信道估计误差有界时速率损失上界统计特性

徐 娟，姚如贵，高 岩，朱礼亚

1.长安大学 电控学院，西安 710064

2.西北工业大学 电子信息学院，西安 710072

1 引言

随着无线通信业务的飞速发展与多媒体应用的急剧增加，所需的无线频谱资源越来越多，而频谱资源已变得越来越匮乏，因此，需要研究具有高频谱效率的传输新技术。在已有的传输技术中，基于认知无线电网络[1]或异构网络[2]等技术的多层网络频谱共享技术[3]，均是可行且有前景的传输技术。

范德蒙子空间频分复用（Vandermonde-subspace Frequency Division Multiplexing，VFDM）技术是一种新提出的提高二层网络频谱效率的频谱共享技术[4-5]，宏小区（Macro Cell，MC）利用块传输系统（例如正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）系统）中循环前缀（Cyclic Prefix，CP）对应的频域冗余为小小区（Small Cell，SC）提供传输机会，并且保证SC的传输不会干扰自身的正常通信。采用VFDM 后，SC发射机发出的信号通过层间预编码（Cross-Tier Precoder，CTP）被约束到SC 到MC 干扰信道的零空间里，因此VFDM 也可以被看作一种干扰对齐算法。现有干扰对齐方法是基于空间自由度，而VFDM是基于频域自由度。

文献[5]研究了MC 仅有一条通信链路时的VFDM系统，提出基于范德蒙德矩阵构建CTP的方法。当MC存在多条通信链路时，文献[6]提出了一种基于子空间的CTP 设计方案。当存在多用户时，CTP 设计可以在SC中的每个发射端上独立进行。上述关于CTP的研究进一步扩展到非协作的多天线系统中[7-8]。文献[9]研究了协作CTP的设计，可以显著增加传输维度；同时，为了有效利用协作带来的传输维度提升，研究了更有效的层内编码设计（Intra-Tier Precoder，ITP）方案，提高整个网络的和速率。文献[10]进一步扩展到多小区应用场景，并借鉴干扰对齐技术设计预编码矩阵。

然而，以上所有的研究均是基于已知理想信道状态信息（Channel State Information，CSI）。在实际应用中，CSI 只能通过信道估计的方法获得，然而由于信道估计误差、量化误差、反馈时延等因素的影响，不能获得精确的 CSI[11]。在非理想 CSI 的情况下，SC 到 MC 的干扰不能完全消除，剩余的干扰泄漏会给MC带来速率损失。文献[3]提出了一种信道估计（Channel Estimation，CE）过程，并将估计的信道矩阵作为评估影响VFDM系统性能的依据。在文献[9]中，采用与文献[3]中相同的方法，评估了非理想CSI 条件下的协作二层网络总速率。文献[3]和[9]中的非理想CSI 条件下的性能评估是通过仿真完成的。考虑CE误差服从高斯分布，文献[12]研究了在信道估计误差服从高斯分布时干扰泄漏上界的统计特性，建立了MC速率损失与干扰泄漏之间的关系。基于文献[9]的研究方法，文献[13]研究了干扰对齐系统的基于改进最小均方误差的稳健层内预编码设计。

实际应用中，信道估计误差往往也是有界的。因此，本文从另外一个角度，理论研究了信道估计误差有界情况下干扰泄漏对MC 的速率影响。首先推导出了干扰泄漏的上界，然后通过干扰泄漏与MC系统速率之间的关系，得到MC 系统速率的上界，评估出在估计误差有界时对MC 系统速率的影响。最后给出了仿真结果验证了本文的分析。

2 系统模型

为了集中精力评估估计误差有界时的系统损失，考虑一个简单的、但是通用的基于VFDM技术的二层频谱共享网络，如图1 所示。第一层网络的MC 由一个宏小区基站（MC Base Station，MBS）和一个宏小区用户（MC User，MU）组成，采用K个子载波、循环前缀长度为L的OFDM 传输体制。而第二层网络SC 由一个小小区基站（SC Base Station，SBS）和一个小小区用户（SC User，SU）组成。MC 和 SC 共享频谱，并且MC 对所占频谱具有优先使用权。为了避免SC对MC产生有害干扰，SC利用CP对应的频域冗余采用VFDM传输技术。为了简化分析，假设第一层网络MC 中MBS 和所有MU、第二层网络SC中SBS配置单天线，且MC和SC均假设为理想符号级同步。

