基于积分法优化皮卡定理存在唯一性证明

黄鑫茹

摘 要：皮卡定理的证明有四步，第一步是将初值问题等价于积分问题，第二步是用逐次替代法构造皮卡序列，第三步是证明皮卡序列一致收敛，第四步是证明唯一性。第四步普遍采用的是设两个解做两个解的差再用归纳法，本文用两个解的差，再凑函数利用最后积分得到我们要的结果。

关键词：皮卡序列; 逐次迭代法 ;条件;判别法 ;不等式积分

证明初值问题其中在矩形区域：，上连续，并且对满足条件：即存在，使对所有，常成立，则初值问题在区间上的解存在且唯一，这里，

由五个命题来证明存在唯一性，命题一：初值问题等价于积分方程：（1）。证明：若为初值问题的连续解，则对第一式从到取定积分得 即 故為（1）式的连续解。反之若为（1）式的连续解，则有 由于在上连续，从而连续，故对上式两边求导，得 且 即为初值问题的连续解。构造逐步逼近函数列

（2）

命题二：对于所有，连续且满足。用数学归纳法证明：当时，，显然在上连续，且设命题二当时成立，即上连续且。当时 。由在上连续性知，在上连续，从而在上连续且即命题二当时成立，从而命题二对所有都成立。

命题三：函数序列在上一致收敛，记，。

证明：考虑函数项级数，

（3）。它的前n项部分和为，于是一致收敛性与级数（3）一致收敛性等价。通过找规律对级数（3）的通项进行估计由条件可知

设对于正整数n，有不等式，则当时，由条件有

于是由数学归纳法得知，对所有正整数n，有，其中。从而当时，，

由于正项级数收敛，由判别法知，级数（2）在上一致收敛。因而函数序列在上一致收敛。

现设，，则由在的连续性和一致收敛性得，在上连续，且

命题四：是积分方程（1）定义于上连续解。证明：由条件有以及在的一致收敛得函数列在上一致收敛于函数，因此对（2）式两边取极限得， 即。故是积分方程（1）定义于上连续解。

命题五：设是积分方程（1）定义于上的一个连续解，则，。证明：设，则是定义于上非负连续函数，由   及条件得：

令 则是定义于，且，，，于是，，对最后一个不等式从积分得，故，即

由于用积分法证明唯一性涉及连续性因此有了第四步的证明连续解，因为积分法虽然比两解的归纳法复杂但是它更通俗易懂。