培养高中学生数学思维能力的教学例谈

高嘉

[摘  要] 学生的知识获取与思维发展于其终身发展来说一样重要，教师在传授知识的过程中同样要关注学生思维过程的发展，使学生获得更多启迪与针对性的训练并实现思维的进一步深化和发展.

[关键词] 数学思维能力;形象思维能力;直觉思维能力;逻辑思维能力

皮亚杰对单纯向学生传授知识的教学行为是极力反对的，近年来的高考试题对数学思维能力的考查也愈发明显，以思维能力为核心并对各种能力进行考查是数学高考的宗旨，因此，单纯掌握现有公式、定理的理念已经过时，在数学学习中掌握科学的思维方法才是重中之重. 一般而言，学生的解题过程表现为获取信息、启动思维、递进思维、深化思维这四个环节，教师指导学生解题时应在明确目标、弄清概念、运用规律和设疑点拨上进行并因此促成其思维能力的发展.

培养形象思维能力

从认识过程的角度来分析，直观就是学生的大脑在客观事物的作用下形成感性认识的过程. 虽然直观为学生建立的只是感性认识，但作为思维起点的直观却是学生从感性认识转向理性认识的开端，学生只有在这一起点与开端的基础上才能对空洞的概念、公式和定理形成兴趣并产生求知欲. 脱离兴趣的支撑，积极思维自然只能是空谈. 凭借形象进行思维并因此获得从具体到抽象、从感性到理性的思维的过程才能令学生的思维处于活跃状态之中.

1. 借助典故、趣闻、信息的引入以激发学生学习兴趣.数学名人轶事在课堂教学中的引入能使学生充分感受到他们勤奋上进的学习精神，使学生激发出更加强烈的学习愿望与兴趣并在学习中表现得更为积极.

2. 直观教具的运用激发学生的空间想象.教具的使用不可或缺，比如，椭圆概念的教学中，教师利用教具演示可以使学生在生动的椭圆形成的过程中建立感性认知并形成概念. 比如，教室里的黑板、天花板、地面、日光灯等等都可以运用进线线、线面、面面关系的教学中，使学生在实物的位置关系的体会中理解空间图形的线线、线面、面面关系并因此获得空间观念和空间想象力的发展.

3. 数形结合以促进问题的转化.围绕数与形的抽象、演变与发展而进行的数学研究奠定了数与形的基本地位，每个几何图形中所蕴藏的数量关系都能够在图形的直观中得到形象的描述，因此，通过数形之间的联系与转换并使问题解决是解决数学问题的一个重要途径.

从初中数学知识点上进行提高与引申的高中数学，虽然在内容上看有很多相似，但其形式和要求却相对复杂很多. 比如学生往往感觉无从下手的一些二次函数问题，这是一个需要进行强化训练的知识点.

例1：假如函数f（x）=4x-x2-a刚好有三个零点，那么a=______.

解：令f（x）=0，则4x-x2=a.

如图1所示，首先作出y=4x-x2的图像，接着将x轴下方的图像翻转至x轴上方，y=a过抛物线顶点时正好存在三个交点，因此可得a=4.

变式：若函数不存在零点，那么a应等于多少？存在两个零点、四个零点时，a又应该如何取值？

数形结合思想在具体解题中的运用能够帮助学生逐步获得转化联想能力、观察能力的提升，学生思维的深刻性、创造性也会因此获得更好的发展. 不过，教师也须注意：第一，数形转化前后的问题始终必须具有等价性;第二，“数”的精确性与“形”的全面性是解题过程中必须注意的. 比如判断公共点个数这类问题的解决，只有图形转化后的“数”的精确性才能保障正确结论的获得. 数形转化中的有些图形或许并不唯一，具体解决中应根据不同情况作出相应图形并进行讨论和求解.

培养直觉思维能力

数学直觉是人脑对数学问题做出的一种直接的领悟、洞察、類比与联想，这种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式在具体运用中应得到适当的加工，将大脑中贮存的和当前问题相似的板块在知识运用、直觉运用中进行联结与领悟. 学生在解决新问题时对结论做出的迅速的领悟其实就是其具备数学直觉的具体表现，一般来讲，数学教学中培养学生的直觉思维能力需要做到以下几个方面：

1. 有目的地设计直觉时段. 根据教学内容与需要设计直觉时段能使学生顺着知识发展的过程进行直觉想象和猜想，然后根据直觉想象和猜想进行逻辑验证、合理推理与证实，学生在切实感受创新与成就的过程中往往能够感受到振奋、愉悦的情感.

