小学数学结构化学习：整体意义关联的教学理解与设计

孙谦 吴玉国

摘要：小学数学结构化学习是儿童基于熟悉的、整体的、关联的经验知识而展开的学理分析、学情调研、学材开发、学程设计与学评调控，目的在于系统地提升小学数学教师结构化学习的教学指导水平，发展小学数学教师组织与创造教学活动的专业化素养。小学数学结构化学习应关注内容、核心任务、学习活动、目标评价的结构化，立足实践、指导深度学习，通过教师与儿童意义融合性创造学习的资源开发，实现儿童数学的“连续—关联—循环”的互动活动。

关键词：小学数学;结构化学习;思维发展

中图分类号：G633.2 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）09A-0053-06

现实中的小学数学学习，普遍存在着内容排列缺乏整体性、过程设计缺乏深度关联、目标评价缺乏综合性的现象。究其原因，主要是作为“教”的主体——教师，对教学教育文化的连接性、教学实践的内在关联以及学生学习心智的过程转换等存在理解缺失。具体表现在以下五个方面：一是对数学知识缺乏学习原理的分析与理解，套用书本讲解;二是对学生认知缺乏学情调查和研究分析，浅表笼统地推测学情现状;三是对学习资源缺乏师生教学共同开发的认识与实践，简单机械地拼合学习材料;四是对学习活动缺乏思维结构层级发展的框架与措施，单向一元地组织学习过程;五是对学习目标缺乏创新发展潜在能力的理解与设定，盲目封闭地采用识记评价。小学数学结构化学习，立足学理分析、学情调研、学材开发、学程设计与学评调控的“五学”框架，目的在于系统地提升小学数学教师结构化学习的教学指导水平，发展小学数学教师组织与创造教学活动的专业化素养。让学生通过“连续—关联—循环”的三个结构化学习环节，逐步提升个体数学观察、理解与应用的基础素养。

结构是系统的属性，是元素及关系的整体关联，是具有能动性功能的完整体系。皮亚杰指出，结构就是由具有整体性的若干转换规律组成的一个有自身调整性质的图式体系[1]。结构化即系统化，可以理解为作用于主体并促进对事物的元素及关系整体关联而形成自主认知建构的过程。正如美国认知心理学家布鲁纳所说：“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”[2] 结构化学习，就是学生在学习中能将点、线、面状的知识展开后，用整体关联的方式融通、融合起来，深刻理解，创造模型，从而达到解决复杂情境下新数学问题的目的。具体可以从以下三个方面阐述：

一、小学数学结构化学习，关注四个层面，培养关键能力

学习过程就是学习主体的原有认知结构与从环境中接受的感觉信息相互作用，是主动构建信息意义的生成过程[3]。小学数学结构化学习是基于小学数学学科的整体系统性、结构关联性的本质特征，引导儿童自然而有意义地开展数学学习——即从结构化数学知识本身出发，通过结构化学习活动，培育学生数学学科核心素养。从现实的数学学习来看，主要包括四个层面的结构化：一是学习内容的结构化。包括基于教材三个层次的梳理与理解——课时知识点元素关联形成的数学知识概念结构、概念关联组成的数学知识单元结构以及单元发展的数学知识大概念结构。对小学数学知识进行整体性的梳理与理解，是小学数学教师理解数学专业化的基础要求。二是核心任务的结构化。包括结构化学习过程中与目标要求的认识、理解、应用与学科素养发展中的必备品格、关键能力、情意态度的阶段发展相匹配的层级任务结构化。三是学习活动的结构化。包括知识与认知连续性对接、互动探究关联性展开以及变化情境循环式应用，逐步形成教师主体、师生双主体、学生主体建构的活动结构化。四是目标评价的结构化。情境问题中发现元素、整体关联中理解建构、应用创新中结构迁移，都可以通过表现性观察记录乃至数据化实证分析，达到对儿童数学学习的“抽象、推理、模型”的关键能力发展水平进行结构化评价的目的。

