初中数学教科书中历史名题分布特征及启示

唐海军高 晶

初中数学教科书中历史名题分布特征及启示

唐海军1，2，高 晶2

（1．贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550001；2．四川文理学院 数学学院，四川 达州 635000）

选取人教版、北师大版、华师大版初中数学教科书作为研究对象，分别对教科书中数学历史名题的分布年级与来源、名题类型与功能、教科书位置与知识领域、名题情境与呈现方式等指标进行统计分析，并为中国初中数学教科书的编写者及数学教师教学提供参考建议：增加名题的数量，调整名题的位置；整合名题的资源，开展研究性专题教学；优化名题的设计，增强课堂人文氛围；拓展名题的阅读，加深对问题本质的理解．

数学教科书；历史名题；教科书比较

数学历史名题通常是指在数学发展历史长河中形成，并且对数学发展、数学应用和数学教学方面起过或仍起着重要作用的数学问题[1]，其具有经典性、历史性、趣味性等特点．历史名题对数学发展有促进作用，对数学教学有思想方法引领作用，对学生有激发兴趣、进行爱国主义教育的作用．

1 数学名题的价值与研究现状

路易斯·雷德福（Luis Radford）认为在数学课堂中使用历史文本，能够增强学生对数学发展的洞察力；增强对数学在社会中作用的理解；增进对数学主观维度的感知[2]．由于社会中早期的数学问题通常是基于经验和任务导向的，名题的情境常常涵盖堤防修筑、城墙建造、土地税收、粮食储存以及商品价格的计算．因此，法兰克·斯怀兹（F. J. Swetz）认为“在社会历史的后期，人们经常发现同样的问题情境被不断修改以促进数学技术；同时，文化和社会学的信息也可以从解决数学历史问题中获得”[3]．比如初中数学教科书（人民教育出版社，2013年9月版七年级·上册）中“一元一次方程”中的“报酬问题”，反映出封建社会底层百姓的劳动收入情况．

数学名题除了巩固所学知识、提升问题解决能力、促进数学思维形成之外，还能够发挥独特的数学情感教育．“历史问题对学生来说可能是有趣的，但处理这些历史问题需要让他们得到一种感觉，即采用简单的工具和技术就能解决一些生活中的实际问题”[4]，比如华东师范大学出版社2012年7月出版的数学教科书（九年级·下册），在阅读材料中所编写的科学家埃拉托色尼（Eratosthenes）在亚历山大城测量计算地球圆周的近似长度问题；在九年级（上）的例题中编排了泰勒斯（Thales）采用全等的思想测量河的宽度，利用相似原理测量金字塔的高度等问题，都是初等几何学在现实世界中的应用．这有益于增加学生的自信心，帮助他们相信自己的数学学习能力．

国内已有学者对数学历史名题进行了相关研究．概括起来有4个方面．其一，对数学名题本身的研究．例如，高希尧（1982）编有《数海钩沉——世界数学名题选辑》，沈康身（2002）著有《历史数学名题赏析》，单墫（2002）著《数学历史名题辞典》，他们的成果为后续的教科书编写、数学教学、相关研究提供了丰富的素材．其二，在数学史融入初中数学教科书的研究中，通过教科书比较[5-6]提到数学名题的数量和分布．例如，王振辉指出在数学史融入中学数学教科书时，增加历史知识的介绍形式，可选择历史名题作为教科书的例题或练习题[7]；陈碧芬统计得出北师大版教科书为几乎所有的历史名题附上了翻译，这样的翻译“就为数学学科中的古文阅读能力给出了较为合理的定位，而且为学生展示了中国古文在表达数学问题时存在的困难”[8]．其三，聚焦于数学历史名题的研究．例如，刘艳红的硕士论文研究了数学名题的定义、分类、在数学发展与数学教育中的地位与作用[9]．其四，研究数学历史名题的价值．例如，刘超认为数学名题对数学教育和HPM研究都具有重要的价值，在此基础上提出了HPM视角下的问题解决教学过程与策略[10]；黄娈在高中数学课堂开展教学实验，充分发挥数学名题的效应，经过两年的教学实践，收到了良好的效果与经验[11]．