2. 引导学生猜想. 鼓励学生在数学学习中大胆猜测并因此养成猜想的数学思维习惯，能帮助学生根据自己的直觉感受进行猜想、推理和验证.

3. 注重教学的直观性. 教学中提高直观性能使学生在观察、分析、推理中不断训练和发展能力.

4. 凸显问题原型. 帮助学生在问题分析中凸显问题原型并促使“原型问题”获得衍生，能锻炼与提升学生的创造能力.

例2：已知函数f（x）=1+x-■+■-■+…+■，g（x）=1-x+■-■+■-…-■，设F（x）=f（x+3）·g（x-3），且函数F（x）的零点都在区间[a，b]（a

分析：很多学生面对此题都觉得难度太大而无法突破，对分母与分子的字母的指数进行观察，凭直觉发现，化简f（x）与g（x）必须建立在求导的基础之上，利用导数对函数的单调性、零点的存在性定理进行判断并得出零点所在的范围，这正是数学直觉思维能力参与后产生的结果.

解：f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2010.

当x≤1时，f′（x）=（1-x）+x2（1-x）+…+x2008（1-x）+x2010≥0，当x>1时，f′（x）=1+（-x+x2）+（-x3+x4）+…+（-x2009+x2010）>0，因此f（x）为增函数，g′（x）=-f′（x）≤0为减函数. 又f（-1）=1-1-■-■-■-… -■<0，f（0）=1>0，f（x）的零点在区间（-1，0）内. g（0）=1>0，g（1）=（1-1）+■-■+…+■-■>0，g（2）=（1-2）+■-■+…+■-■<0，g（x）的零点在区间（1，2）内.

因此，f（x+3）的零点在区间（-4，-3）内，g（x-3）的零点在区间（4，5）内，因此函数F（x）的零点都在区间[-4，5]之内，因此b-a的最小值是9.

培养逻辑思维能力

经常启发学生动脑筋、想问题能帮助其更好地养成勤于思考、善于思考的良好习惯和推理的意识，并因此使其更好地掌握推理的方法，使其逻辑思维能力不断得到发展的同时获得分析问题、解决问题能力的不断发展. 一般说来，培养途径不外乎以下几个方面：

1. 比较和对照. 有意识地引导学生在比较和对照中进行分析和推理，能使学生在不断的实践中获得区别能力和联系能力的发展.

2. 抽象和概括. 帮助学生学会抽象和概括能使其更好地获得从特殊到一般的归纳与概括能力.

3. 分析和综合. 教会学生分析和综合，能使其在正向思维和逆向思维的实践中获得思维提升.

4. 判断和推理. 引导学生在判断和推理中进行观察、分析和思考，能使其逻辑思维能力和表达能力获得同步发展.

例3：请比较0.20.3和0.30.2的大小.

学生面对此题一般都会联想介值法，由0.20.3<0.20.2，0.20.2<0.30.2可得0.20.3<0.30.2.

例4：请比较nn+1和（n+1）n（n∈Z+）的大小.

分析：在此题的比较中，学生很快发现运用介值法行不通了，对其进行直接比较明显难度更大，因此，首先可以进行特例的考察. n=1，2，3时，有12<21，23<32，34>43，无法判断. 继续考察n=4，5时，分别有45>54，56>65，继而猜想nn+1>（n+1）n（n≥3）成立，此时对猜想的正确与否进行证明. 学生联想数学归纳法证明此猜想，很快便有了结果.教师继续引导学生，看是否有其他证明方法，师生共同努力，发现通过证明n>■■（n≥3）成立也能证明此猜想.

右边=1+■■=1+C■■+C■■+…+C■■<1+■+■+…+■.

容易证明n！>2n（n>3），因此右邊<1+■+■+…+■<3-■<3（n>3），得证.

也有学生发现，证明（n+1）lnn>nln（n+1）一样可行. 因为n≥3，因此只要证明■>■即可.

继续观察可知，证明函数f（x）=■为[3，+∞）上的减函数也是可行的. f′（x）=■<0在[3，+∞）上明显是成立的，因此原命题得以证明解决. 总之，教师在传授知识的过程中同样要关注学生思维过程的发展，深入研究数学活动与数学思维的特点和规律，做到立足通法，兼顾巧法，使学生获得更多启迪与针对性的训练，实现思维的进一步深化和发展.