驻毒性的病原体分支成2种不同毒性的病原体，其中一支的毒性特征从初始值开始增加，而另一支的毒性特征从初始值开始减小，并最终收敛到进化稳定的平衡点（v2*，v2*）=（0.22,0.46）。黑色实线代表毒性特征v1的等斜线；黑色虚线代表毒性特征v2的等斜线，而且当毒性的特征发生进化时，被相应毒性的病原体感染的感染者的种群密度在图1c中表示出来，图1d中表示的是当毒性特征进化时的易感者在平衡态处的种群密度。由此，可以看到双同态的病原体可以长期进化并稳定共存。