综上所述，已有研究[5-8]对数学历史名题的价值与应用已有一定的认识基础，但也存在着由于没有明确的统计标准，导致不同文献对同一本教科书的统计数据出现差异的现象，或仅是对数学名题进行了特征归类与解题列举[9-11]，尚缺乏对初中数学教科书中历史名题的分布特征与教材编写、教学设计与资源开发之间关系的深入研究．然而，初中数学教科书的内容虽然只涉及到初等数学，但它“本质上是一个有潜力的宝库”（如，含有丰富的历史名题）．为促进利用这一宝库，数学教师的教学目标不应仅仅停止在澄清一个古老的原始文本，而应该始终是将历史主题的实际关联性带到学生对当今和未来世界的把握上[12]．同时，教科书不仅在课程开发中发挥了很大作用，更为教师提供了一个连贯性的框架来指导教师的工作．除此以外，教科书还帮助教师定义了要教的数学知识和一定数量的练习[13]．因此，对不同版本的初中数学教科书中数学历史名题的分布特征进行比较研究，有利于教科书编写者审视数学历史名题在教科书中的现状，更有益于开阔数学教师对教科书解读的视野，有助于数学课堂的教学．

2 研究设计

2.1 研究问题

基于数学历史名题的价值与研究现状的分析，确定此项研究主要聚焦于以下两个问题．

（1）中国初中数学教科书历史名题的分布有什么特征？

（2）对教科书编写、教学设计、学习指导有什么启示？

2.2 研究对象与方法

研究选取影响力较广的人民教育出版社2013年9月发行的《义务教育教科书·数学》（以下简称人教版）初中教科书共6册，北京师范大学出版社2014年7月发行的《义务教育教科书·数学》（以下简称北师大版）初中教科书共6册，华东师范大学出版社2012年7月发行的《义务教育教科书·数学》（以下简称华师大版）初中教科书共6册，作为研究对象．研究上述教科书所含历史名题的分布特征与数量．根据数学历史名题的定义、特点，基于两条标准进行选择，一是明确以问题形式呈现，要求学生思考解答；二是教科书中标注了“古算题”“历史名题”，或有溯源著作等辅助性说明文字的题目，或数学史上公认的经典问题、重要事件改编的问题．研究方法采用内容分析法，参考已有研究维度，制定分析框架，统计分析教科书中的历史名题，以数据来描述对象所含名题的特征，获得规律与启示．

2.3 分析框架

基于内容分析法的教科书研究，常采取对来源不同的教科书进行比较研究的设计，来凸显“不同时代、不同地区、不同文化、不同国别、不同利益集体的教育信念和价值观，以及教育思潮的兴起与衰落”[14]．教科书中历史名题的分布特征包含它们分布的年级与源自的国家或地区及著作、名题的类型与作用、教科书中的位置与所属知识领域、承载名题的情境与呈现方式以及3个版本教科书中都出现的典型名题．

题目的类型主要分为画图题、计算题、证明题、说明说理题、实验题．题目的作用包括情境导入、样例展示、随堂练习（基础知识）、综合运用、拓广探索．教科书位置包括章节主题图、正文（例题）、练习习题、课外阅读与思考．分布领域根据中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学课程内容划分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等4部分内容，为了更具体地呈现数学名题的分布，研究选择名题所在章的标题划分分布领域，如“有理数”“勾股定理”．名题的情境借鉴鲍建生对习题情境的划分（无情境、个人生活、公共常识、科学情境）[15]，并在此基础上修改为“数学情境、个人生活、社会生活、科学情境（不含数学）”．名题的呈现方式包含数学史融入方式与题目表现形式，融入形式包括复制式、顺应式、重构式[16]，具体统计指标内容如表1所示．

3 研究结果与分析

3.1 分布年级与名题来源

了解数学历史名题在各年级分布以及它们的来源国家或地区与出处，有助于从整体上认识不同版本教科书名题的分布特点．通过统计获得人教版、北师大版、华师大版初中3种教科书中所含数学历史名题的年级分布，如表2所示．

表1 数学历史名题统计部分指标具体内容

表2 数学历史名题分布年级

由表2知，从数量看，北师大版最多，华师大版其次，人教版最少．从分布年级看，人教版主要分布在八年级下册，占相应版本历史名题总量的43.48%，北师大版与华师大版主要分布在八年级上册，分别占比44%和37.04%．3个版本教科书的数学历史名题都集中在八年级，出现这种聚集现象可能与名题集中在某一知识领域或某一章节有很大关系．

名题源自国家或地区有两类，其一是某一名题源于独特的文化地域，例如，华师大版引入的“荡秋千”问题，这是明朝数学家程大位在《直指算法统宗》中用西江月词牌所写的几何名题．作者把利用勾股定理、相似原理求解直角三角形的问题巧妙地融入一个东方少女荡秋千的欢乐场景，合辙押韵，意象优美．其二是部分历史名题涉及多个独立的出处，比如勾股定理应用中提到的“折竹抵地”问题出现在中国的《九章算术》中，但在古代印度数学家婆什伽罗Ⅰ、普里图达卡、阿耶波多Ⅱ的著作中也有出现．同时，“同一问题不但可以在不同的社会中找到……还可以赋予历史上不同时代的数学问题保持其连续性”[17]．正如“勾股定理曾先后在不同国家或地区被不同民族所发现，成为一种标志性的文化事件而载入这些国家或地区的文明史”[18]．类似于教科书中出现的采用毕达哥拉斯法、中国“青朱出入图”、古印度“无字证明”等不同方法证明勾股定理的例子，若涉及多个独立起源的历史名题，统计时归属于不同国家或地区．

