基于模糊数互补判断矩阵的权重求解方法

郭小娟

为了能够在多属性决策中得到方案最后解和排序结果，决策人员一般针对各个方案偏好信息使用两两元素对比得到矩阵的判断形势。通过判断矩阵元素可以看出，判断矩阵一般包括两种类型，分别为互反判断矩阵和互补判断矩阵。在对实际问题进行解决的过程中，因为客观的事物具有不确定性和复杂性，此两种矩阵元素有时候无法使用确定数值进行表示，而是使用三角模糊等模糊集方式得到。本文就基于前人研究结果，对三角模糊数互补判断矩阵中的专家信息，提出了三角模糊数最优的一致性互补判断矩阵数学模型，并且使用基于全局优化加速遗传算法对此模型进行求解，在实现一致性的过程中，其程度最高并且可信度最高的权重向量，能够有效修正三角模糊数互补的判断矩阵一致性。

1 权重求解知识

在实现权重求解的过程中，首先要对标度值为精确数进行全面考虑，假设X={X1，...，Xn}属于方案集，其中N={1，...，n}。假如专家根据互反型标度实现候选方案两两对比之后进行幅值，就鞥能够得到互反判断矩阵A=(aij)n*n，其具备以下性质：其一，i，j ∈N，aij＞0，aij=1，aij=1/aij；其二，i，j，k ∈N，在aij=aikaki成立的时候，那么A 指的就是一致性互反判断矩阵。一般可以使用和积法进行求解，通过互反判断矩阵A 实现各个方案权重wi 的确定[1]，也就是：

如果专家判断以两方案重要性实现权重的分配方式实现赋值，那么就能够得到互补判断矩阵B=(bij)n*n，其具有以下的性质：其一，i，j ∈N，0 ＜bij＜1，bii=0.5，bji=1-bij；其 二，i，j，k ∈N，所以1/bij-1=（1/bik-1）（1/bkj-1）成立的时候，表示B 属于乘性一致性互补判断矩阵[2]。

假如B=（bij）n*n属于互补判断矩阵，那么就能够利用相关公式转变成为互反判断矩阵，如果原来矩阵B 具备乘性一致性，那么转化之后的矩阵A还是具有一致性，相反也是如此。在进行基于权重分配创建互补判断矩阵求解的过程中，可以先将此矩阵转变成为互反判断矩阵，之后利用求解转换之后互反判断矩阵，以此得到此矩阵的解。

另外，有界模糊数的α 截集属于区间数，可以将此区间数作为精确数集合。如果给出有界模糊数属于α 截集下方区域间数，那么就能够得到原本的模糊集。所以，通过分解定理表示，其能够成为经典集和模糊集相互连接的桥梁，大部分的模糊集领域问题都能够利用α 截集求得转化成为在经典集范围中的问题，之后通过分解定理得到原本的问题解。以模糊理论为诶基础，模糊数之间的加减乘除等基本运算和精确数都不同，所以在经典集领域中具有部分定理已经无法满足模糊集领域需求，从而也就不能够根据经典集直接通过元素之间的运算联系进行描述[3]。

在对模糊数不糊与互反判断矩阵一致性进行定义的过程中，不能够直接根据经典集中实现定义。根据经典集分别实现乘性一致性三角模糊数互补对矩阵进行判断的定义，假如一个模糊数互补或者互反判断矩阵满足一致性定义，那么此矩阵就为精确数矩阵。简单来说，满足以上定义模糊数互补或者互反判断矩阵并没有，但是可以对乘性一致性区间数进行定义，从而定义乘性一致性模糊数互补判断的矩阵。

