基于元胞自动机的传染病传播和控制仿真模型

（铜陵职业技术学院 经管系，安徽 铜陵 244061）

由于传染病的特殊性，不可能在实际情况下对传染病的传播和控制去进行真实的研究，因此借助信息技术模拟传染病的传播和控制机制，引发了科研工作者们的新一轮研究热潮。

在现实世界里，传染病的一个重要特点就是在传播过程中偶然和不定性因素很多，因为传染病的传播与它的载体的运动息息相关，而传染病的载体人际间的相互交流、相互活动、相互联系和接触所形成的系统是极为复杂的，并且这些载体具有主动性，他们自身的行为方式对疫情爆发、预防和控制都有影响的，同时外界环境和气候的变化和改变也会对所要研究的问题带来更多的复杂因素[1]。在以往的研究中关于信息舆论传播、疾病爆发方面，研究学者们所做的很多研究，大部分采用的是传统的SIS 和SIR 数学模型。这2 类数学模型是建立在常微分方程的基础上，故其微分动力系统的形式又决定了此类模型的一些缺点：它们对于生活中发生的随机事件不能起到很好的处理作用。计算复杂且无法融入现实中人与人间的各种接触模型，用来模拟疾病传播有其明显不足，忽略了传播过程的局部特性[2]。另外，这类基于解析范式的动力学模型亦不能很好处理实际情况中的随机和突发事件。由于现代计算机技术的发展，大规模的数学计算与仿真为研究SARS、禽流感、埃博拉、新冠肺炎等传染病的传播提供了非常经济的模拟仿真条件，故很多研究学者转而采用元胞自动机、神经网络等人工智能方法对其传播进行仿真和预测研究。

元胞自动机是一种崭新的思想，不同于传统的处理系统问题的思想和方法，能处理传统方法难以解决的问题，其自下而上的建模方式、强大的计算能力、方法框架的灵活性和开放性的特点使其在具有空间特征的现实系统动态演变方面具有自然性、合理性和可行性[3]，被广泛应用于物理与化学过程的模拟(如晶体微结构演化)、图像处理与模式识别、社会与经济行为(网络舆情演化、突发事件人群疏散、交通运输、流行病及其股票投资行为)模拟、地理与生态领域方面(城市土地利用与扩张、水体污染扩散、生物群落动态演化)、军事战争推演等。文献[4]以核电用钢316LN 不锈钢为研究对象，通过将多级元胞空间的概念引入到传统的元胞自动机模拟框架内，制定了再结晶中的元胞状态转变规则及不同级元胞空间之间的数据传递规则，建立了用于模拟动态再结晶的多级元胞自动机模型并对该模型进行了验证。文献[5]为了研究停电事故发展机理，从事故演化过程中电网各节点电压变化入手，依据元胞自动机理论进行建模。将节点作为元胞，根据静态电压稳定性理论定义了元胞状态以及转换规则，建立了一种考虑节点静态电压稳定性的电网元胞自动机故障演化模型，并定义了电压稳定裕度指标。文献[6]在探讨共享这种新兴经济模式在“三农”领域的应用前景后，提出了一种基于元胞自动机模型的未来共享收割机智能化模式，并采用启发式和遗传算法对模型进行了优化，从而使模型对于农机的共享调度和路径规划更加智能化。为验证方案的可行性，模拟收割机作业情景，采用元胞自动机模型对收割机的共享调度过程进行了仿真计算。结果表明，采用智能化共享模式可以有效缩短农机作业时间及优化作业路径，提高收割机的作业效率。文献[7]针对大规模海面模拟时海面网格建模计算量大，以及海洋表面污染物扩散细节不足的问题，提出一种结合投影网格和元胞自动机的方法来动态模拟大规模海洋表面污染物的扩散漂移。论文引入浓度因子增加元胞自动机模拟污染物扩散的细节，利用高斯平滑滤波改善传统边界细节不足。仿真结果表明，该方法能在实时状态下绘制具有真实感的大规模海面污染物扩散。文献[8]为了检验高校就业政策的有效性，构建基于元胞自动机的招聘单位选择行为模型，从初始元胞数量选择、人岗匹配度、毕业生品牌效应度3 个维度切入，考察毕业生就业市场的演化过程。研究结果为高校就业政策创新提供了有益的指导。元胞自动机理论虽然起步较晚，但将其应用于各个领域，学者们做了不少的研究和尝试。此外，根据元胞自动机的演化和疾病传播的某些相似性，学者们也开始将元胞自动机应用于疾病的传播和控制仿真。

