柔性关节空间漂浮机械臂奇异摄动自抗扰控制仿真研究①

刘福才 刘 林 郭根旺

(燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室 秦皇岛 066004)

0 引 言

现今许多国家都投身于空间站的建设及太空研究中。由于太空环境相对恶劣，所以空间机械臂成为了人们所中意的太空工作助手。同时，机械臂使用的安全性和工作精度也受到更多关注[1]。恶劣环境和机械臂本身材料构造等是影响机械臂工作安全性的主要因素。关节间隙、关节柔性等因素也在很大程度上影响机械臂的工作精度。其中，关节柔性会产生滞后、振动、非线性耦合等问题[2]。

本文主要对柔性关节空间机械臂轨迹跟踪控制问题做仿真研究及运动行为分析。建立了地面重力及空间微重力2种工况下的模型，为轨迹跟踪控制设计基于奇异摄动的自抗扰控制器，并做出稳定性分析及仿真分析，仿真结果与基于奇异摄动的自适应PD控制器控制效果进行比较。

1 国内外相关研究

国内外很多学者对柔性关节机械臂进行了控制研究。Good等人[3]通过实验发现关节柔性会影响机械臂的工作精度。Benosman等人[4]主要是对平面多连杆柔性臂进行消除振动的关节轨迹控制。针对慢关节运动和快关节运动以因果控制为基础使用2种方案进行控制，并以二连杆为例，进行数值模拟和实验结果验证。王旭辉等人[5]提出一种欠驱动柔性关节机器人趋同控制算法，从原理上验证了控制器的可行性。荣吉利等人[6]针对关节柔性带来的振动问题，提出了一种LQR和PD控制相结合的控制器，进行了仿真研究和实验研究。陈志勇等人[7]针对空间服役阶段的柔性关节机械臂提出了基于奇异摄动的增广鲁棒自适应PD控制器，并进行了仿真研究，该控制器较为繁琐。宋崇生等人[8]为柔性关节机械臂提出了一种带有观测器的滑模控制器，并利用2个仿真研究验证了控制器的有效性。刘福才等人[9]为柔性关节机械臂设计了基于奇异摄动的自抗扰控制器，但存在模型补偿会比较依赖于模型的问题。刘福才等人[10]为柔性关节空间机械臂设计神经网络控制器，对漂浮机进行空间地面2种工况下的轨迹跟踪控制研究，该控制是针对任务空间进行的，也就是对末端空间直接进行控制，但一般正常的机构驱动都是在关节处安装电机进行驱动，所以关节空间的控制研究更有效。

目前大多数研究都是对空间服役状态下的空间机械臂进行研究和控制的，没有同时考虑地面装调和空间在轨应用2个阶段的情况。也有一些是针对地面调试和空间基座固定状态下的控制研究。但是在空间服役时，机械臂系统都是处于漂浮状态的。所以，对地面调试和空间漂浮状态下的柔性关节机械臂运动行为的研究是很有意义的。

本文针对柔性关节空间机械臂末端轨迹跟踪问题进行研究，分别建立了地面重力情况和空间微重力情况下的柔性关节机械臂模型，为柔性关节机械臂设计了基于奇异摄动的自抗扰控制器，并且给出稳定性分析及仿真研究。仿真结果表明，本文所设计的自抗扰控制器可实现地面空间2阶段的轨迹跟踪控制，并与奇异摄动自适应PD控制方法仿真结果进行了比较，结果表明自抗扰控制器可以更高精度实现轨迹跟踪控制，且可以有效抑制关节柔性带来的抖动问题。

2 系统模型建立

根据Spong[11]提出的由扭转弹簧作为电机和机械臂关节之间连接机制的简化模型，并假设该扭转弹簧是线性的，具有常值弹性系数。柔性关节机械臂及柔性关节局部示意图如图1和图2所示。

图1 柔性关节机械臂

图2 柔性关节简化模型

图2中，q为关节的角位置矢量，qm为电机转子的角位移矢量，根据Spong理论得到的微重力环境下柔性关节机械臂欠驱动形式的模型如下：

(1)

地面装调时，装置会受到重力影响，所以在建立动力学模型时应该将装置的重力势能考虑在内。地面装调阶段的模型如下：

(2)

式中，G(q)∈Rn为重力载荷向量矩阵，可写成如下形式：

G(q)=φ(q)g

(3)

3 控制器设计与稳定性分析

利用奇异摄动法进行系统降阶，将系统分为快慢2个子系统，再分别进行控制[12,13]。

τm=τs+τf

(4)

式中，τf表示快子系统控制力矩，在突变情况下进行控制；τs表示慢子系统控制力矩，对稳态系统进行控制。

由式(1)和式(2)，得：

(5)

设计快子系统的控制器：

(6)

对慢子系统设计控制器如下。

从式(1)和式(2)可以看出机械臂的动力学模型具有强非线性及强耦合性，且模型精度有限，自抗扰控制器不依赖于系统准确模型，并可以进行状态估计和扰动补偿，且算法简单易实现，可实现高精度控制，对于稳态系统的控制研究和除去关节柔性带来影响的刚性机械臂的研究相同，所以对以下几种情况进行研究时，均是考虑的稳态系统时的控制。下面分4种情况对系统进行控制研究[14]。

情形1地面无扰动

由式(2)得：

(7)

第i个关节表示为

(8)

将该关节本身力矩的未知项(bii-b)τi和其他关节动作对本节的影响作为扰动量,本关节总扰动为

(9)

则有:

(10)

情形2地面有扰动

式(2)写成：

(11)

其中，ω∈Rn为扰动量。

由式(11)可知:

(12)

