带有低通滤波的板球系统反演控制器设计

孟圣钧，韩光信

(吉林化工学院 信息与控制工程学院，吉林 吉林 132022)

板球系统作为经典控制对象球杆系统的二维扩展，是控制领域中验证控制算法的一种重要实验对象.诸如自抗扰控制[1]、预测控制[2]、滑模控制[3]、模糊逻辑控制[4]、反演控制等很多控制算法先后被学者运用到板球系统中检验优劣[5].反演控制方法将复杂的系统分成若干子系统，在每个子系统中引入虚拟变量，从后向前反推，最后得出控制规律.例如，戈艳丽将反演控制算法与自适应算法相结合设计反演自适应算法，研究了板球系统模型中的不确定性问题，但并没有考虑到系统实际存在的非线性因素[6].文献[7]同样采用了反演控制法，在控制器的设计中忽略了系统x,y方向的运动耦合作用，可能会导致控制精度下降.郝伟[8]采用反演法的静态补偿思想设计了反演自适应动态滑模控制器，利用虚拟控制量将高阶控制问题分散为多个低阶子系统的控制问题，并结合滤波器的设计研究了经典滑模存在的微分爆炸问题，提高了系统控制精度，但忽略了机器视觉对小球定位存在误差的影响.

以上是一些学者在研究板球系统中，将反演控制算法与自适应算法、滑模变结构控制等算法相结合设计的控制器，完成了对小球轨迹跟踪的控制任务.本文针对板球系统控制中的不确定项影响跟踪精度这一问题，研究了将低通滤波与反演控制算法相结合设计控制器的方法.首先，在板球系统建模时加入自身扰动，将低通滤波器与板球系统的状态空间模型结合成一个整体系统，接着用假设的方法设定子系统参数，将参数带到虚拟函数中，然后选取合适的Lyapunov函数，使每个子系统达到渐进稳定，进而设计出一种带有低通滤波的反演控制器.最后，在板球系统克服内部扰动的前提下，加入外界干扰，查看小球轨迹跟踪的效果.仿真验证，与H∞控制器[9]相比，带有低通滤波的反演控制器具有良好的抗干扰能力.

1 板球系统数学模型

Quanser公司生产的板球系统实验平台如图1所示.

图1 Quanser板球系统模型

主要由：平板、小球、伺服电机、连杆、视觉系统、电源等组成.板球系统是双输入双输出的非线性动态系统，通过步进电机驱动x、y轴以达到控制平板的倾斜角度，进而控制小球的运动.应用欧拉-拉格朗日动力学方程推导建模，建模时忽略小球与平板之间的摩擦以及小球自身滚动的摩擦.板球系统的状态空间模型如下式所示[10].

(1)

其中，k=m/(m+Jb/r2)，m为小球质量，r为小球半径，Jb小球转动惯量，x1,x2,x3,x4分别为x轴小球的位置、速度、倾斜角度和角速度；因板球系统的x,y轴对称分布，故x5,x6,x7,x8分别对应y轴的系统状态变量.ux,uy对应x,y轴的角加速度α,β，作为系统的控制输入，y为系统的控制输出.一般情况下，小球滚动时的速度和平板转动角度足够小(一般不超过±6°，sinx3≈x3,sinx4≈x4)，则式(1)中的x4x5x8和x1x4x8可忽略，板球系统解耦、线性化后可形成两个相同的x,y方向欠驱动子系统，模型如下所示.

(2)

y=[x1,x5]T

2 控制器设计

(1)由于系统实际运行中存在扰动，会影响系统的输出，进而降低控制器性能.为增强系统的抗干扰性，提高轨迹的跟踪精度，引入低通滤波器[11-13]，对小球的位移和滚动角度进行滤波处理.以板球系统x轴为例，设计低通滤波器如下.

(3)

其中，T为低通滤波器的时间常数，x1为低通滤波器的输出信号，即小球的位置.x2为低通滤波器的输入信号，即小球滚动角度(式(2)中x2代表小球速度).结合式(2)、式(3)组建一个整体的带有低通滤波的板球系统.

(4)

其中，x3为小球角速度，d为板球系统的自身扰动，y为经过低通滤波器滤除干扰后的输出.

(2)反演控制器设计

反演控制算法实际上是利用递推程序交替的选择合适的Lyapunov函数，在每一个子系统中，将复合系统的状态变量和所设计的虚拟函数联系起来进行逐步推导，得出控制规律后设计反馈控制器，最后证明整个系统是渐进稳定的.

针对系统(4)的反演设计过程如下，定义系统偏差[14]：

(5)

式中，xd为板球系统x轴小球跟踪轨迹的位置指令信号，α1,α2为虚拟函数.

(6)

结合式(4),(5)整理后可得：

(7)

选取Lyapunov函数V1：

(8)

(9)

定义虚拟控制量α1：

α1=-c1e1+x1(c1>0的常数)

(10)

代入式(9)得：

(11)

选取Lyapunov函数V2：

(12)

(13)

(14)

(15)

结合式(4),(5),(10)整理后可得：

(16)

结合式(5),(11),(16)化简式(13)可得：

(17)

定义虚拟控制量α2：

(18)

代入式(17)得：

(19)

选取Lyapunov函数V3：

(20)

(21)

e3=x3-α2

(22)

(23)

结合式(4),(5),(10),(18)整理后可得：

(24)

结合式(7),(16),(19),(24)化简式(21)可得：

(25)

(26)

式(26)为带有低通滤波的反演控制器ux，根据前面设计的虚拟函数和偏差函数求解控制器参数，结合式(4),(5),(10),(18)整理出带有状态变量的ux表达式.

(27)

3 仿真结果分析

(28)

由于板球系统的x,y轴对称分布，故推导控制器ux,uy只需要更改x,y轴的指令信号即可.将上述参数值结和式(28)的三阶时间导数带入式(27)中，分别求出带有低通滤波的x,y轴反演控器.

应用Simulink软件分别搭建H∞控制器和带有低通滤波的反演控制器系统仿真模型,适当调节状态变量参数后，仿真结果如下图所示.图2是带有低通滤波的反演控制器跟踪的圆形轨迹，小球受到外界干扰(step=5的阶跃)后能够自动调整跟踪轨迹，不断地减小与预设跟踪轨迹之间的误差.图5为H∞控制器跟踪的圆形轨迹，同样加入step=5的阶跃干扰，小球偏离原轨道且无法自动调整跟踪轨迹.当H∞控制器做圆形轨迹跟踪运动时，引入外界干扰后误差增大，小球在x、y轴方向上的位置误差分别维持在21.7 mm和21.5 mm左右，如图7所示.从图4中我们可以看出，反演控制器做相同的跟踪运动时，面对同样的干扰，小球x、y轴方向上的位置误差分别维持在±1.05 mm和±0.58 mm之间，能够自动调整跟踪误差.带有低通滤波的反演控制器和H∞控制器的控制器输出图分别如图3和图6所示.

x1/m

r/s

r/s

x1/m

t/s

t/s

4 结 论

本文以非线性、多变量和强耦合的板球系统作为研究对象，针对系统受到干扰而影响轨迹跟踪的精确性这一问题，将反演控制器具有维持板球系统稳定运行性能与低通滤波器滤除外界干扰这一性能相结合，设计出一种带有低通滤波的反演控制器.从实验结果可以看出，改进的控制器结构简单，受到外界干扰时，能够快速恢复到原预定轨迹，不断提高控制精度，稳定性更强.