在实际生活当中，传染病的爆发、传播以及衰减都是以空间的形式进行的，同时也遵循一些疾病的传播规律，与元胞自动机处理复杂并行问题在原理上存在共同特性，此外具有邻居结构且以转移规则为基础的元胞自动机理论也与传染病在人群中的传播具有很大相似性。针对传染病传播过程的特点和元胞自动机在模拟仿真方面的优异性，以及元胞自动机的演化和传染病的传播的一些共同特性，本文引入元胞自动机来研究疾病传播发展的规律，对复杂情形下且具有潜伏期特征的传染病传播及控制进行建模和仿真，以此探讨控制和阻断策略对传染病传播的影响。

1 传染病传播的元胞自动机模型

1.1 传染病状态转移假设

参考以往科研文献对疾病传播模型的描述，疾病状态转移过程和演化过程可以用图1 表示。

图1 疾病状态转移

图1 给出了传染病的各个状态转移的流程。从疾病发展的角度来看。接种过疫苗的个体一部分因抗体浓度未达到有效浓度，仍然对疾病没有免疫能力而退回易感状态，这和实际情况下一小部分接种个体仍对疾病未获得免疫能力而感染或容易被传染的情况是相符合的。一部分接种个体抗体浓度达到有效浓度，而在随后一段时间内拥有对疾病的抵抗能力成为免疫者。未接种疫苗的易感个体或者时间超过免疫期失去免疫力的免疫个体被传染后，进入无症状的潜伏期状态，潜伏期过后，进入显露患病特征的感染状态，潜伏期个体与感染个体均可被隔离和接受医学治疗，感染或者治疗中个体会出现一部分死亡的现象，治疗康复后身体内产生较高浓度对抗病毒的抗体，对疾病有免疫能力，但这免疫并不是对免疫者终生拥有的，一部分免疫者经过免疫期后，以一定概率失去免疫能力，成为易感个体。考虑到现实生活中的一些真实状况，在本文介绍的模型中，潜伏期个体、感染个体与参与治疗的个体均具有传染性，但传染性具有强弱之分，在本文当中，接种有效或者患病治愈的个体拥有对疾病同等的免疫能力。

1.2 元胞自动机模型

元胞自动机是新兴的人工智能、人工生命的分支，它对信息的处理是同步进行的。元胞自动机是一个时间、空间和状态都离散的，通过局部元胞的相互作用而引起全局变化的动力学系统模型[9]。它是由元胞、元胞空间、邻居、元胞演化规则和元胞状态组成，是一个由大量简单元素、简单链接、简单规则、有限状态和局域作用所组成的信息处理系统，利用计算机的原理和思想来进行系统的仿真和发展预测。其根本思想就是把系统看成元胞空间，将元胞空间分解成为很多个单元，根据元胞空间中相邻单元之间存在一定规则的作用关系，元胞空间里的每个单元的状态在这些简单的规则作用下不断进化得到仿真结果[10]。故元胞自动机在应用中，确定元胞的邻居分布类型、元胞状态集合、状态演化规则是十分重要的，只要通过适当的方法找到这些规则，复杂的系统就可以利用这些规则来预测系统未来的发展情况。元胞自动机具有适合于非结构问题的信息处理和系统建模，在模拟仿真中没有误差积累，适合并行处理以及元胞相互作用的局域性等优点，使其具有模拟复杂系统时空演化过程的能力，理论上和实用上的潜力是非常巨大的。

元胞空间为n×n的正方形区域，采用Moore 摩尔型的邻居形式，每一个元胞拥有上下左右、左上、右上、左下、右下8 个邻居元胞，邻居半径同为1，元胞及其邻居构成一个矩阵。如图2 所示。

图2 元胞邻居Moore 形式

元胞自动机是一个状态随时间发生动态变化的系统，但是系统的物理拓扑结构是保持不变的。用一个数学公式来表示元胞自动机，可以概括为一个四元组，用如下形式来表示：

其中，A表示一个元胞自动机系统；Ld表示d维的元胞空间构型，即在元胞空间上所有元胞状态的空间分布组合；d为空间维数，本文d取2，即元胞空间为2 维的矩阵空间；L为整数，L×L表示元胞空间网格的规模；S表示所有有限的离散的元胞状态集合；N表示邻域内以某一元胞为中心的所有元胞的组合；f表示元胞状态局部转换函数，也就是演化规则，是事先制定的用来约束元胞自动机状态的规则集合。在实际应用当中，一个元胞自动机模型是否成功，关键在于规则设计是否合理，能否客观地反映现实系统内在的本质特征。因此，演化规则的设计是整个元胞自动机分析的核心[11]。