同样，将本关节力矩未知项和其他关节力矩产生的影响作为扰动，总扰动为

(13)

情形3空间无扰动

由式(1)得:

(14)

由于空间为重力环境时，基座不受控，所以根据空间模型特点，得：

(15)

可写为

(16)

情形4空间有扰动

式(1)可写为

(17)

其中，ω∈Rn+3为扰动量。

则：

(18)

则：

(19)

各种情况总扰动可表示为

(20)

ESO状态方程如下形式：

(21)

式中，ω为外部扰动，u(t)为控制量，b为放大系数。控制框图如图3所示。

图3 空间机械臂自抗扰控制原理图

微分跟踪器(tracking differentiator，TD)避免了角度的剧烈变化表达式如下：

(22)

(23)

其中，x1=qd1-qd，x2=qd2。

ESO模块表达式如下:

(24)

其中，误差校正系数β01>0，β02>0，β03>0，fal使用如下形式函数[15]:

(25)

其中，α∈(0, 1)，δ>0。

控制律表达式如下:

(26)

其中，r、h0为可变参数。

(27)

将式(27)代入到式(20)得：

(28)

(29)

通过调节各环节参数实现良好的控制效果。

4 稳定性分析

定理1针对系统式(1)和系统式(2)，无扰动情况下，利用状态反馈可实现渐近镇定。

证令α(t)=f(q,q,t)为开环控制过程中的实时表现量，则式(18)可转化为

(30)

由式(27)得：

τ=τ0-α(t)/b

(31)

将式(31)代入式(30)得：

(32)

当τ0取为如下形式时：

(33)

式中，γ1>0,γ2>0，则

(34)

取李亚普诺夫函数为

(35)

(36)

式(26)所示的控制律τ0=-fhan(ε1,ε2,r,h0)，同样可以保证闭环情况下的渐进镇定。

下面对ESO进行稳定性分析。

定理2对于系统式(1)和式(2)，无扰动情况下，只要ESO中参数选取合理，则可保证ESO的稳定性。

(37)

此状况下ESO为如下形式：

(38)

由式(37)和式(38)作差得：

(39)

取李雅普诺夫函数为

(40)

由式(40)求导得：

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

(41)

式(41)可写为

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

(42)

定理3针对系统式(1)和式(2)扰动存在且有界的情况下，参数选择合适可以实现ESO 对状态的实时观测。

(43)

误差系统为

(44)

(45)

其中，fal(e1,α,δ)是关于e1的单调函数且fal(e1,α,δ)=0，一般先将α和δ根据经验给定为固定常数，故其反函数存在且fal-1(0)=0，因此，当系统进入稳态时，估计误差为

(46)

5 仿真研究

对本文提出的地面空间2种工况下的模型进行了仿真研究，选择以(1，1)为起点边长为5 m逆时针运动的正方形轨迹，正方形与圆或直线等形状的轨迹相比，其控制要求更高，并且便于观察在正方形4个角轨迹突变处的跟踪情况。表1为仿真时机械臂杆的参数取值。

表1 平面二连杆柔性关节空间机械臂仿真参数

采用基于奇异摄动的自抗扰控制器对地面二自由度机械臂及空间自由漂浮机械臂进行控制仿真结果如图4和图5所示，自适应PD控制仿真结果如图6和图7所示。

由图4(a)可以看出地面调试阶段设计的自抗扰控制器可以较好地实现轨迹跟踪控制。由图4(b)可以看出x方向y方向误差基本在0附近变化，只是在转角处，误差偏大一点。

由图4(c)和图4(d)可以看出，ESO对关节角度状态的估计精度很高，估计值曲线与实际值曲线基本重合，估计精度很高。

(a)端轨迹跟踪图

从图4(e)和图4(f)可以看出，角速度实际值和角速度估计值曲线基本吻合，所以，ESO实现的估计精度较高。综上，可以看出ESO的有效性。

由图5(a)可知，空间阶段控制器也可以较好进行轨迹跟踪控制。由图5(b)可以看出x方向y方向误差基本在0附近变化，其误差值越来越小，在转角处，误差偏大一点。

(a)末端轨迹跟踪图

由图5(c)和图5(d)可知，ESO对状态的估计精度很高，由图5(e)和图5(f)可知，关节1角速度实际值和估计值曲线基本吻合，估计精度较高，但从图5(g)可知，关节2的角速度估计值和实际值变化趋势相同，但估计情况并不好，引起这一问题的主要原因是参数选取不当，有待改善和调整。

由图4(g)和图5(h)可知关节力矩在转角处会出现明显突变，以应对转弯情况。同时在空间阶段，力矩有明显的抖动，这是由于ESO对关节2角速度估计不准确且关节2时机角速度变化明显不平滑导致的。

采用基于奇异摄动自适应PD控制器对被控对象进行控制得到的仿真结果如图6和图7所示。设计的控制率如下：

图6 地面阶段奇异摄动自适应PD控制仿真图

图7 空间阶段奇异摄动自适应PD控制仿真图

(18)

由图6和图7可知，基于奇异摄动自适应PD控制器控制精度低，不能很好地抑制抖动。对比图4、图5和图6、图7可知，自抗扰控制有效地抑制了柔性关节带来的抖动，且能实现较高精度的轨迹跟踪。

6 结 论

本文针对地面调试和空间漂浮两阶段柔性关节空间机械臂末端轨迹跟踪问题，设计了基于奇异摄动的自抗扰控制器。利用李亚普诺夫方法证明了控制系统的渐进稳定性，并进行了仿真研究。仿真结果表明，控制器实现了对机械臂的高精度跟踪控制，且有效抑制了关节柔性带来的抖动，分析了重力变化对系统控制带来的影响。