认知视角下谈数学建模素养的培养

吴勇

[摘  要] 数学建模在高中数学教学中一直有着重要的地位，对数学建模的理解往往会因为环境的变化而变化，在认知视角下理解数学建模，笔者以为应当确立两个观点：必须明确认识到学生在数学建模过程中表现出来的认知表征方式. 在数学建模素养培养的过程中，要注意学生的认知差异. 基于这两个观点，在高中数学建模的教学过程中，教师就应当以学生的认知发展作为基础，并在此基础上致力于学生数学建模能力的培养与素养的提升.

[关键词] 高中数学;数学建模;认知心理

数学建模在高中数学教学中一直有着重要的地位，对数学建模的理解往往会因为环境的变化而变化，这里所说的环境变化是指课程改革或者核心素养带来的教育理念的變化. 在课程改革当中，数学建模是以一个单独的形式存在于课程标准当中的，教师对数学建模的理解与运用往往是立足于数学建模本身，而在核心素养背景之下，在高中数学学科当中，数学建模是作为数学学科核心素养6个要素之一而存在的，在6个要素当中其位列第三，在核心素养的背景之下理解数学建模，数学教师应当认识到数学建模作为数学学科核心素养之一，是对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，它搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式. 由于数学建模是面向学生的，核心素养的培育自然也是面向学生的，因此培养学生的数学建模素养，就必须研究学生的认知过程. 而在认知视角下理解并实施数学建模素养的培养，也可以让数学建模素养的培养过程，变得更加符合学生的认知规律，从而客观上也就更加能够促进数学学科核心素养的落地.

认知视角下的数学建模理解

将数学建模放在认知视角下来理解，对于传统的理解而言，实际上是一种突破. 当教师研究数学建模缺乏认知视角时，往往是从数学建模本身去进行设计的，其导致的结果就是教师在课堂上有可能会将学生的思维强行引入教师的思路，于是学生的学习过程很容易会丧失自主建构的成分. 正因为如此，有同行通过比较研究后认为：尽管高中数学建模课程实施取得了一定成效，但其效果并不尽如人意. 究其主要原因之一在于，缺乏针对高中学生数学建模认知规律的研究，因而难以为高中数学建模的课程设计与教学实施提供必要的认知心理学指导.

既然意识到这个问题，那就必须想方设法解决这个问题. 在认知视角下理解数学建模，笔者以为应当确立两个观点.

观点1：教师必须明确认识到学生在数学建模过程中表现出来的认知表征方式.

认知是有表征方式的，数学建模作为一个相对复杂的认知过程，也是有其表征方式的. 对于高中学生而言，数学建模的认知表征方式包括符号表征以及方法表征（还有一种是机理表征方式，其主要指向数学建模的原理，相对而言比较复杂，本文不再赘述）. 所谓符号表征，是指借助于数学语言（包括文字、图像、图表等等）对数学模型进行描述的表征方式;所谓方法表征，是指借助于数学方法及其理解，对数学模型进行描述的表征方式. 认识到数学建模的表征方式不同，就可以对学生进行因材施教.

观点2：在数学建模素养培养的过程中，要注意学生的认知差异.

大量事实表明，高中生在数学建模的过程中表现出来的认知能力是有差异的，在数学建模素养培养的过程中，关注到这种差异，然后与具体的认知表征方式进行联系，可以让数学建模的过程成为学生认知能力得到培养、反过来认证能力又可以促进数学建模高效完成的过程.

基于认知发展培养数学建模

基于以上两个观点，在高中数学建模的教学过程中，教师就应当以学生的认知发展作为基础，并在此基础上致力于学生数学建模能力的培养与素养的提升.

例如，在“指数函数”这一内容的教学中，笔者注意到学生对函数知识的理解已经有了一定的基础，那么在建立指数函数这个模型的时候，就可以在这个认知基础之上去设计符合学生认知特点的教学过程. 笔者重点设计了这样几个环节.

环节一：创设情境，激活学生的前概念.

在高中学生的生活当中，指数函数的例子还是非常多的，只不过由于学生在生活中没有将这些例子与指数函数联系起来，因此这些例子只能以前概念的形式存在于学生的经验结构当中. 比如这样一个故事就可以作为情境素材：一位皇帝要赏赐立了大功的大臣，说提任何条件都可以. 大臣此时正陪皇帝下棋，于是说：只要在棋盘的第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，第4格放8粒米……，以此类推，放满棋盘就行了. 皇帝以为非常简单，满口答应. 同学们猜猜结果如何？

在好多学生的认识当中，这确实是一个简单的问题，但是当看到教师脸上神秘的表情时，大多数学生又觉得这个问题不简单. 而当学生有了这个认识时，面向数学建模的认知大门就已经打开.

环节二：问题解决，建立指数函数的模型.

其实当学生的认知开始失衡时，学生也就尝试去进行问题解决. 解决的思路无非是判断放满32格需要多少粒米，而解决问题的起点就是题目给出的信息，于是学生会在草稿纸上做出这些演绎过程，如：

第1格   1粒米

第2格   2粒米

第3格   4粒米

第4格   8粒米

……

第32格

而这样的演绎很容易让学生发现规律，也就是米粒数与格子之间的关系. 如果将格子设为自变量x，将米粒数设为因变量y，那y与x之间就是一个的关系. 这个关系在学生原有的函数知识结构中并不存在，因此这是一个新的函数关系，由于变量x出现在指数位置上，故将这个函数命名为指数函数是非常恰当的.

环节三：变式运用，巩固指数函数的认识.

在指数函数概念初步建立之后，教师要认识到这是指数函数模型的初步形式. 要巩固学生的模型认知，教师还应当通过变式训练，如生活中其他的指数函数关系等，从认知发展的角度来看，实际上这也是一个同化的过程，有助于指数函数的模型变得更加清晰与牢固.

数学建模的水平取决于教学

数学建模在高中数学教学中的存在由来已久，绝大多数高中数学教师也都具有显性的数学建模意识与能力. 在此需要认识到的是，教师的教学对学生建模水平的提升有着决定性影响，数学教师必须认识到数学建模作为数学应用的中坚力量，在未来的数学教育中必将成为一个热点. 因此如何培养学生的数学建模素养，把建模思想贯彻于日常教学工作中，提高学生的创新意识和实践能力，应当成为广大数学教师的重要认识. 只有教师具有显著的数学建模意识，才能让学生认识到数学建模的重要性，并在日常的学习过程中有意识地提升自身数学建模的能力，这样也就为数学学科核心素养的落地提供了坚强的保证. 因此从这个角度来看，对教师自身的教学无论如何强调，都是必需的.