确定初始状态：初始状态指已经确定的经过分割的各元胞的演化初始值，是影响元胞自动机演化布局的源头。初始状态变化时，整个演化结局将会完全不一样，说明初始状态是一个影响系统状态的因素[12]。在二维网格中，以随机概率产生的患病状态的有限个元胞，其余元胞则处于易感状态。从t=0时刻开始，在每个时间步长对所有元胞进行扫描，按照制定的的规则进行状态更新。

元胞状态：在此用一个四元集合来描述元胞的状态：

pos(i,j)参数记录元胞在元胞空间的位置，sta参数记录处在(i,j)位置元胞的患病状态，sta(i,j)=0表示对传染病没有任何免疫能力的易感者；sta(i,j)=1 表示已经患病但没表现出症状的潜伏者；sta(i,j)=2 表示已经患病并且表现出症状的患病者；sta(i,j)=3 表示检查出被传染病感染并且被隔离的隔离者，隔离者包含2 类人——被隔离的潜伏者、被隔离的染病者；sta(i,j)=4 表示已经患病并死亡的患病者；sta(i,j)=5 表示已经患病治愈或者有过疫苗接种对传染病有抵抗体的免疫者，由于其体内产生了浓度较高的传染病抗体，在随后一段时间内对传染病有很高的免疫能力；sta(i,j)=6 表示未传染但接受疫苗接种体内抗体没有达到有效浓度的接种疫苗者，但在仿真处理的时候，还是设定6 状态个体不能被疾病传染，直接一步转换为潜伏者和患病者，只是免疫期时间相当短不做设定。设置一个对应的阈值，满足条件的时候将其转变为易感者或者免疫者。inct记录处在(i,j)位置元胞的潜伏期个体的无症状潜伏时间，潜伏时间超过潜伏期，潜伏者变成带症状的感染者；imt记录处在记录处在(i,j)位置元胞的免疫者的免疫时间，免疫时间超过对应的免疫期后，失去对病毒的免疫能力，免疫者变为易感者。

移动：每一时刻，元胞空间内的每一个患病或潜伏期中心元胞以一定的概率将病毒向周围扩散，传染周围8 个邻居中为易感状态的邻居元胞。如图3 所示。

图3 扩散示意图

2 元胞自动机的疾病演化规则

演化规则简单地说，就是一个状态转移函数，记为：

这里f表示演化规则，表示t时刻i元胞的状态；表示t时刻i元胞的邻居元胞的状态。多数演化规则都是基于概率的随机过程而设计的，与传染病传播规律相对应。利用规则系统产生大量的随机数，来描述、模拟真实系统行为和规律。因为疾病传播的行为，带有一定的随机性[13]。规则系统基于随机概率进行设计能够有效地对传染病传播的随机性进行模拟，能使得模型的精确性和扩展性都较为优秀。

2.1 传染规则

(1)潜伏期个体、患病个体及隔离治疗者均具有传染性，均可将易感个体变为潜伏期个体，其中感染个体的传染性最大，其次是潜伏期个体，隔离治疗的个体虽然被隔离但对其他个体仍然存在传染的可能性，故其传染性最小。在每一个时刻，根据每个邻居元胞当前的传染强度，计算位置处在(i,j)的元胞被周边8 个邻居元胞对其传染的最大传染概率pij(i,j)。

在每一个离散时刻，对所有元胞按照一定的分布函数产生随机数，分布着患病状态和潜伏状态的元胞以某一概率与邻近产生随机数的易感元胞进行对比交换。如果随机数＜pij(i,j)，则该易感元胞被传染进入潜伏期状态。易感个体接种疫苗时间达到或超过接种疫苗时间步长(T5)。同时产生的随机数小于接种疫苗力度阈值q4，变为接种疫苗个体。

(2)产生随机数的潜伏状态元胞与潜伏到患病的比例阈值(q6)相比较，如果随机数小于q6，则无症状的潜伏者变成有明显患病特征的患病者。

2.2 疾病控制规则

疾病爆发时对其有效控制阻断其传播，可以从接种疫苗、隔离、医学治疗几方面入手。

(1)产生随机数的接种疫苗元胞与接种疫苗有效概率阈值(q5)相比较，如果随机数小于q5，则接种疫苗者变成在一定时间内(免疫期T4)拥有疾病免疫能力的免疫者。否则，退回易感状态。

(2)潜伏状态时间长度大于潜伏期(T1)或者潜伏状态的时间长度小于潜伏期且产生的随机数小于潜伏者的强制隔离阈值(q1)，则对潜伏者进行隔离，潜伏者变化为隔离者，对其进行隔离医学治疗。