2 基于模糊数互补的判断矩阵权重求解模型

1）假如a=（al，am，au），那么0 ＜al ≤am ≤au，此表示a 为三角模糊数，其中的隶属函数表示为：

假如a=（al，am，au），b=（bl，bm，bu），那么模糊数的运算就为：

其一，a ⊗b=（al，am，au） ⊗（bl，bm，bu）=（al+bl，am+bm，au+bu）

其二，a ⊗b=（al，am，au） ⊗（bl，bm，bu）≈（albl，ambm，aubu）

其四，a=n，并且al=bl，am=bm，au=bu

2）假设判断矩阵B=（bij）n*n，其中的bij=（blij，bmij，buij），bji=（blji，bmji，buji），如 果blij+buji=bmij+bmji=buij+blji=1，buij≥bmji≥blji≥0，i，j ∈N=（1，2，...，n），那么表示矩阵B 指的是三角模糊数互补判断矩阵。

3）假设B=（bij）n*n属于三角模糊数互补判断矩阵，那么B 就是三角模糊数的一致性互补判断矩阵，如果bikbkjbji=bkibjkbij，i，j，k ∈N。

三角模糊数互补判断矩阵B=（bij）n*n中的bij=（blij，bmij，buij），假设v=（v1，v2，...，vn）T指的是三角模糊数不糊判断矩阵的权重向量，那么：

在进行实际决策过程中，要以专家以此给出的三角模糊数互补判断矩阵的相互抑制，无法满足完全一致的需求，所以就要基于专家信息，修正三角模糊数的一致性。

通过以上公式表示，如果偏差函数的值越小，那么表示三角模糊数互补判断矩阵的一致性就会越高。在偏差函数为0 的时候，那么三角模糊数的互补判断矩阵完全一致。使用基于全局优化加速算法对以上模型进行求解较为简单，并且得到的权重向量是充分使用三角模糊数互补判断矩阵信息，之后有效实现一致性，从而对排序结果的精准性及可信度进行有效保证。

3 模型的求解算法

以两类模糊数对矩阵之间的转换关系进行有效判断，之后利用分解定理桥梁的作用，根据研究人员已经研究较为成熟的精确数互反判断矩阵，从而能够有效实现方案权重的求解算法，以此能够对以乘性一致性为基础的算法创建模糊数互补判断矩阵方案权重模糊数实现求解。在进行求解以前，要利用针对性的方式实现已经创建的模糊数互补判断矩阵实现乘性的一致性调整与检验，此步骤为：

其一，决策者通过模糊语言，或者将模糊数作为标度，通过权重的分配作为方案之间的对比结果，创建模糊数互补的判断矩阵。

其二，实现阈值的设置，通过相关人员的研究方法实现模糊数互补判断矩阵的满意诚信一致性检验，如果检验成功，那么就会跳转到下一步。如果检验不成功，那么就要使用相应的方法对其进行调整，直到检验成功。

其三，对初始α 与步长l 进行假设。

其四，求出区间数互补判断矩阵，并且实现阈值的设置实现乘性一致性的检验。如果成功检验，那么就会直接转到下一步。如果没有检验成功，那么就要使用相应的方法对其进行调整，直到通过满意乘性的一致性检验。

其五，利用以上公式转换之后的模糊数互反实现矩阵的判断。

其六，对a+l ≤1 此公式是够成立进行有效的判断，如果此公式成立，那么就要实现a=a+1 的赋值，之后跳转到第四步。

其七，已经得到不同a 水平中各个方案权重的区间数，为了能够全面认知数据，以分解定理创建各个方案的权重模糊隶属函数图。

其八，通过以上过程，就能够得到各个方案的权重模糊数，其主要是通过离散状态进行展现。

4 结束语

一般决策问题中的常见主观赋权法都需要决策者给出两个指标进行对比的偏好信息，从而能够构成判断矩阵，之后根据判断矩阵对此指标权重进行判断，此种确定权重方法被广泛应用到决策分析中。以判断矩阵中元素构成方式分为两种，在遇到实际问题的过程中，因为被评价的事物具有不确定性，并且评价值一般都是通过模糊数进行表示。所以，就要使用三角模糊数实现权重求解。本文对权重求解的方式进行了分析，并且创建了基于模糊数互补的判断矩阵权重求解模型，之后实现模型的求解。并且通过算例得到了模型的值，表示本文所研究的方法能够提高求解精准性及有效性。