数形结合

冯少萍

【摘要】“数形结合”是通过结合形象思维与抽象思维的数学思想指导方法，既可把传统计算数学中的各种算式推理形象化，也可使抽象的现代数学概念直观形象化，将复杂的数学问题简单化，从而可以帮助广大学生更深入地理解学习现代数学，提高学生的数学综合素质，理解数学理论本质。在数学课堂教学中，教师们还可以根据实际教学情况以“以形助数”“由数解形”以及“数形交替”等具体的教学方法适当开展渗透运用数形结合思想，能有效性地提高小学生的数学思维能力，有利于有效促进小学生思维的健康发展。

【关键词】数形结合;数学思维;数学素养

“数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。”数学教学研究的实验研究对象大致可以分成两个主要部分，其中一个内容主要是“形”，另一个是“数”。而“数形结合”的数学本质就是把抽象的数学语言、数量空间关系与直观的数学几何图形概念结合发展起来的一种系统数学理论思想方法。数形结合可以使“数”和“形”可以各施自身所长，互补自身不足，实现抽象思维与形象思维的有机协同综合运作，从而可以使复杂思维问题简单化，抽象思维问题形象化。

数形结合在中学数学学习中已经是师生都非常熟悉的数学思想方法了，甚至在小学高年级里解决很多数学问题也是经常会用到。而低年级的小学生在学习数学的过程中，其思维虽然是以形象直观思维为主的，但其逻辑抽象思维也处于萌芽发育的重要階段中。教师在数学课堂中适时适度地渗透“数形结合”的数学思想，能够帮助小学生更好地开拓思维，为逻辑思维的发育过程注入了新的营养成分。

在日常的教学过程中，教师在尊重低年级小学生思维发展的客观规律的前提下，怎么样才能有意识地渗透“数形结合”的思想方法，从而有效地促进学生发展数学思维呢？

一、以“形”助“数”，变“抽象”为“形象”

数的产生来源于计数，但用来表示“数”的工具却一系列的“形”。尤其是在数概念的建立、数的运算等内容的教学中，蕴含其中的数形结合的思想方法需要教师有意识地渗透在课堂中。

（一）以“形”助“数”——在图中培养“数感”

数感是学生数概念学习过程中必须要建立的一种基本素养，也是数学学习的前提和关键。而数形结合是培养学生数感的一个非常有效的思想方法，尤其是对于以形象思维为主的小学生，结合图形来认识数字，才能深刻把握数的本质内涵。

在一年级上册《认识10》的学习过程中，其中一个教学目标是让学生对10的概念获得比较全面的认识和掌握，尤其是突破“1个十是10个一，10个一是1个十”这个知识难点。在课堂上，要通过图片要让学生强化认识1根小棒表示“1个一”;1捆小棒表示“1个十”;“1个十”打开就变成“10个一”;“10个一”捆起来就变成了“1个十”这样有助于帮助学生“1个十”和“10个一”的数感。

二年级下册的《万以内数的认识》，教师可以通过利用一个方块计数模型直观地绘图呈现出两个计数单位和他们相互间的“十进制关系”。方块这种基于几何数量形体的直观视觉形象，帮助小学生从直观视觉上直接经历了计数单位的直接产生和单位转化的整个过程，逐渐初步建立了一起抽象的几何数量和现实生活中的几何模型之间的转化关系。“形”的作为学习的承载体，有效地帮助学生更加有效、深刻地建立了数感。

（二）以“形”助“数”——在图形中理解“算理”

计算是小学数学教学的重要内容，算法教学过程中不仅需要做到让学生明白应用算法算理规则的形成过程，也更需要做到让学生在直观中正确理解应用算理，对应用算理进行一个整体的深层次的理解，才能有效促进学生对具体应用算法的准确性，从而能够学会灵活运用算法规则。

二年级上册学习《两位数加两位数》例3（进位加）的过程中，也常常借用小棒模型、计数器模型或者位置图模型等“形”的具象来刻画“数”的抽象运算过程，能够充分突破“个位相加满十，向十位进1”这个知识难点，从而帮助学生更好理解进位加法的算理。

（三）以“形”助“数”——在图形中理解“数量关系”

对于以直观形象思维方式为主的低年级小学生而言，抽象的数学文字语言表述常常可能会成为他们解决数学问题的一大拦路虎。于是，用画图的方法来梳理题目中的数量关系，用“形”的方式表示“数量关系”，可以达到“一图抵百语”的神奇效果。

例题：哥哥今年16岁，弟弟今年10岁，问哥哥要是弟弟这个年龄的时候，弟弟几岁？

学生在解决这道问题的时候，经常梳理不清哥哥和弟弟年龄之间的数量关系。教师在引导学生理解题意的时候用线段示意图的方式画出来，数量的逻辑关系就一目了然，问题也就迎刃而解了。

