平行公理的尺规作图方法聚焦

蒋雪梅

(重庆市永川区朱沱镇四明初级中学校 重庆 402160)

尺规作图指用无刻度的直尺和圆规作图，起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。在人教版七年级下册第五章相交线与平行线第二节中，得到了一个基本事实，即平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。可是教材中已把这部分的尺规作图简化了，部分教师是用三步法画平行线，一放，二移，三画。但这个平行公理的尺规作图又该怎么画呢？有没有巧妙的方法呢？下面作者聚焦了几种以几何原型为参照的平行公理的尺规作图方法。

问题：已知直线l与直线外一点A，过点A作与直线l平行的直线。（要求：尺规作图）

对于用尺规作图来画出平行公理中平行线的问题，从平行线判定的角度考虑，得到如下几种尺规作图原型。

一、平行线的判定原型

（一）同位角相等，两直线平行

几何原型1

画法：1.在直线l上任取一点B，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交直线l于点C（不与B点重合）；

2.构造等腰三角形ABC；

3.作等腰三角形ABC顶角的外角∠CAD的角平分线AE，则直线AE即为所求。

证明：∵AB=AC

∴∠B=∠C

又∵∠DAC是∠BAC的一个外角，AE平分∠DAC

∴∠DAE=∠B

∴AE∥BC

（二）内错角相等，两直线平行

几何原型2

画法：1.在直线l上任取两点B.C；

2.作∠ABC的角平分线BD；

3.以点A为圆心，AB为半径画圆，交射线BD于点D；

4.连接AD，直线AD即为所求。

证明：由图可知：AB=AD

∴∠ABD=∠ADB

又∵BD平分∠ABD

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ADB=∠DBC

∴BC∥AD

二、平行四边形原型

（一）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何原型3

画法：1.在直线l上任取两点B，C；

2.分别以A、C为圆心，BC、AB为半径画弧，两弧交于点D；

3.连接AD构造平行四边形ABCD，则直线AD即为所求。证明略。

（二）对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何原型4

画法：1.在直线l上任取两点B，C；

2.连接AC；

3.作AC的中点O；

4.连接BO并延长至点D，使得BO=DO；

5.连接AD，则直线AD即为所求。

证明略。

三、三角形的中位线原型

几何原型5

画法：1.在直线l上任取一点B，连接AB并延长至点E，使得AB=AE；

2.在直线l上再取一点C（不与B点重合），连接EC；

3.作线段EC的中点D；

4.作直线AD，则直线AD即为所求。

证明略。

四、结束语

通过参照几何原型对平行公理进行尺规作图，不仅给了学生尺规作图的思考方向，而且能提高学生思考问题的能力和动手能力，多角度思考问题的能力，体现了新课标下的以学生为主体，老师为主导的思想，能使不同层次的学生得到不同的发展。