二、小学数学结构化学习，立足实践，指导深度学习

小学数学结构化学习，是儿童在已有数学知识经验的基础上，借助数学教师对数学学习内容整体理解与适切的课程开发，经历个性化的连续、关联、循环的认知转化[4]，指向具有知识经验的结构内容、思维方式的结构过程、思想方法的结构目标，促进个体思维结构发展，影响并引领学生的未来发展。教师能够理解知识整体单元的变化发展，明晰知识载体之上的学科育人价值，学会基于了解和分析儿童学习经验与心理，整理与整合教材资源，创新与创造学习活动，设计学习过程。从“真实”情境中来，到“真实”问题中去，以较完整的内容呈现、多变化的问题表达向儿童传递“贴近”的数学信息，并渗透相应的数学方法与思想，凸显数学知识元素的联系，培养儿童科学地认识和理解概念的能力，发展数学的基本思想与方法，不断形成对数学的整体认知结构。从这个角度来看，小学数学结构化学习，就是从建构数学基本思想与方法的角度，对数学知识进行合理统整。打破孤立的“一节课”局限，将学程的起点定在“一类、一组、一系列课”的组织与设计，包括学什么、为什么学、怎么学、为什么这么学、还可怎么学以及学到什么程度。目的在于促进儿童良好的思维方式与习惯的形成，帮助其从意义的角度理解知识的发生、发展，凸显元素整体关联与系统结构发展，“本着整体性和结构性教学思想，寻找相关知识、方法和思想的连接点，统整相关教学资源，达到帮助学生整体建构知识的目的”[5]。

在小学数学结构化学习中，国家课程成为教师引导儿童意义成长的一面镜子（如图1）。意思是小学数学学习要基于教材，并在梳理教材的基础上理解其安排的内容结构与目标要求，从中感悟儿童数学学习的认知规律与方法结构，厘清儿童的数学学习原理。教师要从儿童数学生活的角度去理解这一点——数学其实就是儿童熟悉的、整体的、关联的知识经验，真正搞懂知识的来龙去脉与学习的过程、结构，同时重视儿童学习情况的调查与研究，确立儿童学习的主体地位，厘定数学学习的目标结构，将内容结构、方法结构、情意结构融入目标结构之中。教师与教材编写者、儿童一起感同身受，融入学習中，研究开发学习需要的好玩材料、学习有趣的情境过程以及学习后进行反思联想，真正通过学习促进儿童元认知水平的发展。结构化学习，“致力于寻找知识之间的连接点，将碎片化的知识连成线、织成网、筑成块、构成体，让学生整体感悟学习内容、学习进程，帮助学生建构整体的结构思维，建构学生的思维体系和认知结构”[6]，有效地促进了儿童基于小学数学学科的核心价值、必备品格与关键能力的意义学习。同时，学习过程伴随着具有灵性意义的连续与关联、转换与迁移、创新与创造，促进了儿童情感、意志与思维的和谐发展，儿童学习的知识，也就会成为儿童成长的精神种子。这种充满了生命灵动的学习过程，可以从以下三个方面循序渐进地进行：

1.基于课程与课标对接的理解，开展学理分析与学情调查。“就知识的整体性把握而言，我们不因停留于所说的逻辑关系，而应努力帮助学生建立起相应的概念网络（或者说，认知结构），‘逻辑结构与‘认知结构的一个重要区别是：前者主要表现为线性的、单向的关系，后者则是双向的（多向性）、网状的。[7]”“小学数学结构化学习着眼于数学整体知识结构的建构，通过对课时内容与本单元、本领域、相关领域和学科外内容的关联性结构分析，将课时内容置于数学整体知识结构中去建构，使课时内容具有连续性、关联性和生长性……”[8]具体来说，当我们运用学科教材教学具体课时内容时，要将这一点知识“嵌入”到“單元”视野之中，从关联的例题、单元、领域的目录梳理中分析理解概念、单元、大概念的横向和纵向的知识结构网，抓住基于数学本质的核心问题。同时也要明晰直观操作、抽象推理与模型应用的认知结构融合式“螺旋上升”的层级结构，从而透彻辨析知识内在组织形态的优劣，并能从构建知识、教师、儿童学习共同体出发，立足儿童基础知识与基本能力，科学了解儿童与之相关的生活学习经验，调查了解儿童是否知、知多少与怎么知的整体经验，考量儿童现实认知的整体水平与存在的具体差异。在此基础上，将知识的单元结构与学生的整体经验结合起来，进一步找到作为“发明者—编写者—教育者—学习者”知识学习的核心任务，设计主题活动、凸显潜在能力发展，真正理解知识结构与认知结构的关联，刻画立足知识结构与儿童认知结构，以及怎么学习的路径图。在这个过程中，课程经过标准对照与问题引领，向任务转换，任务就具有了目标综合性、主体多元性以及过程活动性，体现出基于发明者、编写者、教育者与学习者的整体意义关联后的“合一”。同时，这样的研究活动还可以促使教师努力提高理解课程意图的自觉性与专业水平，正确把握课程与标准的联系，提升纵向贯通与横向融合的教学理解力与创造力，达到从整体意义关联的角度理解和把握学科教材的目的。