在小学的数学学习中，“线段示意图”是非常重要的一种解决问题的工具，它可以形象、直观地帮助学生解决简单的实际问题。尤其是在解决有关“和倍、差倍、和差、路程问题、比的应用、分数（百分数）的应用”等问题中都发挥着其他方式无法替代的作用。所以从低年级开始，教师就应有意识地进行适当的渗透，让学生能够亲身体验将实际问题抽象成数学模型的过程，最终达到解决数学问题、理解数学本质、开拓数学思维的目的。

三、由“数”解“形”，变“繁琐”为“简洁”

“形”虽然具有直观化、形象化的优势，但也有其粗略、和不便于表达的劣势。如果加以简洁的数学描述、形式化的数学模型来表达“形”的特性，就能更全方位地展现数学抽象化与逻辑化的魅力。

例：数线段的问题：

要数清楚上图有多少条线段，可以用画“彩虹线”（左图）的方法有序地把所有线段画出来，然后再数数。但是随着数量的增加，图就会越画越混乱，很难数清楚线段的数量。

可见直接画图数数有一定的局限性。但如果教师在讲完画图的方法后，引导学生归纳总结方法，用“标数字再相加”（右图）的方法来解决，就显得简洁明了，而且有利于学生发展逻辑思维能力。

以此类推，数“不共线”的线段，数角等类似的问题也可以用同样的方法来归纳解决。除此之外，数“三角形”，数“长方形”，数“正方形”的问题也是一样的方法：那就是以恰当的数量关系来表达图形中隐含的信息，将几何问题代数化。

四、“数”“形”交替，变“糊涂”为“灵活”

数形结合的思想可以有效使抽象的复杂数学问题直观形象化，使繁难的复杂数学解决问题内容简洁化，进而尽可能有效启发中小学生抽象思维的横向发展。“数”“形”交替是指在解决难题的时候，可以将题目内容中的各种数量空间关系首先用“形”的方式表现出来，然后再慢慢利用“形”来将抽象的“数”关系变得直观具体，最后对“形”关系进行仔细观察、分析和逻辑联想，把图形翻译成代数算式，从而帮助学生准确地解决问题。

例如，排队问题：聪明班的同学在排队买票，从前面数聪聪是第8个，从后面数聪聪是第10个，一共有多少个同学在排队？

许多学生对聪聪的位置如何算进人数里弄不明白，就很容易出现错误。如果教师能够引导学生用图形来表述题目的意思，从“形”中分析逻辑关系和数量关系，就能列出准确的算式，就可以帮助学生从糊涂混乱的数学困惑中变得清晰明了。

如果学生从低年级起，教师就能帮助他在日常学习中持续自然地“引入输出”这种渗透数形结合的发散数学多维思想，学生就能够得到有效的数学思维的发散训练。在这样有效的思维培养下，学生进入高年级后解题思路会慢慢得以拓宽，解题方法也会灵活多样。

例：计算：

如果只看算式进行解答，大部分学生可能会受思维定势的影响，采用通分的方式进行计算：

为了帮助学生克服思维定势，教师可以引导学生画出图形，然后通过图形来分析。图中的正方形表示“1”，要求的式子的和就是正方形涂色部分的大小。当结合图形分析后，学生就能在直观图形的启发下，一目了然地体会到“涂色部分的大小就等于1减空白部分的差”。

主动解决上述问题的学习过程中，學生真实经历了“数—形—数”的数学认识深化过程，获得了比较优化的数学解题技巧方法。这样数形交替的思想方法启发了学生从新的角度去思考数学问题，可以有效跳出学生思维不确定式的限制局限，从而有效促进学生学习思维的整体灵活性和学习思维的创造性。

数学思想方法是数学学科教学的基本精髓，是引导学生将基础知识能力转化到成为综合能力的很重要的一条思想纽带。对于学生来说，从感悟数形结合思想方法，到理解数形结合思想，再到尝试联系数形结合思想，再到自觉地运用数形结合思想，掌握数形结合思想是一个长期积累、反复训练的过程。

在小学数学的日常教学中，教师要积极引导中小学生通过各种方法沟通理解“数”与“形”的密切联系，同时鼓励学生积极使用多种表征去解决数学问题，真正培养小学生在解决问题中有意识地运用数形结合思想，使学生从中深刻感悟数形转化结合的思想，并能够有创造性地学会运用数形结合思想方法解决实际问题。“数形结合”是小学生数学思维发展的助推器，真可谓是名副其实。

参考文献：

[1]吴正宪.吴正宪给小学数学教师的建议[M].上海：华东师范大学出版社.

[2]吴存明.小学数学教学问题与对策[M].北京：中国轻工业出版社.

[3]钱守旺.钱守旺的小学数学教学主张[M].北京：中国轻工业出版社.