分形集上的加权Ostrowski型双边不等式

时统业 曾志红

(1. 海军指挥学院，江苏 南京 211800； 2. 广东第二师范学院学报编辑部，广东 广州 510303)

0 引 言

设f：[a，b]→R在[a，b]上连续，在(a，b)上可微，且对任意x∈(a,b)有|f′(x)|≤M，则有

(1)

式(1)称为Ostrowski不等式[1]．有关Ostrowski不等式的改进和推广见文献[2-6]．

下面使用Gao-Yang-Kang的方法来描述局部分数阶导数和积分．

定义1[7]设f:R→Rα是不可微函数，如果对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<εα，则称f在点x0处局部分数阶连续．若f在区间I⊆R上局部分数阶连续，则记为f∈Cα(I)．

定义2[7]设f∈Cα(a,b)，则f在点x0处局部分数阶导数定义为

若对任意x∈I⊆R时存在f(α)(x)，则记为f∈Dα(I)．

定义3[7]设f∈Cα[a,b]，则f在区间[a,b]上的α阶局部分数阶积分定义为

其中，a=t0

设区间I⊆R，I°是I的内部，f:I°→Rα，f∈Dα(I°)，a,b∈I°，a

(2)

式(2)称为广义Ostrowski不等式[8]，是Ostrowski不等式在分形集的推广．

(3)

式(3)称为广义加权Ostrowski不等式[9]．关于广义Ostrowski型不等式还可参见文献[10-14]．

(2) 局部分数阶定积分的分部积分法.设f,g∈Dα[a,b]且f(α)(x)，g(α)(x)∈Cα[a,b]，则

引理2[15]局部分数阶微分中值定理.设函数F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上α阶局部分数阶可微，则对于任意x0,x∈[a,b]，x0

受参考文献[17]启发，本文用引入参数求最值的方法，建立分形集Rα上加权Ostrowski型双边不等式．为证明本文主要结果，还需要下面的引理．

1 主要结果

定理1设f∈Dα[a,b]，f(α)∈Cα[a,b]，且存在常数γ,Γ∈Rα,γ<Γ，使得γ≤f(α)≤Γ，则有

(4)

其中ε1，ε2∈[x-b,x-a]满足

(5)

利用引理1(局部分数阶分部积分法)得

(6)

(7)

(8)

综合式(5)～(8)得

其中

于是有

(9)

(10)

(11)

(12)

综合式(9)～(12)得

(13)

(14)

利用引理1(局部分数阶分部积分法)得

(15)

(16)

(17)

综合式(14)～(17)得

其中

于是有

(18)

(19)

(20)

(21)

综合式(18)～(21)有

(22)

综合式(13)和(22)，则式(4)的右边2个不等式得证．

当γ≤f(α)≤Γ时，有-Γ≤(-f)(α)≤-γ．对函数-f应用已证结论，则式(4)的左边2个不等式得证．

其中ε1，ε2∈[x-b,x-a]满足

推论2设f∈Dα[a,b]，f(α)∈Cα[a,b]，且存在常数M∈Rα，使得|f(α)|≤M，则有

证明在推论1中取w(t)≡1α，经计算则推论2得证．

推论3设f∈Dα[a,b]，f(α)∈Cα[a,b]，且存在常数γ,Γ∈Rα,γ<Γ，使得γ≤f(α)≤Γ，则有

推论4设f：[a，b]→R在[a，b]上连续，在(a，b)上可微，且存在常数γ,Γ∈R,γ<Γ，使得γ≤f′≤Γ，则有

(23)

证明在推论3中取α=1，则推论4得证．

注1式(23)给出文献[2]中的Ostrowski-Grüss型不等式(8.10)的加强．

特别地，当w(t)≡1α时，有