2.基于核心问题与核心任务的把握，开展学材开发与学程设计。在学理分析与学情调查的基础上，着力将教材改变为学材，即通过数学教师的专业化知识，理解知识结构与儿童认知结构，设计连接儿童认知经验的“真实”情境，激发学习者发现数学问题，找到关联的数学元素，从而帮助教师理解知识的结构、逻辑、意义。在这里需要强调的是，这种知识结构是适合儿童学习的，体现了知识的学科价值。在“真实”情境中，教师引导儿童展开学习共同体合作探究，积极使用多元表征方式，进入实际意义的关联建构，发展抽象、推理、模型等综合能力。经历这样的结构化学习活动，学生的发展不再单一。它伴随个体知识的生长，知识结构的建构，在模型应用创新中深化认知结构，在修正、反思、想象中提高元认知水平;它伴随着个体心智的发展，主体内涵的发展，在自然融通的学习中主动发现问题，在对话、操作、合作中促进心智发展，学有所获，实现学习的价值追求，提升个体的综合素养。从课堂学习的层面上看，结构化学习的具体体现是“连续—关联—循环”课堂学习模型（如图2）。在这样的结构化学习中，呈现了核心知识元素的“直观”过程，凸显了多元表征形式的“概括”过程，突出了项目综合应用的“回问”过程[9]。通过教师对思维发展“直观经验—程序探讨—抽象表达—形式演绎”的科学理解，支持儿童运用“问题发现—元素关联—整体建构—反思创新”的方式开展学习，经过教师“连续—关联—循环”的教学，支撑起学生“疑惑—收获—追求”的学习过程，学习自然而有意义地发生。结构化学习基于整体意义关联，促进思维发展，创生了“3×3”备课模式，即连续、关联、循环与情境、活动、评价的结构化活动组织，在结构化学习的每一个环节匹配发展必备品格、关键能力与学科情意的核心素养（如表1）。

“在数学教育中，主体只有在用数学组织生活的同时建构数学，才能反映出数学真正的生活本质，也才能反映出数学发展中人的主体性……”[10]在学习的“连续”环节中，创设的情境要与儿童知识经验和已有的现实生活发生实质性联系。在真实、连贯、直观的活动中，引导认知冲突，引发学习心向，唤醒儿童主动进入体会知识的意义过程，发现新旧知识之间的联系，自主萌发探索新知识的愿望。在学习的“关联”环节中，提出探究新知识的各个元素及其联系的大问题。大问题驱动儿童的操作、分析、归纳、概括、抽象、建模等程序活动，多元表征参与思维建构，在指导者（主要是教师）的帮助下，经历存疑、析疑、解疑与反思的全过程，多种感官协调运行，逐步完成知识与素养的自主协调建构。在学习的“循环”环节上，创设运用知识解决问题的新情境。新情境具有丰富的文化性和变化的延展性，推进儿童对概念模型的深化理解与问题解决的计划、实施与反思，从知识层面发现元素、概念、单元之间的关联结构，从能力层面提高在多变情境中的应用知识解决问题的水平，促进思维的灵活性、开放性、创新性发展，最终达到学科综合素养提升的目标。

3.基于思维结构与心智转换，建构发展性评价体系。小学数学结构化学习目标评价是多层面，全方位的，整体目标、阶段目标与课时目标评价分步递进进行。结构化评价指向素养的动态与静态相结合、过程与结果相结合、显性与隐性相结合，对教师、学生、教材的观察记录、图示理解、数据分析进行综合的实证评价，力求对教师的专业化教学水平起调节、修正作用，促进学生心智素养结构的生态发展与阶段达成。评价将应用性放在核心位置，贯穿数学学习的始终，重视儿童理解应用与综合应用，促进知识结构发展与儿童心智结构发展之间的转换，在经历直观、抽取表象、逻辑抽象与反思想象中，结构化地认识、理解、应用，理性地进行数据分析与模型转换，科学而又有创造性地解决新环境中的新问题。在结构化学习中，评价应侧重思维的迁移运用和元认知反思。在结构化学习的课末，都会让学生反思学习了什么、怎么学习的、还想到什么问题，因为“结构化反思要求学习者通过回顾和反思自己的真实体验，用一种全新方式去分析和理解同一内容。关注并重视它们对概念理解、问题解决及经验建构等过程的影响。而反思之所以是结构化的，是因为它需要由一些即时特定的提示、循序渐进的问题、巧妙合适的情境、有组织的讨论及其他相关活动来引导，以促进学习者深层次、系统化地思考某一问题。”[11]回顾与反思让学生打破思维的“天花板”，生长出合理的新问题，引导创造新课程，并在数学之“变”中发现不变的规律，感受数学结构化之美。

