一类双向单叶解析函数的系数估计

乌仁其其格

摘 要：本文首先利用解析函数以及该函数的q-导数的二阶凸组合定义了新一类双向单叶解析函数，其次根据从属关系与Faber多项式展开式得到了该新函数类的系数上界，并进一步解决了这类函数的Fekete-Szeg？觟不等式问题。

关键词：解析函数;双-单叶函数;系数界;Faber多项式;q-导数;从属关系

中图分类号：O174.52  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2020）09-0007-03

1 引言

近年来，许多学者开始研究解析函数的特殊子类双向单叶解析函数及其相关系数估计，取得许多重要成果。其中主要是利用CHEBYSHEV多项式或Faber多项式定义了新一类双向单叶解析函数，并给出了该函数类的系数估计。

2018年，Sahsene Altinkaya在《On A Subclass of Bi-Univalent Functions with The Faber Polynomial Expansion》中，使用Faber多项式展开式，来求属于开单元盘E={z∈C：|z|<1}内有关解析函数的q-导数以及该函数的一阶凸组合的一类双向单叶解析函数系数的上界。然而解析函数的q-导数以及该函数的其他阶数凸组合的函数类也是有待研究的。

本文改进了Sahsene Altinkaya的研究成果，研究有关解析函数的q-导数以及该函数的二阶凸组合的函数类的系数上界。

设R=（-∞，∞）是实数集合，C是复数集，N：={1，2，3，…}是正整数集。

令A表示在单位圆盘？驻={z∈C：|z|<1}内解析，且具有如下标准形式

f（z）=z+anzn （z∈U）  （1）

的函数类，令S表示？驻内单叶函数类。

设函数f（z）和g（z）在单位圆盘？驻内解析，若存在？驻内解析函数？棕（z）（不必单叶），满足？棕（0）=0和  |？棕（z）|<1，使得

f（z）=g（？棕（z））（z∈？驻），

则称函数f（z）从属于g（z），或称g（z）超从属于f（z），记做

f（z）？刍g（z） （z∈？驻）。

显然f（z）？刍g（z）（z∈？驻）？圯f（0）=g（0）和f（？驻）？奂g（？驻）。特别是，如果函数g在？驻内单叶，则有

f（z）？刍g（z）（z∈？驻）？圳f（0）=g（0）和f（？驻）？奂g（？驻）。

显然，每一个函数f∈S有逆映射f-1，满足

f-1（f（z））=z （z∈？驻）

及

f（f-1（？棕））=？棕（|？棕|

对于具有（1）式形式的函数f∈S，g=f-1有如下形式：

g（？棕）=f-1（？棕）

=？棕-a2？棕2+（2a22-a3）？棕3-（5a23-5a2a3+a4）？棕4+… （2）

如果f和f-1在？驻内单叶，则称f为？驻内双向单叶函数，令∑表示？驻内具有（1）式形式的双向单叶函数类。1903年Faber引进了函数f∈∑的Faber多项式展开，它的逆映射g=f-1的系数如下：

g（？棕）=f-1（？棕）=a2，a3，…）？棕n

这里

定义1.1[2] C的子集上函数f的q-导数为

（Dqf）（z）=（z≠0）  （3）

且（Dqf）（0）=f′（0）。

注意到，如果f可微的，则

由（3）可得

2018年，Sahsene Altinkaya在文献中介绍了如下函数类，并获得该函数类的上界。

定义1.2[1] 设？鬃∈∑是？驻上单叶函数，？追（？驻）关于实轴对称，且？鬃′（0）〉0如果有以下的拟从属关系

称函数f∈∑属于T∑（q;？姿）（？姿≥1）函数类，其中g=f-1。

本文利用q-导数，类似定义1.2给出新一类双向单叶函数的子类，并获得该函数类的上界，改进了2018年Sahsene Altinkaya在文献中的结果。

2 主要结论

定义2.1 设？鬃∈∑是？驻上单叶函数，？追（？驻）关于实轴对称，且？鬃′（0）〉0，如果有以下的拟从属关系

则称函数f∈∑属于T∑（q;？姿）（？姿≥1）函数类，其中g=f-1。

由定义2.1可知，f∈T∑（q;？姿）等价于，存在函数h（|h（z）|≤）使得

且

本文中，假设函数？鬃∈∑，具有？鬃（z）=1+B1z+B2z2 +…，Bi>0，z∈？驻形式的函数h在？驻上解析，且有  h（z）=H0+H1z+H2z2+…，|h（z）|≤1，z∈？驻。

定理2.2 若f∈T∑（q;？姿），且对2≤m≤n-1有am=0，则

证明 对形如（7）式的解析函数f，有

+1+2an+2？姿（[n]q

-1）-1）an-i+1]zn-1 （9）

（n-i+1+2bn+2？姿（[n]q

-1）bn+1]q-1）bn-i+1]？棕n-1 （10）

另一方面，由（7）（8）存在两个Schwarz函数 u（z

（1-？Dqg）（？棕）]2=h（？棕）？鬃（v（？棕））  （12）

由（7）和（9）得

（13）

同理，由（8）和（10），得

（14）

又am=0，2≤m≤n-1，可得bn=-an，從而

2[1+（[n]q-1）？姿]an=2an+2？姿（[n]q-1）an=B1Cn-1+Hn-1

2[1+（[n]q-1）？姿]bn=2bn+2？姿（[n]q-1）bn=B1dn-1+Hn-1

对上面两个等式取绝对值，并由条件|Cn-1|≤1和|dn-1|≤1，有

证毕。

推论2.3 在定理2.2中取

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参考文献：

〔1〕Sahsene Altinkaya， Sibel Yalcin Tokgz. On A Subclass of Bi-Univalent Functions with The Faber Polynomial Expansion[C]. International conference on analysis and its applications， 2018： 133-138.

〔2〕Jackson， F. H.On q-functions and a certain difference operator[J].Transactions of the Royal Society of Edinburgh， 1909（46）：253-281.

〔3〕李书海，马丽娜.与条形区域有关的某类亚纯解析函数的系数估计[J].数学的实践与认识，2018， 48（10）：301-307.

〔4〕李书海，汤获，马丽娜，敖恩.与条形区域有关的解析函数新子类[J].数学物理学报，2015，35（05）：970-986.

〔5〕石磊，王智刚.两类双单叶非Bazilevic函数族的系数估计[J].安徽大学学报（自然科学版），2016， 57（03）：17-21.

〔6〕刘名生.某类解析函数的Fekete-Szeg不等式[J].数学物理学报，2002，22（01）：8-14.