图1 基于VFDM的二层网络模型

在 MC 和 SC 接收机处接收到的信号y1∈ CK×1 和y2∈ CK×1 可以表示为[3]：

其中，x1∈ CK×1 和x2∈ C(K+L)×1为 MBS 和 SBS 发射的信号向量；为MU 和SU 接收到的加性高斯白噪声。分别表示 MBS 到MU、SBS 到 MU、SBS 到SU 和 MBS 到 SU 的信道矩阵，gi表示第i个等效信道的增益，i=0,1,…,K-1；F∈CK×K是离散傅里叶变换矩阵，其中是循环前缀插入矩阵；T(hsr)∈CK×(K+L)是由信道冲激响应构成的 Toeplitz 矩阵 (s,r=1,2) ，其形式如下：

为了抑制SC 到MC 的干扰，需要引入CTPC∈C(K+L)×L，因此，SC的发射向量可写为：

其中，s2∈C(K+L)×L是 SC 发送的经过 ITP 编码的，且。

将式（4）代入式（1）中，则可以得到：

其中，第二项为SC 对MU 的干扰。为了消除SC 对MC的干扰，设计的CTP需要满足下式：

由式（6）可知，预编码器矩阵C必须在H21的零空间内，其具体设计方法在第3章进行介绍。

以上的分析是基于理想CSI条件的。然而，在实际的应用中，由于估计误差、量化误差或反馈时延，SBS可能无法获得准确的CSI，获得的H21是有误差的，存有误差的信道矩阵H21可建模为：

由式（5）、式（7）和式（8）可知，在MU 处接收的信号为：

其中第二项ΔH21Cs2为由于信道估计误差引起的干扰泄漏，干扰泄漏直接影响了MC的系统速率。后续将会分析信道估计误差有界条件下的干扰泄漏和系统速率损失的上界。

3 层间预编码的设计

为了保证SC 的传输不会干扰MU 的接收，考虑非理想CSI，必须设计满足式（8）所示的约束关系的CTP矩阵[3，6-8]。基于奇异值分解（Single Value Decomposition，SVD），H21可以写为：

其中，U∈ CK×K和V21∈ C(K+L)×(K+L)为酉矩阵，Λ∈CK×(K+L)为对角阵，对角线元素λi，i=1,2,…,K是Hˆ21的K个奇异值，且λ1≥λ2≥…≥λK。令Λ=(Λ10)，其 中Λ1∈CK×K。 令其 中V1∈CK×(K+L)，V2∈CL×(K+L)。因为V21是酉矩阵，所以有则公式（10）两端同时乘以得到：

因此，层间预编码矩阵C可设计为：

4 有界信道估计误差对系统速率的影响

4.1 干扰泄漏分析

由式（9）可知，由于信道估计误差的存在，使得所设计的CTP 不能完全消除SC 对MC 的干扰，从而引起干扰泄漏，导致系统可达速率降低。本节重点分析由于信道估计误差而引起的系统速率损失。首先，令：

由于干扰向量ε的每个符号都有相同的统计性质，所以只对其中的任意一个符号进行研究。选择ε的第i个符号作为分析，则有：

其中，(ΔH21)i表示矩阵 ΔH21的第i行。

当信道估计误差是有界时，令：

第i个发送符号的干扰泄漏为：

下面简单分析一下干扰泄漏上界：

公式（16）所示的第i个发送符号的干扰泄漏可进一步计算为：

其中，e(i)表示C的第i列，第四个等式是基于的假设得到的。

公式（17）中每一项都有相同性质，对第k项分析如下：

由公式（17）和公式（18）可得到第i个发送符号的干扰泄漏上界为：

4.2 系统速率损失分析

这一节，首先推导出速率损失与干扰泄漏之间的关系，然后利用干扰泄漏的统计特性，进一步分析速率损失的统计特性。需要注意的是，基于前面的分析，不同符号的干扰泄漏有相同的统计特性，在以下的分析中，只分析给定符号的速率损失。