由表3可知，数学名题来源主要是文明古国中的中国与古代希腊．中国作为东方文明的主要发源地与保存地，数学发展已经有几千年的历史，留下了《周髀算经》《九章算术》《算学启蒙》等一大批著作和数学成果[19]，其中的《九章算术》以246个与生产、生活实践有联系的应用问题为主体，以问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明）为主线，尤其值得关注．由于该书涉及到实际问题解决，“这些问题作为主要的教学来源，被他们的作者仔细地选择，既有用，又展示了他们的数学艺术的状态”[17]，因此，后世数学家将其作为数学学习必备之材料，甚至唐、宋时期还明令规定为教科书．进一步统计知，这些名题中源于《九章算术》的历史名题，人教版有4题，北师大版有9题，华师大版中有4题，可见编写者对中国古代经典数学著作的重视．古希腊作为西方文明的主要起源地之一，涌现出誉为古希腊三贤的苏格拉底、柏拉图、亚里士多德，以及泰勒斯、毕达哥拉斯、阿基米德、欧几里德、阿波罗尼奥斯等一大批数学大家，留下《几何原本》《圆锥曲线论》等旷世著作，许多的初等数学知识就来源于这些著作之中．

表3 数学历史名题分布

注：表中阿拉伯指的是古代阿拉伯文化所在区域．

3.2 名题类型与功能

数学历史名题的类型主要包括为画图题、计算题、证明题、说明说理题、实验题等5种形式．经统计知，人教版、北师大版、华师大版数学教科书中的历史名题最主要的类型是计算题，分别占总数的65.38%、78%和66.67%；其次是证明题，分别占30.77%、8%和18.52%；其它类型占比均较小．例如，人教版在九年级上册概率部分安排了1道“布丰投针”问题的实验题．北师大版、华师大版均有1道作图题和设计题涉及数学历史．这反映出数学教科书中的名题类型集中于计算题目，题型的分布还不够均衡与多样．出现这种情况的可能原因有以下两点．（1）与中国初中数学课程标准中各知识领域的分布比例有较大关系，据吴立宝、曹一鸣以2008年出版的人教版初中数学教科书为样本，调查获得“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”3部分平均所占的百分比分别为：49%、41%和10%[20]，计算题主要分布在“数与代数”领域；（2）近年来初中数学教科书中几何证明内容的比重在下降，同时“淡化证明”，强化说理[21-22]，使得几何历史名题的选用受到课程标准对于例题习题难度的限制，导致几何名题较少出现在教科书中．

由表4知，人教版、华师大版数学名题的功能主要是课堂学习内容的拓广探索，分别占47.83%和66.67%，目的是扩大学生的知识面；北师大版数学名题主要在综合运用型题目中，占相应版本名题总量的36%，所涉及知识重在解决问题．据此推测，华师大版对数学名题的定位偏向于开拓学生数学相关概念、定理的历史视野与文化育人功能（通过后续名题分布位置的数据，也能印证这一结论）；北师大版对于数学名题的定位偏向于以名题为载体的知识应用，而人教版介于这两者之间．初中学生正处于培养数学抽象、逻辑推理等核心素养以及渗透数学文化素养的过渡期、关键期，在数学各个题型、具体知识中，编排数学发展史上的经典名题，做到“为教育而历史”和“依历史而教育”[23]，可以实现数学史与数学教育和谐融合．数学历史名题既具有情境载体、方法示范、巩固所学、实践运用等作用，又可以在数学文化育人方面发挥出独特的功能．

表4 数学历史名题功能统计

3.3 教科书位置与分布领域

名题分布在教科书的位置有章节主题图、例题、练习与习题、阅读思考．通过统计知，各版本数学历史名题所处位置集中在课堂练习与习题栏目中，人教版、北师大版、华师大版各占65.22%、64%和51.85%．对于教科书中的阅读思考材料，3个版本也编排有大量的数学史题目，各占相应版本历史名题总量的26%、22%和40.74%．以数学历史名题作为章节的主题图在北师大版教科书中出现了6次，比如在“一元一次方程”这章主题图中给出了《希腊诗文选》收录的丢番图墓志铭，在八年级上册“勾股定理”一章的主题图给出了“蜘蛛与苍蝇”问题[24]（该问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是19世纪英国著名的谜题创作者H·E·杜登尼所给出的），尤其是《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题还分别成为了“二元一次方程组”所在章和“解二元一次方程组”所在节的主题图．可见这些经典历史名题在数学教科书的情境创设、思想引领、方法示范、文化熏陶等方面有着重要的地位．正文例题方面，人教版和华师大版各有2道历史名题，分别占相应版本名题总量的8.7%和7.4%，北师大版只有1道，占2%，由此说明教科书中处于例题位置的数学历史名题占比都很低，有待加强．