三、小学数学结构化学习，丰富思维活动，建构发展图式

小学数学结构化学习就是基于系统论、信息论和控制论支撑，从结构化视角理解和实践的学习方式，即通过对数学知识结构（内含方法结构和思想结构）的解构、建构，与学生原有认知经验基础进行意义连续、同化顺应、系统关联、迁移应用和循环融通，不断完善学生认知结构（内含知识结构、思维结构和情意结构等），提升学生结构化的數学眼光、思维方式和多元表征能力，从而培育学生数学学科核心素养，实现立德树人的育人目标。

1.直观经验意义连续。教师在对小学数学知识整体单元体系的纵横梳理基础上，对知识结构的教材形态、科学形态与学习形态不断还原，发现数学本质，找到核心元素，明晰动态结构，深刻认识教学内容和目标，全面把握学生学情和特点，贴近课本理解课标，基于生活创设情境，优化课堂学习内容，使得儿童所要面对的学习内容和个体已有的认知经验水平自然对接，与学习的真实意义起点连续起来。

2.实际意义系统关联。教师在知识纵横体系梳理中明晰其内部逻辑意义，体悟其知识教学场域，明确知识单元整体性的学科教育价值，尤其要掌握数学思想与方法的总体目标、阶段目标与课时目标的联系等。学生在师生共同创造的支撑性认知场域中，运用创造性工具，突破数学学习的认知困难，在合作探究中自然地观察、理解与表达，学会多元表征，促进学生经验碰撞、内化与积累，建构具有个人特色的数学模型。这样，学生学习认知在学科教育活动中才真正进入了具有实际意义的关联学习。

3.心智发展迁移循环。结构化学习的实践应用、迁移循环，能够促进学生认知心理的发生与发展。通过新知识结构的理解与意义建构，形成学生知识的个体性内化结构。学生运用新知识模型回到新的问题情境中，激励自我主动进行问题解决与反思，完善建立自我的认知图式，提高元认知水平，从而促进心智开放与发展，提升面向未来的关键能力。

正如布鲁纳说：“一门学科的课程应该决定于对能达到的，给那门学科以结构的根本原理的最基本的理解。”[12]“五学”框架对小学数学结构化学习的可操作的层面，进行了整体系统的规划与指导，有利于小学数学教师开展结构化课堂教学实践，也让儿童能从数学结构的角度深刻认识到数学知识整体内在的关联，生动体会到数学结构的过程、模型与广泛应用，自然而然地进入单元整体的深度学习，实现发展学科核心素养的目标。

参考文献：

[1]皮亚杰.结构主义[M].倪连生，王琳，译.北京：商务印书馆， 1984：2.

[2][12]布鲁纳.布鲁纳教育论著选[M]. 邵瑞珍，张渭城，等，译.人民教育出版社， 2018：24，40.

[3]谭敬德，陈清，张艳丽.维特罗克生成学习理论认识论特征分析及其对教学设计的指导意义[J].电化教育研究， 2009（8）：23.

[4]朱俊华，吴玉国.结构化学习因“变式”而精彩[J].中小学教师培训， 2019（4）：63.

[5]朱俊华，吴玉国.基于整体的小学数学结构化教学[J].中小学教师培训， 2019（9）：60.

[6]颜春红，吴玉国.结构化学习的活动设计与组织[J].江苏教育研究， 2018（1）：35-39.

[7]郑毓信.数学哲学与数学教育哲学[M].南京：江苏教育出版社， 2007：199.

[8]席爱勇，吴玉国.学理分析：让结构化学习深度发生[J].中小学教师培训， 2018（4）：55.

[9]万兆荣，吴玉国.结构化视角下“认识比”学材开发的实践与思考[J].中小学教师培训， 2019（5）：71.

[10]陈碧芬，张维忠，唐恒钧.“数学教学回归生活”：回顾与反思[J].全球教育展望， 2012（1）： 90.

[11]郑旭东，王美茜，饶景阳.论具生学习及其设计：基于具身认知的视角[J].电化教育研究， 2019（1）：26.

责任编辑：赵赟