(3)染病者患病特征的时间长度大于T2，T2是从显现患病特征到对其进行医学隔离的时间步长(T2)或者时间长度≤T2且随机数小于q2，q2为染病者的强制隔离阈值，染病者变为隔离者，对其进行隔离医学治疗。

(4)进行隔离治疗的隔离者其隔离治疗时间长度大于患病周期(T3)或者小于患病周期且产生的随机数小于隔离者治愈率阈值(q3)的时候，隔离者变为治愈免疫者。

(5)免疫者免疫状态时间长度≥免疫期(T4)且产生的随机数小于丧失免疫概率阈值(q7)的时候，免疫者变回易感者。

2.3 死亡规则

(1)当患病者元胞产生的随机数小于患病者死亡概率阈值(mortality1)时，患病者变为死亡者，元胞处于死亡状态，不再参与传染。

(2)进行隔离治疗的隔离者产生的随机数小于隔离者死亡概率阈值(mortality2)，隔离者变为死亡者，元胞处于死亡状态，不再参与传染。

上述演化规则里通过产生随机数比较制定演化规则，来模拟病毒传播过程的随机性偶然性，这符合病毒传播的随机特征。参数设置可以根据疾病的特点设置相应的参数，例如患者疾病特征较明显，病情较重，死亡率较高；而隔离者(包括实施隔离的患者、潜伏者)由于采取了医学措施，死亡率明显小于前者。在元胞自动机的演化过程中，网格空间中所有的元胞将基于上述建立的演化规则，在每一仿真时刻将同步更新，局部元胞之间的当前状态决定了下一时刻整个网格空间里元胞的状态。

3 元胞空间内传染病传播与控制仿真分析

仿真参数取值见表1。演化过程中不同时刻的系统状态如图4 所示。同时把疾病传播过程中的潜伏者、患病者、隔离者、死亡者的人数变化用不同曲线描绘出来，如图5 所示。

表1 仿真参数取值表

图4 传染演化过程

图5 传播期间人数变化折线图

从曲线图可以看出，在传播初期传染病传播速度较快，随着时间推移，潜伏者、患病者、隔离者，死亡者的个体人数不断增加，累计人数很快达到高峰，随后开始下降。前3 个状态累计人数下降原因有2 方面：病情严重的患病者病情状态恶化死亡，退出了传播周期，这一点从死亡人数曲线上升可以反映出来；二是后期医学隔离加强、医学治疗措施改善，对疾病的控制效果开始显示出来。最终潜伏者、患病者、隔离者人数降低变为0，而死亡者数量一致维持在某个数值，不再增加。仿真结果中人数变化曲线与现实情况下疾病传播过程中人数变化趋势是吻合的。

如果疾病是烈性传染病，致死率非常高，将mortality1 设定为0.03。mortality1 设定为0.01，其演化状态过程如图6 所示。

图6 高致死状况下的演化过程

从上述的演化过程状态图可以看出，在高致死的传染病传播情况下，死亡人数较前面状况下的死亡人数有大幅上升。人数变化曲线如图7 所示，最终死亡者人数相比于图5 情况下有大幅增加，和现实情况也是相符合的。

图7 高致死率下的人数变化曲线

为了预防疾病和控制疾病传播，可以接种疫苗、加强隔离强度和提高治愈率，都是疾病预防和控制最为有效的方法。在此将接种疫苗、隔离力度和治愈率的对应参数进行调整。得到人数变化曲线如图8 所示。通过加强医学预防和隔离能有效阻断疾病传播，随着时间推移，隔离者、染病者、潜伏者、死亡人数最大值都有不同程度下降(与图5 对比)。由此可见，加强医学预防和隔离，能减少疾病的传播。

图8 预防和隔离下人数变化曲线

元胞自动机仿真结果与实际情况下采用隔离和预防措施下传染病传播的宏观特征是吻合的。同时也表明对于已知和未知的传染病传播，采取积极预防、严格隔离阻断、优化治疗措施对传染病传播的抑制作用是比较明显有效的。

4 结语

将元胞自动机应用于日常生活中经常遇到的传染病的传播仿真，避免了传统的复杂计算量庞大的微分方程形式求解运算分析，客观有效地反映了疾病传播的动态过程，也得到了与现实情况相符的结果，同时验证了预防和控制传染病的有效策略。应用结果表明了元胞自动机模型应用于传染病传播仿真是合理的、高效的。元胞自动机模型也可应用于产业聚集、公共突发情况的人群疏散、城市交通模拟、污染扩散模拟等领域，具有广阔的应用前景。