为进一步获得3个版本教科书数学历史名题分布特征，研究中统计了数学名题相对集中的领域，具体分布见表5．

表5 主要历史名题所处知识领域及占总名题量比例

由表5知，3个版本教科书历史名题的分布并不均匀，主要集中在有理数与实数的发展史、方程与方程组解决“数学化”的生活问题、勾股定理与相似图形解决三角形问题这3个大的知识领域．特别是勾股定理，3个版本比例分别达到34.78%、24%和25.93%．这也从某个侧面反映了教科书的编写者具有强烈的共识，即上述的数学内容都是能够蕴含数学文化的合适题材．然而，初中数学中的函数与不等式、四边形与圆、概率与统计等内容鲜有数学名题呈现，教科书编写者需要在这些方面补充适量的历史名题．

3.4 名题情境与呈现方式

了解数学名题的题材情境及教科书对这些题目的呈现方式，有助于教师解读教科书，弄清编者意图．不同情境的数学历史名题在不同版本教科书中的分布情况如表6所示．

表6 不同情境的数学历史名题分布

由表6知，人教版与华师大版的数学历史名题以数学情境为主，各占43.48%和44.44%；北师大的数学名题情境主要是社会生活情境与数学化的情境，分别占该版名题总量的40%和38%，而反映个人生活场景与自然规律、科学现象情境的名题都相对较少．数学历史名题可间接反映当时社会的关注焦点，如粮食收获、存储和交易，反映出他们的农业状况．历史上，数学教学和学习的目的是让学生解决一些感兴趣的社会问题．这样的问题也提供了许多可供当代学生在课堂上学习的素材．学生可以在解决源于几个世纪前的问题时，产生一定的兴奋和某种满意的体验．因为，某种意义上，带有生动情境的数学历史问题能让学生触摸过去[3]．

数学历史名题的呈现方式包括数学史融入教科书的方式，以及外在的表现形式两个方面．数学史以名题为载体融入教科书的方式主要有复制式、顺应式、重构式．复制式是对数学历史中的古算题、名题，用现代数学语言直接翻译而来，只需要学生解答这些题目即可．通过统计知，人教版、北师大版、华师大版教科书中数学名题融入方式主要是复制式，分别占比47.83%、40%和48.15%．比如北师大版八（上）引自《算法统宗》的“以绳测井”、《孙子算经》的“僧分馒头”等问题都是复制式．顺应式是情境不变，问题或解法发生改变，3个版本各占34.78%、36%和29.63%．重构式指的是借鉴历史名题的原型，根据学习任务特征，改变情境和求解的问题．由统计知，重构式名题均较少，3个版本分别占比17.39%、24%和22.22%．因而要进一步发挥名题的作用，就需要教师在教学设计时自身下功夫钻研教科书，把名题重新解构，取其思想方法精髓，编制新的变式题目．

数学历史名题的表现形式有头像、图片、文字、图形、符号、图文等多种常见方式（限于篇幅不再赘述具体表现形式的数据分布）．如北师大版九年级上册“刘徽与《海岛算经》”问题，既有文字对作者情境的介绍、有图片呈现作者头像，又有现代数学的符号语言描述测量海岛的高度，并配置以山高示意图．这有利于学生降低认知负荷，理解历史名题的涵义．对于同样问题，人教版教科书还配有《海岛算经》中题目的原古文，这一细节的处理，既有助于说明古汉语学习对于了解中国古代数学的重要价值，也有利于学生更好地理解和解决这类问题．

3.5 不同版本教科书均出现的数学历史名题

3个版本教科书中都出现的数学历史名题如表7所示．除表7中的名题外，涉及二次根式的“海伦—秦九韶公式的应用”问题、勾股定理练习题中的“杆子靠墙”（出现在古巴比伦泥板）问题或“云梯靠墙”问题、毕达哥拉斯数问题、泰勒斯测金字塔高度与测河宽问题等均出现在至少两个版本的教科书中．总之，上述历史名题在两个或多个版本的教科书中出现，一方面在某种程度上体现了它们训练思维、巩固新知与拓展视野的重要作用；另一方面，也显示了它们更能够作为数学教育教学中实施“立德树人”、课堂德育、美育的极佳素材，所以，初中数学教师要高度重视这些经典问题的独特价值．