考虑非理想信道估计，即存在信道估计误差时，第i个符号可达系统速率可计算为：

其中，对数运算符中分子表示第i个接收符号的功率，这里假设发射符号是归一化的。

而理想CSI条件下第i个符号可达理论速率为：

由式（20）和（21）得到，由于非理想CSI造成的速率损失可计算为：

在高信噪比时，公式（22）可以简化为：

由式（18）和（23）可得到第i个符号速率损失上界为：

5 数值仿真结果与分析

本章将给出一些仿真结果验证推导过程的正确性。仿真中参数设置如下：子载波的数目K=64，循环前缀长度L=16。本文数值仿真采用(L+1)径Raileigh衰落信道模型，信道冲激响应的分布假设为hsr～。

设定δmax=0.01，每个MC 符号速率下界的仿真结果如图2 所示（以下系统速率均指MC 每个符号的系统速率，且速率下界等于理想速率减去公式（24）所示的速率损失上界）。由图2 可以看出，在信噪比较低时，MC系统的速率下界与理想CSI 条件下系统可达速率相差不多，主要是因为在低信噪比下，信道噪声是影响系统速率的主要因素，信道估计误差带来的速率损失不显著。而当信噪比较高时，信道估计误差对系统速率带来的影响远大于噪声带来的影响，此时理想CSI条件下的MC 系统速率与信道估计误差有界条件下的系统速率都会随着SNR的增大而增大，但差距越来越明显。

图2 每个MU可达符号速率下界

图3给出了在δmax=0.01 时，200个信道实现条件下的MC 可达速率。如前面所述，当SNR 较小时，系统速率的下界非常逼近理想CSI时系统的速率，但随着SNR的增大，系统速率下界逐渐低于MC 系统的理想速率，信道估计误差的影响逐渐显著。由图3 还可以看出，MC系统存在信道估计误差时，得到的速率一直界于理想系统速率（即最大系统速率）与系统速率下界之间，全部覆盖下界与系统速率的最大值之间的所有可能情况。

图3 δmax=0.01 时200个信道实现对应每MU可达速率

图4进一步给出了200个信道实现条件下的MC可达平均速率。由图4可以看出，平均速率界于理想信道速率和系统速率下界之间。

图4 δmax=0.01 时MC系统可达平均速率

图5给出了MC系统仿真的平均速率损失和公式（24）推导的理论速率损失上界的对比，以验证公式推导的正确性。从图5中可以看出，理论推导的速率损失和真实的速率损失很接近，但又稍微大于真实速率损失，其原因是在推导过程中，为了简化分析，对公式（23）做了近似。因而得到的公式（24）中的理论速率损失上界是一个稍微放大的临界值。

图5 δmax=0.01 时每MU速率损失上界随SNR变化情况

不同的信道估计误差，对速率损失上界影响也不同。图6 给出了符号速率损失上界随δmax变化的趋势。由图6 可以看出，在不同的信噪比和不同的δmax下，理论速率损失上界跟真实的速率损失上界都很接近。在特定的信噪比下，随着信道估计误差的上界δmax的增大，速率损失也随之增大。但是推导的速率损失上界与真实的速率损失上界始终保持一致。当信噪比变化时，也会有相同的结论。上述结论也进一步证实了理论推导的正确性。

图6 不同δmax 和SNR时每MC符号速率损失上界

6 结束语

针对基于VFDM技术的二层频谱共享系统，本文研究了在有界信道估计误差的情况下干扰泄漏对MC 的速率影响。首先研究了信道估计误差在有界时干扰泄漏的上界，然后建立干扰泄漏与MC系统可达速率之间的关系，得到MC 系统速率损失的上界，评估出估计误差有界时对MC 系统速率损失的影响。最后给出了仿真结果证实推导的正确性。本文研究结果对评估实际系统性能具有一定的指导意义。下一步拟进一步研究信道估计误差服从高斯分布或者有界时SC的性能损失评估，以及存在信道估计误差时的稳健设计。