一类各向异性椭圆问题的比较定理

朱秀丽

(东北电力大学理学院，吉林 吉林 132012)

考虑下列各向异性椭圆问题

(1)

边界条件为

(2)

其中：Ω⊂RN是一个有界开区域，N≥2.

问题(1)-(2)源于在流体力学和假塑性流体的某些应用[1-4]，并且受到很多学者的关注[5-9].在此类问题的研究中，比较定理使得我们可以用上下解的方法得到方程解的先验界[7-9]，因此比较定理在解的存在性研究中起到非常重要的作用.

1 主要定理和证明

定理1设问题(1)-问题(2)中fi，i=1，2，…，N-1，g，P和f满足以下条件：

(A1)fi：[0，+∞)×Ω→[0，+∞)，i=1，2，…，N-1，是连续函数，并且fi(·，x)(i=1，2，…，N-1)对于每一个x∈Ω为单增函数；

(A2)g：(0，+∞)×Ω→(0，+∞)是连续函数，并且g(·，x)对于每一个x∈Ω为单减函数；

(A3)K：[0，+∞)→[0，+∞)是连续函数；

(A5)f：(0，+∞)×Ω→(0，+∞)是连续函数，并且f(·，x)对于每一个x∈Ω为严格递减函数.

进一步假设：

(3)

φxixi≤0，i=1，2，…，N-1，

(4)

(5)

Φxixi≤0，i=1，2，…，N-1，

(6)

用公式(5)减去公式(1)，得到

g(Φ，x0)K(|Φ|)-g(u，x0)K(|u|)=(g(Φ，x0)-g(u，x0))K(|u|)≥0.

由(A4)与(A5)，有P(x0)(f(u，x0)-f(Φ，x0))<0.

从而

用公式(3)减去公式(1)，得到

-g(u，x)K(|u|)≥P(x)(f(u，x)-f(φ，x)).

当x=x0时，经过类似的讨论，可以得到

2 主要定理的说明

1.条件(A1)、(A2)与(A5)可以分别用以下条件代替：

(B1)fi：R×Ω→[0，+∞)，i=1，2，…，N-1，是连续函数，并且fi(·，x)(i=1，2，…，N-1)对于每一个x∈Ω为单增函数；

(B2)g：R×Ω→(0，+∞)是连续函数，并且g(·，x)对于每一个x∈Ω为单减函数；

(B3)f：R×Ω→(0，+∞)是连续函数，并且f(·，x)对于每一个x∈Ω为严格递减函数.

3.若公式(3)和公式(5)为严格不等式，则(A5)中f只需满足单减函数，不需要严格单调性，定理结论也成立.

4.考虑更一般的形式，如下

边界条件为(2).在(A1)中添加条件：对于任意u∈[0，+∞)，x∈Ω，满足fi(u，·，x)∈C1(i=1，2，…，N-1).定理结论成立.

并且可以在uxNxN项前添加系数函数fN(u，u，x)，fN的约束条件与fi(i=1，2，…，N-1)类似，并且添加条件φxNxN≤0和ΦxNxN≤0，此系统定理结论也成立.

5.如果方程不含有梯度项，即方程中g≡0，那么f约束条件不需要具有严格单调性.文献[7]讨论了2维情况，下面我们给出更一般的N维形式.

定理2设Ω⊂RN是一个有界开区域，

(7)

边界条件为

(8)

设fi，i=1，2，…，N-1，P分别满足(A1)和(A4)，f满足以下条件：

(C)f：(0，+)×Ω→(0，+)是连续函数，并且f(·，x)对于每一个x∈Ω为单调减函数.

进一步假设：

(9)

φxixi≤0，i=1，2，…，N-1，

(10)

(11)

Φxixi≤0，i=1，2，…，N-1，

(12)

证明：不失一般性，假设xN≥0.