表7 3个版本教科书的相同数学历史名题统计

4 研究结论与启示

4.1 主要结论

从上述统计分析，可以概括出3个版本初中数学教科书中历史名题在编写上的特征．

（1）从数量上说北师大版教科书分布的数学历史名题最多，华师大版、人教版相对较少；3个版本的历史名题主要集中在八年级（八年级《勾股定理》一章分布的历史名题较多）；名题来源国家或地区主要是古代中国与古希腊；源于《九章算术》的历史名题，人教版有4题，北师大版有9题，华师大版中有4题．

（2）3个版本数学历史名题主要的类型是计算题；人教版、华师大版分布的数学历史名题功能主要是用于课堂学习内容的拓广探索，而北师大版数学历史名题主要分布在综合运用型题目中，所涉及知识重在解决问题．

（3）3个版本数学历史名题所处位置集中在课堂练习与习题栏目中；教科书中历史名题的分布并不均匀，相对集中于一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、勾股定理、相似图形几个知识领域．

（4）人教版与华师大版的数学历史名题以数学情境为主，各占43.48%和44.44%；北师大版的数学名题情境主要是社会生活情境与数学情境，分别占该版名题总量的40%和38%；3个版本教科书中数学名题融入方式主要是复制式，数学名题的表现形式有头像、图片、文字、图形、符号、图文等多种方式．

（5）丢番图墓志铭、鸡兔同笼、引葭赴岸等至少12个典型的历史名题在3个版本教科书中均有出现；而“海伦—秦九韶公式的应用”、勾股定理练习题中“杆子靠墙”或“云梯靠墙”、毕达哥拉斯数、泰勒斯测金字塔高度与测河宽等问题均出现在至少两个版本的教科书中．

4.2 启示

4.2.1 增加名题的数量 调整名题的位置

（1）增加数学历史名题的数量．

《义务教育数学课程标准（2011版）》在教材编写建议中指出教材要适时地介绍数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣．随着中小学数学课程改革的不断深入，课程标准中所提倡的把数学史作为理解数学的一个基本途径的理念逐渐为人们所接受[1]．数学课堂中出现的一些数学题，可以找到与之相对应的历史名题，它们都可以成为学生学习相应内容的重要素材．通过表2和表5知，相比北师大版，人教版与华师版数学教科书中历史名题的数量较少，所以修订教材时不妨在分式及分式方程、函数、不等式、四边形、圆、概率等领域，再适当增加一些在数学课程标准所规定的难易范围内的历史名题．比如，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170—1250），在13世纪就提出了分式方程，并在其《计算之书》第15章中给出了这样一道分式方程问题：“若干人平分10第纳尔，每人得若干；若加上6人，再平分40第纳尔，则每人所得与前面相同，求第一次分钱人数？”该样例符合“可化为一元一次方程的分式方程”的课程标准要求，适合作为例题或习题使用．

从纵向比较来看，以人教版为例，2013版“一元一次方程”这章与2004版相比，保留了古埃及纸草书问题、报酬问题、丢番图墓志铭问题、良马驽马问题，却减少了并没有超出课程标准要求的“买布问题”“牧童数羊”两个历史名题．对于以往教科书中，经典的且符合课程标准要求的历史名题应予以补充进来．从横向比较来看，教科书修订时可借鉴其它版本使用的数学名题，从而丰富教科书内容．如北师大版八年级（上）在二元一次方程组这章引入了《九章算术》中的“盈不足术”问题，虽在现代数学中是用矩阵求解线性方程已无需用“盈不足术”，但在计算高次方程数值解或函数方程ƒ()=0的实根近似值时，有时还要用到盈不足术的求解公式．钱宝琮先生认为“这些内容真正代表中华民族传统文化特色，在国外都非常有影响”[25]，应该写进中学数学教科书中．这对于学生今后学习算法、程序语言起到认知铺垫作用，进一步培养数学运算的核心素养．其它版本教科书编写时，可将此问题作为方程组的课外阅读材料补充进入初中教科书．

（2）调整数学历史名题的位置．

例题是教科书中概念定理与习题间的桥梁和纽带[26-42]，对学习者具有呈现方法、展现思维、巩固新知、格式示范、文化育人的作用．通过表4知，历史名题在样例栏目分布较少，所以建议将部分经典的数学历史名题调整到例题的位置，引起学生重视名题的价值．例如，在3个版本的一元一次方程这一章中均出现的“合作问题”，其中人教版为“两工程队合作铺设管线问题”．该类相似的问题在西方较早出现在古希腊数学家海伦的《度量》一书中，称之为“水池注水问题”，后被收入丢番图的《算术》中[43]；在东方，中国的《九章算术》均输一章中也有类似水池注水问题．到了13世纪，斐波那契在《计算之书》中首次将注水问题改为水孔排水问题，该类问题也成为15至16世纪欧洲数学教科书的常用问题．随着时代发展，数学家或者教科书编写者根据学生生活情境的变化而改编该问题．现在，小学数学教学中常称其为“工程问题”．这样的数学名题既可以被应用于小学算术应用题，又可作为初中一元一次方程的问题情境．因此，在算术过渡到代数阶段，它们自然是适合于课堂教学的理想的数学问题[43]．正如“合作问题”这类历史悠久、模型典型、知名度高的数学问题，建议教科书编写时放入到例题中并注明其来源．

4.2.2 整合名题的资源 开展研究性专题教学

法兰克·斯怀兹（1989）认为，“很多教师认为数学史如果纳入学校的课程，可以通过利用数学史料来丰富其教学．如果这种丰富性仅仅是在一个已准备就绪的拥挤课程中汇集更多事实性知识，那么历史材料对课堂教师的效用和吸引力是有限的”[3]．数学历史名题很多，无法全部纳入教科书中，因而需要对丰富的名题资源进行整合，以历史名题为载体，开展研究性的专题教学．同时，表4也反映出3个版本教科书的数学名题主要功能是定位于拓广探索，实施研究性教学是落实教科书这一特定编写意图的重要举措．通过统计可知，有些历史名题在2个或3个版本教科书中都出现了，说明这些名题是数学史中具有代表性与影响力的问题，可作为开展研究性教学的题材．

教师要利用已有的课程资源，充分发挥数学名题所蕴含的数学思想方法、数学文化的价值，开展教学实验与研究．其步骤为：首先，分析名题的诞生和发展历程；其次，对数学发展史上解决该问题涌现出的不同思想方法进行比较；最后，介绍该问题的推导延伸以及在复杂情境中的应用．例如，勾股定理中“蜘蛛与苍蝇”问题（又称为蚂蚁最短爬行路径问题），既是应用勾股定理解决问题的经典案例，又是中考常遇到的基本题型．为突出学生的主体地位，保障专题的教学效果，可将该问题作为课外作业提前安排给学生自学探究．因为“历史问题广泛分散在课堂练习和家庭作业中，可能更有效．喜欢提前给学生指定‘一周的问题’的教师会发现历史问题很好地符合自学探究的任务”[44]．

4.2.3 优化名题的设计 增强课堂人文氛围

路易斯·雷德福认为引入数学史“可以帮助学生理解数学只有在其自身文化的历史情境下产生的意义”[2]．数学历史名题的背景“反映了正式历史书中很少承认的，而当时社会迫切需要的日常生活方面．这样的问题不仅限于古代社会，而且在数学史上一直出现到现在为止”[17]．人教版、北师大版和华师大版中源自中国的数学历史名题各占47.83%、44%和37.04%，较高比例的分布有其合理性．因此，教师要立足中华传统文化来审视中国的数学教科书，在数学教学情境的创设时，做到文化与科学的有机融合．

比如在设计“一元二次方程”这一课时，一方面补充教科书中没有出现的历史名题，另一方面取材几何内容，可作如下的两个问题情境设计．（1）1275年中国南宋数学家杨辉提出：“直积（矩形面积）八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？（2）一根长10米的竹竿，斜靠在墙壁上．顶端A到地板的距离为8米．若推动A端使之下移1米，情况怎样？这两个教学情境体现出数学是人类智慧的历史积淀，构成了人类最广泛、最基础的人类文化内容之一．第一个问题情境用到南宋数学家杨辉的问题引入，弘扬了中国的传统数学文化；第二个问题情境是源自古巴比伦时期的数学泥板记录的“竿子靠墙”问题（这类问题在北师大版、华师大版教科书“勾股定理”一章习题中均有呈现），同时也是一个简化的静力学问题．这样的设计引发学生深入思考，培养中学生的科学精神，也对学生人文与科学教育起到潜移默化、文理交融的效果．

4.2.4 拓展名题的阅读 加深对问题本质的理解

数学历史名题在教科书位置的分布上，主要是在课堂练习、章节习题以及拓展性的阅读材料之中．初中数学教学中，教师注重于教科书的正文（例题）的使用，章节习题答案的核对、评讲纠错，而较少去关注章节主题图和课后阅读性材料的学习指导，导致教科书的文化育人功能并没有充分发挥出来．因此，教科书在编写修改时可以提供拓展性历史名题阅读的网址或者二维码，便于师生获得更多相关知识的学习材料．同时，教师也要指导学生阅读一些拥有数学历史名题的著作，来拓展数学视野，比如阅读汤服成、蒋延炉编著的《古今中外著名算题趣读及详解》，法国数学教育家巴宾（Evelyne Barbin）主编的《数学史与历史名题》等．

在广泛的阅读中，比较不同版本教科书对于同一问题的编写特点，分析同一问题在不同地区的数学发展史上的表现形式，有利于学生把握问题的本质．例如，勾股定理应用中的“竿子靠墙”问题在北师大版、华师大版教科书中均有编排，而实际上该问题在不同地区也先后有出现，例如[3]，古巴比伦时期数学泥板记载的“一根30英尺长的横梁靠墙站着．上端滑了6英尺．下端移动了多远？”；中国的《九章算术》中有“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”13世纪，意大利的斐波那契在《计算之书》中给出了“一支20英尺长的长矛靠在塔上．如果它的末端被移出12英尺，那么长矛顶端下滑了有多远？”学生在广泛的阅读过程中，抛开情境的外衣，比较、归纳获得共同的问题模型，从而真正做到对定理的实质性理解．

为了使今天的数学教科书更人性化，显然，“数学必须附着于真实的人类——真实的人类行为、制造和思考——它必须与真实的人类环境、社会和智力的倾向相联系”[44]．教科书所选择的数学历史名题也一样，只有与人类生产生活以及学习密切相关的，有着重要的数学思想方法的题目才能够世代相传，成为经典．

[1] 李晓艳．数学名题的教育价值[D]．大连：辽宁师范大学，2011：2，14-15．

[2] RADFORD L. Reflections on history of mathematics: History of mathematics and mathematics education [M] // FRIED M N, DREYFU T. Mathematics & mathematics education: Searching for common ground. New York: Springer, Advances in Mathematics Education series, 2014: 89-109.

[3] SWETZ F J. Using problems from the history of mathematics in classroom instruction [J].The Mathematics Teacher, 1989, 82 (5): 370-377.

[4] SAVIZI B. Applicable problems in the history of mathematics: Practical examples for the classroom [J]. Teaching Mathematics and It’s Applications, 2007, 26 (1): 45-50.

[5] 刘超．初中数学教材中数学史内容比较分析[J]．教学与管理，2011（9）：68-70．

[6] 赵倩，谢颖．初中数学教科书中数学史内容设置的比较研究[J]．长春师范大学学报，2016，35（2）：139-143．

[7] 王振辉，汪晓勤．数学史如何融入中学数学教材[J]．数学通报，2003，42（9）：18-21．

[8] 陈碧芬，唐恒钧．北京师范大学版初中数学教材中数学史的研究[J]．数学教育学报，2007，16（2）：95-97．

[9] 李艳红．数学名题与数学教育[D]．大连：辽宁师范大学，2004：1．

[10] 刘超．数学名题与研究[J]．新疆兵团教育学院学报，2008，18（3）：29-32．

[11] 黄娈．在数学教学中发挥数学名题效应[J]．中学教学参考，2009（5）：21．

[12]  LUTZ FüHRER. The use of the history of mathematics in the teaching of mathematics [J]. The Mathematical Gazette, 1992, 76 (475): 127-138.

[13]  HOWSON G.The development of mathematics textbooks: Historical reflections from a personal perspective [J]. ZDM, 2013, 45 (5): 647-658.

[14] 张倩，黄毅英．教科书研究之方法论建构[J]．课程·教材·教法，2016，36（8）：41-47．

[15] 杨凡，吴立宝．中美初中数学教科书习题比较研究——以中国人教版和美国IM版为例[J]．数学教育学报，2014，23（5）：56-59．

[16] 汪晓勤．法国初中数学教科书中的数学史[J]．数学通报，2012，51（3）：16-23．

[17]  SWETZ F J. The history of mathematics as a source of classroom problems [J]. School Science and Mathematics, 1986 (1): 33-38.

[18] 宋运明．中国初中数学教材中勾股定理内容编写特点研究[J]．数学教育学报，2017，26（3）：44-48．

[19] 张红．数学简史[M]．北京：科学出版社，2007：64-99．

[20] 吴立宝，曹一鸣．初中数学课程内容分布的国际比较研究[J]．教育学报，2013，9（2）：29-36．

[21] 马迎秋，曹一鸣．初中数学教科书几何推理的国际比较研究[J]．基础教育，2018，15（3）：52-65．

[22] 曹一鸣，吴立宝．初中数学教材难易程度的国际比较研究[J]．数学教育学报，2015，24（4）：3-7．

[23] 郑毓信．小学数学教师专业成长的“中国道路”[J]．数学教育学报，2018，27（6）：1-6．

[24] 徐鸿斌，张维宗．从一道历史数学名题谈研究性学习[J]．数学通报，2004，43（7）：31-32．

[25] 中国科学院自然科学史研究所．钱宝琮科学史论文集[M]．北京：科学出版社，1983：83-96．

[26] 王晓丽，张明亮．中美初中数学教科书有理数例题的比较研究[J]．数学教育学报，2018，27（6）：67-71．

[27] 李海东．基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考[J]．数学教育学报，2019，28（1）：8-11．

[28] 曾峥，杨豫晖，李学良．数学史融入初中课堂的案例研究[J]．数学教育学报，2019，28（1）：12-18．

[29] 苏洪雨．基于问题设计的数学微探究评价体系构建[J]．数学教育学报，2019，28（1）：19-24．

[30] 何声清．数学教师KCS与学生认知的一致性研究——以“概率”内容为例[J]．数学教育学报，2019，28（1）：25-29．

[31] 刘婷，陈倩．高中生订正数学错题态度量表的编制和检验[J]．数学教育学报，2019，28（1）：30-36．

[32] 陈志辉，孙虎，周芳芳．上海七年级学生“平行”概念表征与转译的调查研究——基于数学核心素养的视角[J]．数学教育学报，2019，28（1）：37-42．

[33] 黄翔，童莉，李明振，等．从“四基”“四能”到“三会”——一条培养学生数学核心素养的主线[J]．数学教育学报，2019，28（5）：37-40．

[34] 李红云，朱文芳，伍春兰．学生统计思维发展水平划分探究[J]．数学教育学报，2019，28（5）：41-46．

[35] 邓清，夏小刚．数学思维视域下“教表达”的再认识与思考[J]．数学教育学报，2019，28（5）：47-50．

[36] 吴宏，张珂，刘广军．数学写作融入初中数学教学的实验研究[J]．数学教育学报，2019，28（5）：51-58．

[37] 渠东剑．素养导向下的学业质量评价探讨[J]．数学教育学报，2019，28（5）：59-64．

[38] 陈婷，孙彬博，张彩云．百年高中数学课程能力目标发展的回眸与反思——基于课程标准（教学大纲）的文本分析[J]．数学教育学报，2019，28（6）：5-9．

[39] 严必友，宁连华，赵静亚．高中学生数学书写状况的调查研究[J]．数学教育学报，2019，28（6）：10-15．

[40] 斯海霞，叶立军．浙教版初中数学拓展性课程教材编写特点及改进建议[J]．数学教育学报，2019，28（6）：16-20．

[41] 赵文君，莫雅慈，曹一鸣．初中数学教师新课程实施情况及影响因素研究——以成都市龙泉驿区导学讲评式教学为例[J]．数学教育学报，2019，28（6）：21-26．

[42] 孙思雨，朱雁．初中生数学自我效能感及其校准性的调查研究[J]．数学教育学报，2019，28（6）：27-32．

[43] 汪晓勤．HPM：数学史与数学教育[M]．北京：科学出版社，2017：239-244．

[44]  FRIEDM N. Can mathematics education and history of mathematics coexist [J]. Science & Education, 2001, 10 (4): 391–408．

The Distribution Characteristics and Inspiration of Famous Problems in Chinese Junior Middle School Mathematics Textbooks

TANG Hai-jun1, 2, GAO Jing2

(1. School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China;2. College of Mathematics, Sichuan University of Arts and Science, Sichuan Dazhou 635000, China)

This study selected the junior high school mathematics textbook series published by People’s Education Press, Beijing Normal University Press, and East China Normal University Press and analyzed historically known problems in these textbook series. In particular, we analyzed the historically known problems included in these three series of textbooks from the following aspects: grade distribution and source, types and functions, location in textbooks and content strands, problem situations and presentation modes. Finally, some suggestions are provided for the textbook writers and mathematics teachers in junior high school: The mathematics textbooks should have more historically known problems and the locations of examples in textbooks should be adjusted; different type of historically known problems should be integrated and inquiry-based teaching related to the historically known problems should be implemented; special attention should be paid to the design of historically known problems and then cultivate mathematical culture in classroom; and students’ reading of the historically known problems should be strengthened and then deepen their understanding of the mathematics embedded in the problems.

mathematics textbook; historically known problems; comparative analysis

G634.6

A

1004–9894（2020）05–0008–06

唐海军，高晶．初中数学教科书中历史名题分布特征及启示[J]．数学教育学报，2020，29（5）：8-13．

2020–02–27

贵州师范大学2018年度研究生创新基金资助项目——初中生数学课堂合作问题解决中的教师干预研究（YC[2018]035）；全国教育科学“十三五”规划一般项目——中学生合作问题解决中认知互动与社会互动及其关系的实证研究（BHA180157）；四川文理学院2016年一般项目——新形势下递进式师范技能训练研究（2016GJ007Y）

唐海军（1982—），男，四川南充人，四川文理学院讲师，贵州师范大学博士生，主要从事数学教学、教科书分析与数学文化研究．

[责任编校：张楠、陈隽]